专题2.4 圆的方程重点题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.4 圆的方程 目录 考点1 圆的方程 0 题型1 求圆的方程 1 题型2 圆的一般方程与标准方程之间的互化 5 题型3 二元二次方程与圆的方程 6 考点2 点与圆的位置关系 8 题型4 圆过定点问题 8 题型5 点与圆的位置关系 11 考点3 圆的轨迹问题 13 题型6 直接法求圆的轨迹 14 题型7 阿氏圆 14 考点4 圆的最值与对称问题 16 题型8 圆的对称问题 17 题型9 圆的最值问题 19 考点1 圆的方程 1、 圆的定义： 在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 二、圆的标准方程：. 方程 称为圆心，半径为的圆的标准方程 三、圆的一般方程: ，化作标准式为, 圆心坐标：，半径： 注意： 1 的系数相同且都不为0 2 方程中无项 3 对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 四、直径圆方程: 以 为直径的圆的方程为 五、求圆的方程的方法 1 待定系数法：设圆的一般方程或者标准方程 2 几何法：利用圆的性质（1）圆心在任意弦的垂直平分线上（2）圆关于直径对称，则圆心在圆的对称轴上（3）圆心在过切点且与切线垂直的直线上 题型1 求圆的方程 【方法一：找圆心，求半径】 1．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】的中垂线必过圆心，所以首先求的中垂线，再求中垂线与直线的交点，交点就是圆心，最后圆心与点O的距离就是半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程． 【详解】原点和的中点坐标为， 线段的垂直平分线的斜率为， 所以，线段的垂直平分线的方程为：. 由 ，得圆心坐标C为， 所以，半径的平方. 因此，圆C的标准方程为. 故答案为： 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】利用两点距离公式，即可求解圆心和半径得解，或者利用圆的几何性质，根据弦的垂直平分线经过圆心可得圆心，即可由两点距离求解半径得解. 【详解】方法一：圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为， 则，解得， 所以圆的标准方程为． 方法二：弦的中点为，且直线平行于轴， 则弦的垂直平分线为直线，即圆心． 所以半径， 则圆的标准方程为． 故答案为： 3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）已知圆C过点，，且圆心C在直线：上，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【分析】解法一，根据题意设圆的标准方程为，进而待定系数法求解即可； 解法二：由题知圆心在线段的垂直平分线上，进而结合题意得圆的圆心与半径，写出方程； 【详解】解法一：设圆的标准方程为， 由已知得， 解得， 所以圆的标准方程为； 解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上， 易知的中点为，，所以垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， ，得，即圆心 半径， 所以圆的标准方程为； 故答案为： 【方法二：待定系数法】 4．（25-26高二上·江西·阶段练习）过，，三点的圆的标准方程为 . 【答案】. 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【详解】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设圆的一般方程，代入顶点坐标待定系数法可解出，再转化为圆的标准方程即可. 【详解】设圆的方程为， 把的顶点坐标，，代入可得， 解得， 故所求的的外接圆的方程为， 化为标准方程可得：. 故答案为：. 【方法三：直径圆方程】 7．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 【答案】 【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程． 【详解】由题意，圆C的圆心为， 则半径为， 所以圆C的标准方程是. 故答案为：. 8．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知两点，则以为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求圆心和半径可得结果. 【详解】由，，得圆心的坐标为， ， 因此，圆的半径. 故以为直径的圆的标准方程为. 故答案为： 9．（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知和两点，则以线段AB为直径的圆的方程是 . 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式求出圆心坐标，再根据两点间的距离公式求出半径，最后根据圆的标准方程形式写出圆的方程即可. 【详解】已知,且以线段AB为直径的圆，可知圆心为的中点， 故圆心坐标为，即圆心为，半径， 故圆的标准方程为， 故答案为：. 题型2 圆的一般方程与标准方程之间的互化 1．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）已知圆的方程为，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】将圆的一般方程配方成标准方程，即得圆的半径. 【详解】由配方，可得，故该圆的半径为3. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】AD 【分析】配方后化为圆的标准方程进而即得. 【详解】由可得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：AD 3．（25-26高二上·河南·阶段练习）圆的面积（　　） A．有最小值 B．有最大值 C．没有最值 D．为定值 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准形式，即可确定半径的最值，进而判断各项的正误. 【详解】方程可化为， 当时，圆的最小半径为1，此时最小为，但无最大值. 故选：A 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据圆的一般方程及所给圆心判断ABC，再配方后求圆的半径判断D. 【详解】因为圆的一般方程不含项，所以，故A正确； 因为圆心坐标为，所以，故BC正确； 由，可得， 所以圆的半径，故D错误． 故选：ABC 5．（24-25高二上·河南信阳·期末）圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 6．（25-26高二上·河南·阶段练习）若圆的半径小于，则的取值可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【分析】将圆的方程写出标准式，即可求解. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 由可得. 故选：BC 题型3 二元二次方程与圆的方程 1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若方程表示一个圆，则b的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程，可得，结合圆的一般方程中，代入数据即可求解 【详解】由方程表示一个圆，所以，则，根据圆的一般方程需满足，此处， 代入可得，解得且，所以. 故答案为： 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数的值可以为（    ） A．29 B．25 C．16 D．41 【答案】C 【分析】将方程转化为，由求解. