高一物理同步专项训练-3.1重力与弹力 人教版

重力与弹力 知识精讲一 重力的基本概念与特点 1. 重力的基本概念与特点：由于地球的吸引而使物体受到的力； 2. 重力的大小：计算公式：G=mg，其中g为重力加速度，g=9.8m/s2,为方便计算,常取g=10m/s2；； 3. 重力的方向：竖直向下(唯一重力方向表述方法，其余向下，垂直向下，指向地心等说法均错误）； 4. 重力的作用点—重心：重心并不是真实存在的，是我们为了方便分析重力时，人为假想出来的一个点，我们认为重力作用于重心，实质上物体上任何部位均受重力作用。对于质量分布均匀、形状规则的物体，重心在其几何中心处。重心可以在物体内部，也可以在物体外部（如圆环）。 【特别提醒】 重力加速度g随纬度和高度的变化而略有不同，一般可以理解为离地心越远处g越小，如地球两极并非标准的球体，两极略扁，故南北极g值比赤道更大，随海拔升高，g值逐渐减小。 知识精讲二 弹力的产生条件与方向 1. 弹力的定义：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力； 关于弹力作用问题的分析方法：力是一个物体对另一个物体的作用，弹力分析时遵循一个原则—谁形变，谁产生力，谁作为施力物体存在。 2. 产生弹力的条件：物体间直接接触，接触处发生弹性形变； 3. 弹力的方向： ①压力/支持力：总是垂直于接触面，指向被压或被支持的物体； ②绳的拉力：沿着绳子，指向绳子收缩的方向； ③弹簧的弹力：沿弹簧轴线方向，指向恢复原状的方向（解题时需判断弹簧属于伸长还是压缩状态）； ④杆的弹力：方向不一定沿杆，需根据平衡条件或运动状态判断。 【特别提醒】 弹力是接触力，但不一定所有接触都有弹力（需有形变）。 知识精讲三 判断弹力有无的常用方法 1. 条件法：根据弹力产生条件—物体是否直接接触并且发生弹性形变，二者缺一不可； 2. 假设法：假设两个物体间没有弹力，看物体能否保持原有的状态。若物体运动状态不变，则此处没有弹力，反之运动状态改变时，则此处存在弹力； 3. 撤除法：假设接触面撤去，看物体运动状态是否改变； 4. 状态法：受力分析需要与物体的运动状态相对应，根据物体的运动状态，反推物体的受力情况。 知识精讲四 胡克定律与常见模型 1. 胡克定律： 内容：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧的形变量x成正比； 公式：F = kx（k为弹簧的劲度系数（单位：N/m），由弹簧本身决定；x为形变量（伸长量或压缩量），不是弹簧长度。是弹簧长度与不受力时弹簧的原长差值，计算时注意统一单位）。 2. 多弹簧系统模型： 串联：总劲度系数变小；并联：总劲度系数变大。 【特别提醒】 胡克定律仅适用于弹性限度内，超过限度弹簧会发生塑性形变； 计算形变量x时，要明确是以弹簧原长为基准。 总结：解决重力与弹力问题的核心是：①理解力的本质：重力源于地球吸引，弹力源于弹性形变。②掌握方向判断：重力竖直向下；弹力垂直于接触面或沿绳/杆。③结合受力分析：准确进行受力分析是解决力学问题的基础。 分类演练一、重力的概念与计算 1．如图所示，一只小鸟落在了树枝上，树枝发生了弯曲，小鸟处于静止状态，停留一段时间后，又飞走了。关于小鸟和树枝，下列说法正确的是（　　）    A．小鸟的重力压在了树枝上，使得树枝发生了弯曲 B．树枝对小鸟的支持力是由树枝发生形变产生的 C．小鸟起飞瞬间，翅膀对空气的作用力大于空气对翅膀的作用力 D．小鸟对树枝压力大于树枝对小鸟的支持力，使得树枝发生了弯曲 【答案】B 【详解】A．小鸟的重力作用在小鸟上，小鸟对树枝的压力使得树枝发生了弯曲，故A错误； B．树枝对小鸟的支持力是由树枝发生形变产生的，故B正确； C．翅膀对空气的作用力与空气对翅膀的作用力是一对相互作用力，大小总是相等，故C错误； D．小鸟对树枝压力与树枝对小鸟的支持力是一对相互作用力，大小总是相等，故D错误。 故选B。 2．关于重力，下列说法中正确的是（　　） A．同一物体，在地球上任何地方重力的大小和方向都不变 B．重力的作用点叫重心，重心就是重力的实际作用点 C．在同一个地方，物体的重力与质量成正比 D．重力的方向都是竖直向下的，所以地面上任何两个物体的重力方向都相互平行 【答案】C 【详解】A．物体所受重力与地理位置有关，同一物体在不同位置所受重力不同，故A错误； B．重力的等效作用点叫重心，所以重心并不是重力的实际作用点，故B错误； C．由于 可知，地理位置确定时，物体所受重力与质量成正比，故C正确； D．重力的方向竖直向下，在地球上各处重力的方向不平行，故D错误。 故选C。 3．食蟹海豹是南极常见的一种动物，如图所示，一只卧在冰面上的食蟹海豹正在将头部缓慢抬起。下列说法正确的是（    ） A．若食蟹海豹的质量为m，当地的重力加速度大小为g，则食蟹海豹受到的重力大小为mg B．食蟹海豹对南极冰块的压力就是其受到的重力 C．食蟹海豹将头部缓慢抬起的过程中，其重心一定不变 D．食蟹海豹将头部缓慢抬起的过程中，冰面对它的作用力增大 【答案】A 【详解】A．若食蟹海豹的质量为m，当地的重力加速度大小为g，则食蟹海豹受到的重力大小为mg，选项A正确； B．压力和重力是不同性质的力，只能说食蟹海豹对南极冰块的压力大小等于受到的重力大小，选项B错误； C．食蟹海豹将头部缓慢抬起的过程中，它的形体形状发生了变化，则其重心一定变化，选项C错误； D．