21.2.2 公式法-【夺冠百分百】2025-2026学年九年级上册数学新导学课时练（人教版）

第二十一章一元二次方程 新导学课时练 21.2.2 公式法 4.关于x的一元二次方程x2+2x-(m一2)=0 A 知识梳理·自主学习 有两个相等的实数根，则m的值为 1.根的判别式 5.不解方程，判断一元二次方程3(x2一1) 一般地，式子 叫做一元二次方程 5x=0的根的情况. ax2十bx十c=0根的判别式，通常用希腊字 母“△”表示它，即△= (1)当△>0时，方程有 的实 数根 (2)当△=0时，方程有 的实 数根 (3)当△<0时，方程 实数根 6.(2022邯郸武安期末)已知关于x的一元二 2.求根公式 次方程x2一mx一2m2=0.求证：不论m取 当△≥0时，方程ax2十bx十c=0(a≠0)的实 何值，方程总有两个实数根. 数根可以写为x= 的形式，这个式 子叫做一元二次方程ax2十bx+c=0的求 根公式， B 知识要点·多维突破 知识点一 一元二次方程的判别式 1.(逆向)一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0) 名师点晴 根据一元二次方程根的情况可以得到判别 有两个不等的实数根，则b一4ac满足的条 式的符号，从而列出不等式（或方程)，解不 件是() 等式（或方程）求出字母系数的范围（或值）， A.b2-4ac=0 B.b2-4ac>0 注意字母系数要满足二次项系数不等于0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≥0 这个隐含条件 2.(正向)一元二次方程x2一x一3=0的根的 情况为( ) 知识点二用公式法解一元二次方程 A.有两个相等的实数根 7.用公式法解一元二次方程3x2+3=2x时， B.有两个不等的实数根 首先要确定a,b,c的值，下列叙述正确的 C.只有一个实数根 是() D.无实数根 A.a=3,b=2,c=3 3.下列方程中，没有实数根的是() B.a=一3，b=2,c=3 A.x2+2x=0 B.x2+2x+1=0 C.a=3,b=2,c=-3 C.x2+2x-1=0 D.x2+2x+2=0 D.a=3,b=-2,c=3 9 心新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ 8.(2022沧州东光期中)下列方程中，以x= 易错点二未将方程整理为一般形式而出错 一5±25+4c为根的是( 12.解方程2x2十4√3x=2√2，有一位同学解 答如下： A.x2-5x-c=0 B.x2+5x-c=0 (解：这里a=√2，b=4√3，c=2√2， C.x2-5x+4c=0 D.x2+5x+c=0 9.用公式法解方程：2y2+4y=y十2. ∴.△=b2-4ac=(4√3)2-4X√2X2√2 =32. 解：将方程化为一般形式，得 所以a= ,b= ,C= x=6±8-4ac=-43±32_ 2a 2√2 △=b2-4ac= -√6士2. y=一6±YG=4ac= 2a ∴.x1=-√6+2，x2=-√6-2. 即 请你分析以上解答有无错误，如有错误，指 10.用公式法解方程： 出错误的地方，并写出正确的结果. (1)x2+4x=2. (2)2.x2-10x-3=0. (3)x2+10=2√5x.(4)4x(x-1)=-1. 易精提醒 用公式法解一元二次方程，第一步要检查方 程是不是一般形式，如果不是，要先将其化 为一般形式 名师点晴 利用公式法解一元二次方程，首先要将方程 综合演练·应用提升 整理成一般形式，确定a,b,c的值，计算出 【能力提升】 b2-4ac的值，再代入求根公式求解， 1.若方程x2+2mx-3=0的二次项系数、一 易错点一未对方程进行分类讨论导致漏解 次项系数、常数项的和为0，则该方程的解 11.(2022石家庄高邑期中)关于x的方程 为( ) mx2一2x十1=0有实数根，则m的取值范 A.x1=√3，x2=-√3 围是() B.x1=1,x2=-3 A.m≤1 B.m≤1且m≠0 C.x1=-1,x2=3 C.m≥1 D.m=0 D.x1=-1,x2=-2 6210 第二十一章一元二次方程 新导学课时练 2.下表是求代数式ax2一bx的值的情况，根据 7.已知|2a+b1与√3b+12互为相反数， 表格中的数据可知，方程a.x2一bx=2的解 (1)求a,b的值 是() (2)解关于x的方程：ax2十4bx-2=0. x -2 -1 0 ax2-bx 6 2 0 02 6 … A.x=1 B.x1=0,x2=1 C.x=2 D.x1=-1,x2=2 3.若代数式x2-x-1与2x-1的值互为相反 数，则x的值为 4.(2022廊坊文安期中)若关于x的一元二次 方程x2十2(m十1)x十c=0有两个相等的实 数根，则c的最小值是 5.小刚在解关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠ 0)时，只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根 是x=一1.他核对时发现所抄的c比原方程 的c值小2.则c= ,原方程的根的 【素养闯关】 情况是 8.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x十 6.用公式法解下列方程： m2-1=0有两个不等的实数根. (1)(3x-1)(x+2)=11x-4. (1)求m的取值范围. (2)写出一个满足条件的m的值，并求此时 方程的根。 (2)3x(x-1)=2x2-8. 