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得， 检验四个选项，只有C选项满足. 故选：C. 3．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知方程表示一个圆，求实数k的取值范围. 【答案】 【分析】根据圆的一般方程条件建立关于k的不等式，即可得解. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以，解得或 即实数k的取值范围为. 5．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简为圆的标准方程，再根据半径平方大于零即可求解． 【详解】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以半径的平方，解得，即的取值范围是． 故选：D． 6．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）若，则方程能表示的不同圆的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用方程表示圆的条件即可求解的取值范围，进而得解. 【详解】由方程表示圆，得， 即，解得， 因为，所以或， 则方程能表示的不同圆的个数是2. 故选：A. 考点2 点与圆的位置关系 点与圆：或 的位置关系，若为圆直径的两个端点，且与M不重合： 1、 若在圆外 或 ，则， 2、 若在圆上 或, 则， 3、 若在圆内 或 ．则， 题型4 圆过定点问题 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则 . 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 2．（25-26高二上·全国·课后作业）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【答案】 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解. 4．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出定点后结合圆的标准方程定义即可得. 【详解】，令，解得， 故直线恒过定点， 则以为圆心，2为直径的圆的方程为. 故选：C. 题型5 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可. 【详解】表示圆，故， 即，解得或. 因为点在圆外， 故，解得， 故实数的取值范围为或. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 3．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）若点在圆的外部，则实数m的取值范围 【答案】 【分析】由点在圆外及圆的方程的条件列不等式组求解. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得. 【详解】因为曲线表示圆，点在圆的外部， 所以，整理得， 由可得， 由可得或， 故. 故选：D. 5．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点在圆内，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程表示圆以及点在圆内，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于圆，即， 故满足，则； 又点在圆内，故， 即，解得， 综上所述可知， 故答案为： 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 考点3 圆的轨迹问题 1、 直接法 根据题目给出的条件设点列方程，整理简化后得出轨迹方程，这个方法在圆锥曲线中通用。 2、 定义法 1 到定点的距离等于定 2 到两定点距离的平方和为定值 3 到两定点的夹角为 4 定边对定角、对角互补、数量积为定值 5 到两定点距离之比为定值： 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于的动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 圆的半径 （用角分线原理来证明） 题型6 直接法求圆的轨迹 1．（25-26高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据得到，将其代入圆C方程，即得点的轨迹方程. 【详解】设，， 因，则， 由，可得， 即，故（*）， 因D是圆C上的动点，故， 将（*）代入上式，可得， 整理得，即为点M的轨迹方程. 故选：B 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）若点是圆上任意一点，点，则线段的中点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设，则，结合已知代入化简即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 所以，即. 故答案为：. 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设中点为，由直角三角形和圆的性质，有，代入坐标化简可得结果. 【详解】曲线是以原点O为圆心，3为半径的圆，在圆内， 设中点为，如图所示， 因为，，所以， 所以，化简得. 即的轨迹方程为. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是圆的直径，且，是圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹． 【答案】答案见解析 【分析】以圆心为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，设圆与轴交点为作于，进而利用相似三角形建立方程求解即可. 【详解】如图，以圆心为原点，所在的直线为轴建立直角坐标系， 则，圆的方程是． 设点的坐标为，并设圆与轴交点为作于， 则有． ，，即， 即， 点的轨迹是分别以为直径的两个圆．    题型7 阿氏圆 1．（2025高二·全国·专题练习）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设由题意结合阿波罗尼斯圆定义确定，可得，即可求出Q点坐标，结合平面图形性质即可求得答案.另解：阿波罗尼斯圆中定点未知，需根据“两定点和圆心三点共线”及“性质3的相似比”求出点坐标． 【详解】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，， 所以．又，所以． 由动点的轨迹是，可知，整理得． 所以，解得，所以． 又,， 所以， 当三点共线时等号成立． 另解：由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则， 根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且， 可知点的坐标为，所以， 由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为． 故选：C 2．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知两个定点，，若动点满足，则动点的轨迹为 ． 【答案】以为圆心、4为半径的圆 【分析】解法1：设点，根据已知条件利用两点坐标公式列式求解即可；解法2：根据阿氏圆的几何性质直接求解即可. 【详解】解法1：设点，则由得，整理得， 即，故动点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆． 