食蟹海豹将头部缓慢抬起的过程中，它受力平衡，冰面对它的作用力与本身的重力仍等大反向，即冰面对它的作用力不变，选项D错误。 故选A。 4．关于重力和重心，下列说法中正确的是（　　） A．重力就是地球对物体的吸引力 B．同一物体在地球各处所受重力大小不一定相等 C．重心的位置只与物体的形状有关 D．重力是一种接触力，只有与地球接触的物体才受重力 【答案】B 【详解】A．力是由于地球对物体的吸引而产生的力，但重力并不等同于地球对物体的吸引力。地球对物体的吸引力是万有引力，而重力是万有引力的一个分力，故A错误； B．由于地球各处重力加速度大小不一定相等，所以同一物体在地球各处所受重力大小不一定相等，故B正确； C．重心的位置与物体的形状、物体内质量的分布有关，故C错误； D．重力不是接触力，即使物体不与地球接触也能受到重力，故D错误。 故选B。 5（多选）．关于重力和弹力，下列说法正确的是 （　　） A．质量分布均匀、形状规则的物体重心一定在几何中心 B．重力的方向垂直向下 C．静止在地面上的人受到的支持力是由于地面发生形变产生的 D．篮球斜向下落到水平地面上，地面受到的压力方向斜向下 【答案】AC 【详解】A．质量分布均匀、形状规则物体的重心一定在几何中心，故A正确； B．重力就是地球引力的一个分力，方向总是竖直向下，故B错误； C．静止在地面上的人受到的支持力是由于地面发生形变产生的，故C正确； D．弹力垂直接触面，则地面受到的压力方向垂直地面向下，故D错误。 故选AC。 分类演练二、弹力的定义及产生条件 6．玩具汽车停在模型桥面上，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．桥面受向下的弹力，是因为桥面发生了弹性形变 B．汽车没有发生形变，所以汽车不受弹力 C．汽车受向上的弹力，是因为桥面发生了弹性形变 D．汽车受向上的弹力，是因为汽车发生了弹性形变 【答案】C 【详解】A．桥面受向下的弹力，是因为汽车发生了弹性形变要恢复原状，故A错误； B．汽车与桥面接触且相互挤压，都发生了弹性形变，故B错误； CD．汽车受向上的弹力，是因为桥面发生了弹性形变要恢复原状，故C正确，D错误。 故选C。 7．如图所示，书静止于水平桌面上，下列说法正确的是（    ） A．书对桌面的压力就是书的重力 B．书对桌面的压力和书的重力是一对作用力与反作用力 C．书对桌面的压力和桌面对书的支持力是一对平衡力 D．书的重力和桌面对书的支持力是一对平衡力 【答案】D 【详解】A．书对桌面的压力是由书产生的，书的重力是由于地球吸引书产生的，不是同一个力，故A错误； BC．书对桌面的压力和桌面对书的支持力是一对作用力与反作用力，故BC错误； D．竖直方向，书的重力和桌面对书的支持力大小相等，方向相反，作用在同一物体上，是一对平衡力，故D正确。 故选D。 8．网上热传一段视频，唤醒了“80、90后”的记忆，奶奶站在凳子上用杆秤给小孙子称体重，多才的网友根据视频画了一幅漫画，如图所示。下列说法正确的是（   ） A．杆秤对小孩的拉力就是小孩所受的重力 B．奶奶对凳子的压力是由于凳子的形变引起的 C．小孩被提起后，其重心一定位于秤钩的正下方 D．凳子对奶奶的支持力与奶奶所受的重力是一对平衡力 【答案】C 【详解】A．杆秤对小孩的拉力与小孩所受的重力为一对平衡力，二者等大反向，二者不同，故A错误； B．奶奶对凳子的压力是由于奶奶的形变引起的，故B错误； C．小孩受重力与秤钩的拉力是一对平衡力，大小相等，方向相反，所以小孩的重心位于秤钩的正下方，故C正确； D．凳子对奶奶的支持力与奶奶、小孙子、杆秤所受的总重力是一对平衡力，凳子对奶奶的支持力大于奶奶所受的重力，故D错误。 故选 C。 9（多选）．下列关于弹力的说法正确的是（　　） A．弹力是由于物体发生形变产生的 B．所有求弹力的大小都可以用公式 C．弹力的方向总是竖直向下 D．拉力、支持力、压力都属于弹力 【答案】AD 【详解】A．弹力是由于物体发生形变产生的，故A正确； B．满足胡克定律的弹力才能用公式求弹力的大小，故B错误； C．重力的方向总是竖直向下，但弹力的方向不一定竖直向下，取决于形变的方向，故C错误； D．拉力、支持力、压力都属于弹力，故D正确。 故选AD。 10（多选）．如图所示，细绳竖直拉紧，小球和光滑斜面接触，则下列说法正确的是（　　） A．小球受到两个力作用，分别是重力和绳的拉力 B．小球受到三个力作用，分别是重力、绳的拉力、斜面的支持力 C．绳子对球的拉力是因为绳子发生微小的形变而产生的 D．绳子对球的拉力是因为球发生微小的形变而产生的 【答案】AC 【详解】AB．对小球分析受力，根据平衡条件可知，小球受到重力和绳的拉力这两个力的作用，故A正确，B错误； CD．绳子对球的拉力是由于绳子发生微小的形变，想要恢复原长而产生的。故C正确，D错误。 故选AC。 【点睛】明确弹力产生的原因及条件，掌握施力物体和受力物体的区别。 分类演练三 判断弹力是否有无 11．如图所示，小车内沿竖直方向的一根轻质弹簧和一条与竖直方向成角的轻质细绳共同拴接一小球，此时小车与小球保持相对静止，一起在水平面上运动，下列说法正确的是（   ） A．细绳一定对小球有拉力 B．弹簧一定对小球有弹力 C．细绳不一定对小球有拉力，但是弹簧一定对小球有弹力 D．细绳不一定对小球有拉力，弹簧也不一定对小球有弹力 【答案】D 【详解】当小车匀速运动时，弹簧弹力大小等于小球重力大小，此时细绳的拉力；当小车和小球向右做匀加速直线运动时，绳的拉力不可能为零，弹簧弹力有可能为零。 