11e9(+)= 【知识要点·多维突破】 1.B2.B3.D4.1 10.解：(1)x1=-2,x2=一8.(2)x1=2+2,x2=210 2. 5.解：化为一般形式为3x2一5x一3=0. a=3,b=-5,c=-3, (3)x1=5,x2=1.(4)x=1,x2=2 ∴.△=(-5)2-4×3×(-3)=25+36=61>0. 11.解：(1)小明的解答过程是从第二步开始出错的. .此方程有两个不等的实数根。 (2:2-x7=0, 6.证明：4=9m2≥0， ∴.不论m取何值，方程总有两个实数根 7.D8.B ∴-x+=+子即(-)=是 9.2y+3y-2=023-225-装厘=日 1 =-2 10.解：(1)x1=-2+√6，x2=-2-√6. 9l 21 (2)西=5+ 2 ,m-5-I 2 【综合演练·应用提升】 (3)无实数根. 1.C2.A3.B4.-2或6 5.解：(1)x(x-6)=5, (0西==合 x2-6x=5, 11.A x2-6x+9=5+9, 12.解：这位同学的解答有错误，错在没有化成一般式，c值 (x-3)2=14, 错误 x-3=士√14， 1=-√6+2√2，x2=-√6-2√2. x1=3+√14，x2=3-√14. 【综合演练·应用提升】 (2)(x+1)(x+3)=5+6x. 1.B2.D3.1或-24.05.5无实数根 x2-2x=2, 6.解：1)x1=3+3 3 ,2=3 3 x2-2x+1=2+1,即(x-1)2=3, (2)方程无实数根. .x-1=士√3， 7.解：(1)，|2a+b|与√3b十12互为相反数， .x1=1+5,x2=1-√5. .|2a+b+√/3b+12=0, 6.解：小球1s或2s时达到10m高. 则2a+b=0且3b+12=0, 7.解：(1)x2-6x-3=x2-6x十9-9-3=(x-3)2-12, 解得a=2,b=一4. (x-3)2≥0， .(x-3)2-12≥-12， (2)由(1)知方程为2x2一16x-2=0, .x2-6x一3的最小值为-12. 整理，得x2-8x-1=0, (2)2x2+8x+11=2(x2+4x+4-4)+11=2(x+2)2+3, a=1,b=-8,c=-1, ∴.△=(-8)2-4×1×(-1)=68>0， 2(x+2)2>≥0， ,2(x+2)2+3≥3， 则x=8±2,7=4士7， 2 .2x2+8x+11的最小值为3. ,x1=4+V√17，x2=4-√17. 21.2.2公式法 8.解：(1)：关于x的一元二次方程x2十(2m十1)x十m2-1= 【知识梳理·自主学习】 0有两个不等的实数根， 1.b2一4acb2一4ac(1)两个不等(2)两个相等(3)无 ∴.△=(2m+1)2-4×1×(m2-1)=4m+5>0, 2.-b±BF-4ac 2a 解得m>一. 154 (2)(答案不唯一)取m=1,此时原方程为x2十3x=0, (2)x1=-1,x2=-5. 解得x1=0,x2=一3. -+厘a-1g厘 6 21.2.3 因式分解法 【知识梳理·自主学习】 3解：1五=-合4=1.(2西=-1，=5 41 1.一次式一次式降次2.一次降次 (3)x1=一3+/11，x2=-3-√1I. 【知识要点·多维突破】 1.C2.C3.3x-4-5=0 (0x=号=-3. 4解：1m=0,m:=-5.(2)a=-号=号 4.解：(1)x1=-3,x2=2. (2)x=-1,4=是 (3)1=-1,2=5.(4)a=-2,=3 4 (3)x1=-2,2=1.(4)x1=3,x2=-1. ·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 5.D6.D 【知识梳理·自主学习】 7.解：(1)x1=0.5,x2=一2.5.(2)x1=4,x2=6. (3)x1=3,x2=1. 一b￡一次项二次项常数项二次项 aa 0--g 【知识要点·多维突破】 1.D2.B3.A4.A【变式】6 8.x1=0,2x2=2 【综合演练·应用提升】 5-是 1.B2.B3.24 6.解：(1)a+B=5.(2)8=-2.(3)a2+a3+g=27. 4.-3或3 7.A8.B9.A10.B 5.解：(1)4(x-1)2-9=0, 11.解：(1)：一元二次方程x2-2x十k+2=0有两个实数根， (x-1)2=9, 4 .△=(-2)2-4X1×(k+2)=一4k-4≥0， 解得k≤一1. ∴x-1=士号， (2)存在。 =号=- :x1,x2是一元二次方程x2-2x十十2=0的两个实 (2)(x+2)2-4(x-3)2=0, 数根， [(x+2)+2(x-3)][(x+2)-2(x-3)]=0, ∴x1十x2=2,x1x2=b+2. (3x-4)(-x+8)=0, :1+1=k-2, .3x-4=0或一x+8=0, 西=青西=8 贵=异2=2 整理，得2一6=0， (3)y2-2y=5, 解得k1=一√6，k2=√6. y2-2y十1=5+1，即(y-1)2=6, 又，k≤-1，∴.k=一√6. .y-1=±6， 12.B .y1=1+√6，y2=1-W6. 【综合演练·应用提升】 6.解：(1)B=5或1.(2)x1=3,x2=-1. 1.A2.D3.A4.A5.B6.2或-20 专题集训一 7.解：(1)当x=0时，0+0+m-2=0 一元二次方程的解法 .m=2, 1.解：(1)x1=3,x2=-3.(2)x1=-3,x2=-9. .x2十2x=0, (3)x1=1+2√2，x2=1-2V2.(4)x=-2,x2=-4. x=0或x=-2, 2.解：(1)x1=3+√10，x2=3-√10. 即方程的另一根是一2. 155