解法2：由题意设上有一点满足，可得， 在的延迟线上有一点，满足，可得， 所以根据阿氏圆的几何性质可知动点的轨迹为以为圆心、4为半径的圆，证明如下： 阿氏圆定义：平面内到两定点的距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 证明：设上有一点满足，在的延长线上有一点，满足，    设，，则，，解得， 以中点为圆心，为直径画圆， 可得，，， 在圆上任取一点，连接， 则，，所以， 又，所以， 所以. 3．（2025高三·全国·专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设点坐标，从地往地采购的单位距离运费为，根据题意得到，写出关于与的关系式化简即可. 【详解】取的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，， 设是区域分界线上任意一点，从地往地采购的单位距离运费为， 根据题意可得，. 即， 整理得. 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可整理得到结果. 【详解】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 考点4 圆的最值与对称问题 1、 圆的对称问题 （1） 圆关于直径所在的直线对称 （2） 圆关于点或直线对称，只需要求出圆心关于点或直线对称的点坐标，半径保持不变，即可求出对称的圆的方程 2、 圆的最值问题 （1） 使用数形结合的方法，把代数式问题转化为直线的斜率问题，两点直接的距离问题等，利用几何意义求最值。 （2） 根据题目条件列出所求目标式子的函数关系式，，然后根据关系式，选择使用配方、基本不等式等方法求最值。 题型8 圆的对称问题 1．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 2．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【答案】C 【分析】求出圆心坐标后代入直线方程可求实数的值. 【详解】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 3．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据光线反射的性质，结合圆的性质、直线的两点式方程进行求解即可. 【详解】由，因此该圆的圆心坐标为， 因为光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长， 所以反射光线经过圆心， 点关于轴对称的点， 根据光反射的性质可知点必在反射光线所在的直线上， 由直线的两点式，可知反射光线所在的直线的方程为：， 令，得，即经过轴上点反射， 由直线的两点式，可知入射光线所在的直线的方程为：， 故选：D 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点关于点对称得出，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设关于点对称点， 则，所以，所以，圆的半径为， 所以圆关于点对称的圆的方程为. 故选：A. 5．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【分析】设点的坐标为，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解. 【详解】设点的坐标为，因为， 所以，即， 整理得点的轨迹方程为，此方程表示一个圆． 因为点的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，代入得． 故选：B 题型9 圆的最值问题 1．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 2．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆，直线，，求，进而得，求的中点的轨迹方程，表示和到直线的距离和，利用数形结合即可求解. 【详解】设圆，直线，， 所以点在圆上， 又因为， 由，所以为等边三角形，所以， 过和作直线的垂线，垂足分别为， 则表示和到直线的距离和，    由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值． 取的中点，过作，垂足为，则， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 所以点在上运动， 又到直线的距离为， 所以当时，到直线距离的最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为， 故选：A. 3．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简变形，令，则，利用圆与直线的位置关系列不等式计算即可. 【详解】由题意，. 令，则， 由题知，圆与直线有公共点，故圆心到直线的距离， 整理得，解得，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 4．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【分析】先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值即可判断AB；设，即与圆有公共点，利用几何法即可判断C；设，即直线与圆有交点，利用几何法即可判断D. 【详解】由题意有：圆心为，由圆心到直线的距离： ，所以P点到直线的距离的最大值为，故A错误； 所以P点到直线的距离的最小值为，故B正确； 设，即，则与圆有公共点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故C正确； 表示圆上点与点连线的斜率， 设，即，直线与圆有交点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故D正确. 故选：BCD. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 6.（2025高二·全国·专题练习）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设由题意结合阿波罗尼斯圆定义确定，可得，即可求出Q点坐标，结合平面图形性质即可求得答案.另解：阿波罗尼斯圆中定点未知，需根据“两定点和圆心三点共线”及“性质3的相似比”求出点坐标． 【详解】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，， 所以．又，所以． 由动点的轨迹是，可知，整理得． 所以，解得，所以． 又,， 所以， 当三点共线时等号成立． 另解：由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则， 根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且， 可知点的坐标为，所以， 由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为． 故选：C 7．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程分别分析面积的最大值、点到点的距离的最大值以及的最大值. 【详解】设点，已知，，且， 可得：， 两边同时平方可得：即， 化简可得：， 配方可得：，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，A正确； 已知，，则， 因为点在圆上，所以点到轴的最大距离就是圆的半径， 根据三角形面积公式可得面积的最大值为：所以B错误； 点，圆心，则， 因为点在圆上，所以点到点的距离的最大值为，C正确； 设点，则，， 所以， 因为，即， 代入上式可得： ， 因为点在圆上，所以， 当时，取得最大值，最大值为，D正确； 故选： ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 圆的方程 目录 考点1 圆的方程 0 题型1 求圆的方程 1 题型2 圆的一般方程与标准方程之间的互化 2 题型3 二元二次方程与圆的方程 3 考点2 点与圆的位置关系 3 题型4 圆过定点问题 4 题型5 点与圆的位置关系 4 考点3 圆的轨迹问题 5 题型6 直接法求圆的轨迹 5 题型7 阿氏圆 6 考点4 圆的最值与对称问题 7 题型8 圆的对称问题 7 题型9 圆的最值问题 8 考点1 圆的方程 1、 圆的定义： 在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 二、圆的标准方程：. 