故选D。 12．下列对图中弹力有无的判断，正确的是（　　） A．小球随车厢（底部光滑）一起向右做匀速直线运动，则车厢左壁对小球有弹力 B．小球被轻绳斜拉着静止在光滑的斜面上，则绳对小球有弹力 C．小球被a、b两轻绳悬挂而静止，其中a绳处于竖直方向，则b绳对小球有拉力 D．小球静止在光滑的三角槽中，三角槽底面水平，倾斜面对球有弹力 【答案】B 【详解】A．小球随车厢（底部光滑）一起向右做匀速直线运动，小球受到的重力和小车底部对小球的支持力平衡，车厢左壁对小球无弹力，A错误； B．小球被轻绳斜拉着静止在光滑的斜面上，假设轻绳对小球没有弹力，去掉轻绳，小球会沿斜面下滑，假设不成立，即轻绳对小球有弹力，B正确； C．小球被a、b两轻绳悬挂而静止，其中a绳处于竖直方向，则小球的重力和a绳的拉力平衡，故b绳对小球一定没有拉力，C错误； D．小球静止在光滑的三角槽中，三角槽底面水平，小球的重力和三角槽底部对小球的支持力平衡，倾斜面对小球一定无弹力，D错误。 故选B。 13．如图所示，四种情境中物体A均处于静止状态，它与外界的接触面（点）均光滑（其中D图中O点为球心）。下列选项中物体A所受弹力示意图正确的是（　　） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【详解】A．A球受到墙的弹力F1，方向垂直于墙壁向右；斜面的支持力F2，方向垂直于斜面向上，故A正确； B．F2方向不对，应通过球心，故B错误； C．F1方向应垂直于墙壁向右，故C错误； D．A球只受到水平面的弹力F1，右侧的球对A没有弹力，否则A球将向左运动，与实际情况不符，故D错误。 故选A。 14（多选）．如图所示，固定斜面上有一光滑小球，有一竖直轻弹簧P与一平行斜面的轻弹簧Q连接着，小球处于静止状态，则关于小球所受弹力的个数可能的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【详解】若P弹簧对小球向上的弹力等于小球的重力，此时Q弹簧无弹力，小球受2个力平衡，只有1个弹力；若P弹簧弹力为零，小球受重力、支持力、弹簧Q的拉力处于平衡，小球受3个力，有2个弹力；若P弹簧弹力不为零，小球受重力、弹簧P的拉力、支持力、弹簧Q的拉力，小球受4个力平衡，有3个弹力。 故选ABC。 15（多选）．如图，静止的小球m分别与两个物体（或面）接触，设各接触面光滑，则A只受到一个弹力的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A．图中对A进行受力平衡分析，只受到竖直向下的重力和竖直向上的绳子的拉力即弹力，二者平衡，若此时有斜面对其垂直斜面向上的弹力，则不能受力平衡，所以只受到一个弹力，A正确； B．图中受到水平向左的力F和重力，通过受力分析可知此时若只受到下平面对其竖直向上的弹力或者只受到左边平面对其垂直平面斜向右下方的弹力时，物体都不能平衡，所以必同时受到两个平面的弹力，B错误； C．图中物体受到重力，此时分析绳子对其的拉力，斜面对其垂直斜面向上的弹力，两者缺少一个，都不能与重力平衡，所以必受到绳子对其的弹力和斜面对其的弹力共两个弹力，C错误； D．图中物体受到重力和平面对其竖直向上的弹力，此时若右边平面对其有弹力则不能平衡，则只受到一个弹力，D正确。 故选AD。 16（多选）．如图所示，一倾角为的斜面固定于竖直光滑墙上，为使一光滑的铁球静止，需加一水平力F，且F通过球心，则下列说法正确的是（　　） A．球一定受到墙的弹力且水平向左 B．球可能受到墙的弹力且水平向左 C．球可能受到斜面的弹力且垂直斜面向上 D．球一定受到斜面的弹力且垂直斜面向上 【答案】BD 【详解】AB．若没有竖直墙，球在水平力F和斜面共同作用下也可能处于静止状态，即球可能不受墙的弹力，若有弹力则该弹力方向垂直竖直墙水平向左，故A错误，B正确； CD．若无斜面，球一定不会保持静止，即球一定会受到斜面的弹力，该弹力方向垂直斜面向上，故C错误，D正确。 故选BD。 题型四、胡克定律 17．将一小球放在竖直弹簧的顶端，静止时弹簧长度为L1，如图甲所示。将同一小球连接在同一弹簧下端并竖直悬挂，静止时弹簧长度为L2。已知小球质量为m，重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内，则该弹簧的劲度系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设弹簧原长为，根据平衡条件及胡克定律对甲乙两种情形分别列式 联立可解得 故选B。 18．如图所示，光滑水平面上放置一轻质弹簧。当在弹簧两端施加大小均为20N的拉力时，弹簧的长度为30cm；当在弹簧两端施加大小均为10N的压力时，弹簧的长度为15cm。弹簧均处于弹性限度内，则该弹簧的劲度系数为（　　） A．66.7N/m B．200N/m C．300N/m D．400N/m 【答案】B 【详解】令弹簧原长为，当在弹簧两端施加大小均为20N的拉力时，根据胡克定律有 当在弹簧两端施加大小均为10N的压力时，根据胡克定律有 结合题中数据解得 k=200N/m 故选B。 19．如图所示的装置中，三个相同的轻弹簧在未受力状态下的原长相等，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计。平衡时各弹簧的长度分别为L1、L2、L3，弹簧在弹性限度内，其大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于小球的质量相等，故三种情况下小球对弹簧产生的拉力相等，由胡克定律 可知，各弹簧的形变量相等，由于原长相等，故平衡时各弹簧的长度都相等。 故选A。 20（多选）．如图所示，原长分别为L1和L2、劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧竖直地放置在地板上，两弹簧之间有一个质量为m2的物体，最上端放着质量为m1的另一个物体，整个装置处于静止状态，弹簧没有超出弹性限度，重力加速度为g，则（　　） A．上面一根弹簧的压缩量为 B．下面一根弹簧的压缩量为 C．两根弹簧的总压缩量为 D．两根弹簧的总压缩量为 【答案】AD 【详解】A．对m1有 得 故A正确； B．把m1、m2看作整体，则由二力平衡得 得 故B错误； CD．则两个弹簧的总压缩量为 故C错误，D正确。 故选AD。 21．如图所示，劲度系数为的轻弹簧两端分别与质量和的物块1，2拴接，劲度系数为的轻质弹簧上端与物块2栓接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态，现用力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面弹簧的下端刚离开地时，求 (1)在这个过程中，物块1和物块2上升的距离各为多少？ (2)这个力大小是多少？ 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设初始状态两弹簧的压缩量分别为、，根据受力平衡可得 ， 解得 ， 用力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面弹簧的下端刚离开地时，此时下面弹簧处于原长状态，上面弹簧处于拉伸状态，设伸长量为，根据受力平衡可得 解得 则物块1上升的距离为 物块2上升的距离为 （2）以两物体和两弹簧为整体，根据受力平衡可得 题型五、弹簧的F-X图像问题 22．一个实验小组在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b来做实验，得到弹力与弹簧长度的关系图像如图所示。下列表述正确的是（　　） A．测得的弹力与弹簧的长度成正比 B．挂同样重的物体，a的伸长量比b的伸长量更大 C．a的劲度系数比b的大 D．a的原长比b的长 【答案】C 【详解】A．由，可知测得的弹力与弹簧的长度成一次函数关系，弹力与弹簧的形变量成正比，故A错误； C．由图像的斜率表示弹簧的劲度系数，由图像可知a的劲度系数比b的大，故C正确； B．由可知挂同样重的物体，a的伸长量比b的伸长量小，故B错误； D．根据可知图像与横轴的截距表示原长，由图像可知a弹簧比b弹簧原长小，故D错误。 故选C。 23．如图甲所示，一轻弹簧左端与墙壁相连于O点，作用于右端A点的水平外力F（F未画出）变化时，弹簧长度不断变化，取水平向左为正方向，得到F与弹簧长度l的关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　）    A．弹簧原长为5cm B．弹簧的劲度系数为4N/m C．l=10cm时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向左 D．在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧长度成正比 【答案】C 【详解】A．当F=0时，弹簧处于自然长度状态，即弹簧原长为15cm，A错误； B．由胡克定律可得弹簧的劲度系数为 B错误； C．由图乙可知，l=10cm时，水平外力F是正值，方向向左，弹簧处于压缩状态，因此弹簧对墙壁的弹力方向水平向左，C正确； D．在弹性限度内，由胡克定律可知，弹簧弹力与弹簧的形变量成正比关系，D错误。 故选C。 24．如图所示为某一轻质弹簧的弹力F大小与长度l的关系图像，由图可得该弹簧（　　） A．原长为5cm B．劲度系数为2N/m C．伸长量为15cm时，弹力大小为10N D．长度为12cm时，弹力大小为4N 【答案】D 【详解】A．弹力为零时，弹簧没有形变，所以弹簧原长为10cm，A错误； B．图像的斜率表示劲度系数，即 B错误； C．由图可知，弹簧长为15cm时，弹力大小为10N，C错误； D．长度为12cm时，弹力为 D正确。 故选D。 25（多选）．某弹簧弹力F（N）与弹簧总长度x（m）的关系图线如图，则下面说法正确的是（　　） A．弹簧的原长是0.1cm B．弹簧的劲度系数是150N/m C．弹簧的劲度系数是300N/m D．当弹簧的弹力大小是15N时，此时弹簧总长度可能是5cm 【答案】CD 【详解】A．设弹簧原长为，根据胡克定律可得 可得图像的横截距表示弹簧的原长，即是0.1m，故A错误； BC．图像的斜率表示弹簧的劲度系数，即 故B错误，C正确； D．当弹簧的弹力大小是15N且弹簧处于压缩状态时，弹簧的总长度为 故D正确。 故选CD。 课后巩固训练 1．街舞于20世纪80年代兴起，广受青少年的喜爱，一名少年当街表演街舞，他单手倒立并静止于水平地面上的情景如图所示，下列说法正确的是（　　） A．少年的重心在手与地面接触处的正上方 B．