方程 称为圆心，半径为的圆的标准方程 三、圆的一般方程: ，化作标准式为, 圆心坐标：，半径： 注意： 1 的系数相同且都不为0 2 方程中无项 3 对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 四、直径圆方程: 以 为直径的圆的方程为 五、求圆的方程的方法 1 待定系数法：设圆的一般方程或者标准方程 2 几何法：利用圆的性质（1）圆心在任意弦的垂直平分线上（2）圆关于直径对称，则圆心在圆的对称轴上（3）圆心在过切点且与切线垂直的直线上 题型1 求圆的方程 【方法一：找圆心，求半径】 1．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ． 3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）已知圆C过点，，且圆心C在直线：上，则圆C的标准方程为 . 【方法二：待定系数法】 4．（25-26高二上·江西·阶段练习）过，，三点的圆的标准方程为 . 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为 . 【方法三：直径圆方程】 7．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 8．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知两点，则以为直径的圆的标准方程为 ． 9．（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知和两点，则以线段AB为直径的圆的方程是 . 题型2 圆的一般方程与标准方程之间的互化 1．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）已知圆的方程为，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．9 2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 3．（25-26高二上·河南·阶段练习）圆的面积（　　） A．有最小值 B．有最大值 C．没有最值 D．为定值 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南信阳·期末）圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·阶段练习）若圆的半径小于，则的取值可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型3 二元二次方程与圆的方程 1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若方程表示一个圆，则b的取值范围为 . 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数的值可以为（    ） A．29 B．25 C．16 D．41 3．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知方程表示一个圆，求实数k的取值范围. 5．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）若，则方程能表示的不同圆的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点2 点与圆的位置关系 点与圆：或 的位置关系，若为圆直径的两个端点，且与M不重合： 1、 若在圆外 或 ，则， 2、 若在圆上 或, 则， 3、 若在圆内 或 ．则， 题型4 圆过定点问题 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则 . 2．（25-26高二上·全国·课后作业）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为 . 3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 4．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 题型5 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 3．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）若点在圆的外部，则实数m的取值范围 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点在圆内，则实数m的取值范围是 . 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点3 圆的轨迹问题 1、 直接法 根据题目给出的条件设点列方程，整理简化后得出轨迹方程，这个方法在圆锥曲线中通用。 2、 定义法 1 到定点的距离等于定 2 到两定点距离的平方和为定值 3 到两定点的夹角为 4 定边对定角、对角互补、数量积为定值 5 到两定点距离之比为定值： 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于的动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 圆的半径 （用角分线原理来证明） 题型6 直接法求圆的轨迹 1．（25-26高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）若点是圆上任意一点，点，则线段的中点的轨迹方程是 . 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是圆的直径，且，是圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹． 题型7 阿氏圆 1．（2025高二·全国·专题练习）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知两个定点，，若动点满足，则动点的轨迹为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 考点4 圆的最值与对称问题 1、 圆的对称问题 （1） 圆关于直径所在的直线对称 （2） 圆关于点或直线对称，只需要求出圆心关于点或直线对称的点坐标，半径保持不变，即可求出对称的圆的方程 2、 圆的最值问题 （1） 使用数形结合的方法，把代数式问题转化为直线的斜率问题，两点直接的距离问题等，利用几何意义求最值。 （2） 根据题目条件列出所求目标式子的函数关系式，，然后根据关系式，选择使用配方、基本不等式等方法求最值。 题型8 圆的对称问题 1．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 3．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．7 题型9 圆的最值问题 1．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 2．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 5．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 6.（2025高二·全国·专题练习）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 学科网（北京）股份有限公司 $