少年的舞蹈动作改变时，他的重心位置一定不会发生变化 C．地面对少年的支持力大于少年的重力 D．地面对少年的支持力是由于少年与地面接触的手掌发生形变而产生的 【答案】A 【详解】AC．以少年为对象，根据平衡条件可知，地面对少年的支持力等于少年的重力，重力与支持力在同一竖直线上，则少年的重心在手与地面接触处的正上方，故A正确，C错误； B．少年的舞蹈动作改变时，他的重心位置可能会发生变化，故B错误； D．地面对少年的支持力是由于地面发生形变而产生的，故D错误。 故选A。 2．关于力的下述说法中正确的是（　　） A．力是物体与物体之间的相互作用 B．只有直接接触的物体间才有力的作用 C．力可以离开物体而独立存在 D．重力没有施力物体 【答案】A 【详解】A．力是物体与物体之间的相互作用，故A正确； B．没有直接接触的物体间也会有力的作用，比如电荷之间的作用力，故B错误； CD．力不可以离开物体而独立存在，物体受到重力的施力物体是地球，故CD错误。 故选A。 3．关于重力和弹力，下列说法正确的是（　　） A．质量分布均匀、形状规则物体的重心不一定在几何中心 B．重力就是地球对物体的吸引力，方向总是竖直向下 C．静止在地面上的人受到的支持力是由于地面发生形变产生的 D．篮球斜向下落到水平地面上，地面受到的压力方向斜向下 【答案】C 【详解】A．质量分布均匀、形状规则物体的重心一定在几何中心，故A错误； B．重力是地球对物体的吸引力的一部分，方向总是竖直向下，故B错误； C．静止在地面上的人受到的支持力是由于地面发生形变产生的，故C正确； D．篮球斜向下落到水平地面上，地面受到的压力方向垂直水平地面向下，故D错误。 故选C。 4．如图，一只小鸟落在了树枝上，树枝发生了弯曲（小鸟站立处树枝不水平），小鸟处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．树枝发生了弯曲，是因为小鸟对树枝的压力大于树枝对小鸟的支持力 B．树枝对小鸟的支持力是由树枝发生形变产生的 C．树枝对小鸟作用力的方向斜向上偏右 D．小鸟起飞瞬间，翅膀对空气的作用力大于空气对翅膀的作用力 【答案】B 【详解】A．力的作用是相互的，小鸟对树枝的压力等于树枝对小鸟的支持力，故A错误； B．树枝与小鸟接触的位置发生形变，想要恢复原状，对小鸟产生支持力的作用，故B正确； C．小鸟受重力、支持力和摩擦力，因为小鸟处于静止状态，受力平衡，合力为零，树枝对小鸟作用力为支持力和摩擦力的合力，方向竖直向上，与重力二力平衡，故C错误； D．力的作用是相互的，翅膀对空气的作用力等于空气对翅膀的作用力，故D错误。 故选B。 5．图中各物体均处于静止状态，图中画出了小球A所受弹力的情况，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．图中A球只受重力和杆的弹力且处于静止状态，由二力平衡可得小球受到的弹力应竖直向上，故A错误； B．图中因为右边绳竖直向上，如果左边的绳有拉力的话，则有水平向左的分力，水平方向不可能受力平衡，所以左边的绳没有拉力，故B错误； C．根据受力平衡可知图中A球受到竖直墙面水平向左的弹力和下方小球垂直于过接触点的公切面（即在两球心的连线上）的弹力，故C正确； D．对于球与面接触的弹力方向，过接触点垂直于接触面（即在接触点与球心的连线上），即图中大半圆对小球的支持力应指向大半圆的圆心，故D错误。 故选C。 6（多选）．下列对图中弹力有无的判断，正确的是（　　） A．小球随车厢（底部光滑）一起向右做匀速直线运动，则车厢左壁对小球有弹力 B．小球被轻绳斜拉着静止在光滑的斜面上，则绳对小球有弹力 C．小球被a、b两轻绳悬挂而静止，其中a绳处于竖直方向，则b绳对小球一定没有拉力 D．小球静止在光滑的三角槽中，三角槽底面水平，倾斜面对球有弹力 【答案】BC 【详解】A．小球随车厢（底部光滑）一起向右做匀速直线运动，小球受到的重力和小车底部对小球的支持力平衡，车厢左壁对小球无弹力，A错误； B．小球被轻绳斜拉着静止在光滑的斜面上，假设轻绳对小球没有弹力，去掉轻绳，小球会沿斜面下滑，假设不成立，即轻绳对小球有弹力，B正确； C．小球被a、b两轻绳悬挂而静止，其中a绳处于竖直方向，则小球的重力和a绳的拉力平衡，故b绳对小球一定没有拉力，C正确； D．小球静止在光滑的三角槽中，三角槽底面水平，小球的重力和三角槽底部对小球的支持力平衡，倾斜面对小球一定无弹力，D错误。 故选BC。 7（多选）．两根完全相同的轻弹簧的原长均为L，将两弹簧与完全相同的两物体A、B，按如图所示的方式连接，并悬挂于天花板上，静止时两根弹簧的总长为2.6L。现用手托着B物体，使下面的弹簧2恢复到原长，则下面说法正确的有（　　）    A．静止悬挂稳定时弹簧1的长度为1.4L，弹簧2的长度为1.2L B．弹簧2恢复原长时弹簧1长度为1.4L C．物体A上升的距离为0.2L D．物体B上升的距离为0.2L 【答案】AC 【详解】A．悬挂稳定时，弹簧1的弹力等于A、B两个物体的总重力，而弹簧2的弹力等于B物体的重力，根据平衡条件有 而 可得 静止悬挂稳定时弹簧1的长度为 弹簧2的长度为 故A正确； BCD．弹簧2恢复原长时，由平衡可知 可得 弹簧1长度为 物体A上升的距离为 物体B上升的距离为 故BD错误，C正确。 故选AC。 8（多选）．如图所示为一轻质弹簧的长度和弹力的关系图像（轻质弹簧未超过弹性限度），下列说法正确的是（　　） A．弹簧的原长为6cm B．弹簧的劲度系数为100N/m C．弹簧在长度分别为4cm和8cm时受到的弹力相同 D．在该弹簧两端各加1N的压力，静止时弹簧的长度为4cm 【答案】AB 【详解】A．由图可知弹簧的原长是，A正确； B．由胡克定律得 B正确； C．弹簧在4cm是被压缩，弹簧在8cm时被拉长，弹簧上的弹力大小相等，方向相反，C错误； D．该弹簧两端各加1N压力时，弹簧的弹力为1N，根据胡克定律弹簧的长度为 解得弹簧长度为 D错误。 故选AB。 9．用铁架台、带挂钩的不同弹簧若干、50g的钩码若干、刻度尺等，安装如图甲所示的装置，探究弹簧弹力F的大小与伸长量x之间的定量关系。 （1）未挂钩码时，弹簧原长放大如图甲所示，可读得原长. L0= cm。 （2）由图乙还可知劲度系数较大的是 弹簧（填“A”或“B”）；还可算出 B 弹簧的劲度系数为 N/m（保留三位有效数字）。若把两个弹簧分别制作成弹簧秤， （填“A”或“B”）的灵敏度更高。 （3）若某同学做实验时，误把弹簧长度当成伸长量作为横坐标作图，则该同学所作图像得到的劲度系数将 （填“偏大”，“偏小”或“不变”）。 【答案】 2.78/2.79/2.80/2.81/2.82 A 10.0 B 不变 【详解】（1）[1] 图中刻度尺的分度值为1mm，要估读到分度值的下一位，已知刻度尺的零刻度线与弹簧上端平齐，弹簧长度为 2.78-2.82cm均正确； （2）[2] [3] 根据胡克定律有 图像的斜率表示劲度系数，则可知A弹簧的劲度系数大于B弹簧的劲度系数；B弹簧的劲度系数为 [4] 把两个弹簧分别制作成弹簧秤，选择劲度系数小的，即B,形变更加明显，更加准确； （3）[5] 弹簧原长为L0弹簧长度当成伸长量函数关系可得 可知图像斜率仍为劲度系数，不会发生改变。 10．某同学自制弹簧测力计，做“探究共点力合成的规律”实验，弹簧弹力与弹簧长度的关系图像如图1所示。 （1）用来制作弹簧测力计的弹簧有a、b两种型号，则选用 （选填a或b）弹簧做测力计误差较小。 （2）该同学做“探究共点力合成的规律”的实验情况如图2甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳，图2乙是在白纸上根据实验结果作出的图。 ①按照正确实验操作，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是 ； ②下列说法正确的是 A．两根细绳必须等长       B．橡皮条应与两绳夹角的平分线在同一直线上 C．在用两只弹簧测力计同时拉细绳时要保证两只弹簧测力计的示数相等 D．本实验所用物理方法：“等效替代” 【答案】 b D 【详解】（1）[1]根据胡克定律 可知图像的斜率表示弹簧的劲度系数，从图中可看出b的劲度系数小，分度值小，测量误差较小，所以选择b。 （2）①[2]从图乙中可以看出，F是有平行四边形得出的，而是通过实验方法得到的，其方向一定与橡皮筋的方向相同，所以方向一定沿AO方向的是。 ②[3]A．实验时。为了便于确定两个分力的方向，两根细绳应适当长一些，但不需要等长，A错误； B．橡皮条的方向是合力的方向，不需要与两绳夹角的平分线在同一直线上，B错误； C．在用两只弹簧测力计同时拉细绳时要注意拉力不能太大，不能超出弹簧的弹性限度，但不需要两只弹簧测力计的示数相等，C错误； D．本实验采用的方法是用一个力作用产生的作用效果与两个力共同作用产生的效果相同，即“等效替代”的方法。 故选D。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重力与弹力 知识精讲一 重力的基本概念与特点 1. 重力的基本概念与特点：由于地球的吸引而使物体受到的力； 2. 重力的大小：计算公式：G=mg，其中g为重力加速度，g=9.8m/s2,为方便计算,常取g=10m/s2；； 3. 重力的方向：竖直向下(唯一重力方向表述方法，其余向下，垂直向下，指向地心等说法均错误）； 4. 重力的作用点—重心：重心并不是真实存在的，是我们为了方便分析重力时，人为假想出来的一个点，我们认为重力作用于重心，实质上物体上任何部位均受重力作用。对于质量分布均匀、形状规则的物体，重心在其几何中心处。重心可以在物体内部，也可以在物体外部（如圆环）。 【特别提醒】 重力加速度g随纬度和高度的变化而略有不同，一般可以理解为离地心越远处g越小，如地球两极并非标准的球体，两极略扁，故南北极g值比赤道更大，随海拔升高，g值逐渐减小。 知识精讲二 弹力的产生条件与方向 1. 弹力的定义：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力； 关于弹力作用问题的分析方法：力是一个物体对另一个物体的作用，弹力分析时遵循一个原则—谁形变，谁产生力，谁作为施力物体存在。 2. 产生弹力的条件：物体间直接接触，接触处发生弹性形变； 3. 弹力的方向： ①压力/支持力：总是垂直于接触面，指向被压或被支持的物体； ②绳的拉力：沿着绳子，指向绳子收缩的方向； ③弹簧的弹力：沿弹簧轴线方向，指向恢复原状的方向（解题时需判断弹簧属于伸长还是压缩状态）； ④杆的弹力：方向不一定沿杆，需根据平衡条件或运动状态判断。 【特别提醒】 弹力是接触力，但不一定所有接触都有弹力（需有形变）。 知识精讲三 判断弹力有无的常用方法 1. 条件法：根据弹力产生条件—物体是否直接接触并且发生弹性形变，二者缺一不可； 2. 假设法：假设两个物体间没有弹力，看物体能否保持原有的状态。若物体运动状态不变，则此处没有弹力，反之运动状态改变时，则此处存在弹力； 3. 撤除法：假设接触面撤去，看物体运动状态是否改变； 4. 状态法：受力分析需要与物体的运动状态相对应，根据物体的运动状态，反推物体的受力情况。 知识精讲四 胡克定律与常见模型 1. 胡克定律： 内容：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧的形变量x成正比； 公式：F = kx（k为弹簧的劲度系数（单位：N/m），由弹簧本身决定；x为形变量（伸长量或压缩量），不是弹簧长度。是弹簧长度与不受力时弹簧的原长差值，计算时注意统一单位）。 2. 多弹簧系统模型： 串联：总劲度系数变小；并联：总劲度系数变大。 【特别提醒】 胡克定律仅适用于弹性限度内，超过限度弹簧会发生塑性形变； 计算形变量x时，要明确是以弹簧原长为基准。 总结：解决重力与弹力问题的核心是：①理解力的本质：重力源于地球吸引，弹力源于弹性形变。②掌握方向判断：重力竖直向下；弹力垂直于接触面或沿绳/杆。③结合受力分析：准确进行受力分析是解决力学问题的基础。 分类演练一、重力的概念与计算 1．如图所示，一只小鸟落在了树枝上，树枝发生了弯曲，小鸟处于静止状态，停留一段时间后，又飞走了。关于小鸟和树枝，下列说法正确的是（　　）    A．小鸟的重力压在了树枝上，使得树枝发生了弯曲 B．树枝对小鸟的支持力是由树枝发生形变产生的 C．小鸟起飞瞬间，翅膀对空气的作用力大于空气对翅膀的作用力 D．小鸟对树枝压力大于树枝对小鸟的支持力，使得树枝发生了弯曲 2．关于重力，下列说法中正确的是（　　） A．同一物体，在地球上任何地方重力的大小和方向都不变 B．重力的作用点叫重心，重心就是重力的实际作用点 C．在同一个地方，物体的重力与质量成正比 D．重力的方向都是竖直向下的，所以地面上任何两个物体的重力方向都相互平行 3．食蟹海豹是南极常见的一种动物，如图所示，一只卧在冰面上的食蟹海豹正在将头部缓慢抬起。下列说法正确的是（    ） A．若食蟹海豹的质量为m，当地的重力加速度大小为g，则食蟹海豹受到的重力大小为mg B．食蟹海豹对南极冰块的压力就是其受到的重力 C．食蟹海豹将头部缓慢抬起的过程中，其重心一定不变 D．食蟹海豹将头部缓慢抬起的过程中，冰面对它的作用力增大 4．关于重力和重心，下列说法中正确的是（　　） A．重力就是地球对物体的吸引力 B．同一物体在地球各处所受重力大小不一定相等 C．重心的位置只与物体的形状有关 D．重力是一种接触力，只有与地球接触的物体才受重力 5（多选）．关于重力和弹力，下列说法正确的是 （　　） A．质量分布均匀、形状规则的物体重心一定在几何中心 B．重力的方向垂直向下 C．静止在地面上的人受到的支持力是由于地面发生形变产生的 D．篮球斜向下落到水平地面上，地面受到的压力方向斜向下 分类演练二、弹力的定义及产生条件 6．玩具汽车停在模型桥面上，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．桥面受向下的弹力，是因为桥面发生了弹性形变 B．汽车没有发生形变，所以汽车不受弹力 C．汽车受向上的弹力，是因为桥面发生了弹性形变 D．汽车受向上的弹力，是因为汽车发生了弹性形变 7．如图所示，书静止于水平桌面上，下列说法正确的是（    ） A．书对桌面的压力就是书的重力 B．书对桌面的压力和书的重力是一对作用力与反作用力 C．书对桌面的压力和桌面对书的支持力是一对平衡力 D．书的重力和桌面对书的支持力是一对平衡力 8．网上热传一段视频，唤醒了“80、90后”的记忆，奶奶站在凳子上用杆秤给小孙子称体重，多才的网友根据视频画了一幅漫画，如图所示。下列说法正确的是（   ） A．杆秤对小孩的拉力就是小孩所受的重力 B．奶奶对凳子的压力是由于凳子的形变引起的 C．小孩被提起后，其重心一定位于秤钩的正下方 D．凳子对奶奶的支持力与奶奶所受的重力是一对平衡力 9（多选）．下列关于弹力的说法正确的是（　　） A．弹力是由于物体发生形变产生的 B．所有求弹力的大小都可以用公式 C．弹力的方向总是竖直向下 D．拉力、支持力、压力都属于弹力 10（多选）．如图所示，细绳竖直拉紧，小球和光滑斜面接触，则下列说法正确的是（　　） A．小球受到两个力作用，分别是重力和绳的拉力 B．小球受到三个力作用，分别是重力、绳的拉力、斜面的支持力 C．绳子对球的拉力是因为绳子发生微小的形变而产生的 D．绳子对球的拉力是因为球发生微小的形变而产生的 分类演练三 判断弹力是否有无 11．如图所示，小车内沿竖直方向的一根轻质弹簧和一条与竖直方向成角的轻质细绳共同拴接一小球，此时小车与小球保持相对静止，一起在水平面上运动，下列说法正确的是（   ） A．细绳一定对小球有拉力 B．弹簧一定对小球有弹力 C．细绳不一定对小球有拉力，但是弹簧一定对小球有弹力 D．细绳不一定对小球有拉力，弹簧也不一定对小球有弹力 12．下列对图中弹力有无的判断，正确的是（　　） A．小球随车厢（底部光滑）一起向右做匀速直线运动，则车厢左壁对小球有弹力 B．小球被轻绳斜拉着静止在光滑的斜面上，则绳对小球有弹力 C．小球被a、b两轻绳悬挂而静止，其中a绳处于竖直方向，则b绳对小球有拉力 D．小球静止在光滑的三角槽中，三角槽底面水平，倾斜面对球有弹力 13．如图所示，四种情境中物体A均处于静止状态，它与外界的接触面（点）均光滑（其中D图中O点为球心）。下列选项中物体A所受弹力示意图正确的是（　　） A．   B．     C．   D．   14（多选）．如图所示，固定斜面上有一光滑小球，有一竖直轻弹簧P与一平行斜面的轻弹簧Q连接着，小球处于静止状态，则关于小球所受弹力的个数可能的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15（多选）．如图，静止的小球m分别与两个物体（或面）接触，设各接触面光滑，则A只受到一个弹力的是（　　） A． B． C． D． 16（多选）．如图所示，一倾角为的斜面固定于竖直光滑墙上，为使一光滑的铁球静止，需加一水平力F，且F通过球心，则下列说法正确的是（　　） A．球一定受到墙的弹力且水平向左 B．球可能受到墙的弹力且水平向左 C．球可能受到斜面的弹力且垂直斜面向上 D．球一定受到斜面的弹力且垂直斜面向上 题型四、胡克定律 17．将一小球放在竖直弹簧的顶端，静止时弹簧长度为L1，如图甲所示。将同一小球连接在同一弹簧下端并竖直悬挂，静止时弹簧长度为L2。已知小球质量为m，重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内，则该弹簧的劲度系数为（　　） A． B． C． D． 18．如图所示，光滑水平面上放置一轻质弹簧。当在弹簧两端施加大小均为20N的拉力时，弹簧的长度为30cm；当在弹簧两端施加大小均为10N的压力时，弹簧的长度为15cm。弹簧均处于弹性限度内，则该弹簧的劲度系数为（　　） A．66.7N/m B．200N/m C．300N/m D．400N/m 19．如图所示的装置中，三个相同的轻弹簧在未受力状态下的原长相等，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计。平衡时各弹簧的长度分别为L1、L2、L3，弹簧在弹性限度内，其大小关系是（　　） A． B． C． D． 20（多选）．如图所示，原长分别为L1和L2、劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧竖直地放置在地板上，两弹簧之间有一个质量为m2的物体，最上端放着质量为m1的另一个物体，整个装置处于静止状态，弹簧没有超出弹性限度，重力加速度为g，则（　　） A．上面一根弹簧的压缩量为 B．下面一根弹簧的压缩量为 C．两根弹簧的总压缩量为 D．两根弹簧的总压缩量为 21．如图所示，劲度系数为的轻弹簧两端分别与质量和的物块1，2拴接，劲度系数为的轻质弹簧上端与物块2栓接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态，现用力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面弹簧的下端刚离开地时，求 (1)在这个过程中，物块1和物块2上升的距离各为多少？ (2)这个力大小是多少？ 题型五、弹簧的F-X图像问题 22．一个实验小组在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b来做实验，得到弹力与弹簧长度的关系图像如图所示。下列表述正确的是（　　） A．测得的弹力与弹簧的长度成正比 B．挂同样重的物体，a的伸长量比b的伸长量更大 C．a的劲度系数比b的大 D．a的原长比b的长 23．如图甲所示，一轻弹簧左端与墙壁相连于O点，作用于右端A点的水平外力F（F未画出）变化时，弹簧长度不断变化，取水平向左为正方向，得到F与弹簧长度l的关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　）    A．弹簧原长为5cm B．弹簧的劲度系数为4N/m C．l=10cm时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向左 D．在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧长度成正比 24．如图所示为某一轻质弹簧的弹力F大小与长度l的关系图像，由图可得该弹簧（　　） A．原长为5cm B．劲度系数为2N/m C．伸长量为15cm时，弹力大小为10N D．长度为12cm时，弹力大小为4N 25（多选）．某弹簧弹力F（N）与弹簧总长度x（m）的关系图线如图，则下面说法正确的是（　　） A．弹簧的原长是0.1cm B．弹簧的劲度系数是150N/m C．弹簧的劲度系数是300N/m D．当弹簧的弹力大小是15N时，此时弹簧总长度可能是5cm 课后巩固训练 1．街舞于20世纪80年代兴起，广受青少年的喜爱，一名少年当街表演街舞，他单手倒立并静止于水平地面上的情景如图所示，下列说法正确的是（　　） A．少年的重心在手与地面接触处的正上方 B．少年的舞蹈动作改变时，他的重心位置一定不会发生变化 C．地面对少年的支持力大于少年的重力 D．地面对少年的支持力是由于少年与地面接触的手掌发生形变而产生的 2．关于力的下述说法中正确的是（　　） A．力是物体与物体之间的相互作用 B．只有直接接触的物体间才有力的作用 C．力可以离开物体而独立存在 D．重力没有施力物体 3．关于重力和弹力，下列说法正确的是（　　） A．质量分布均匀、形状规则物体的重心不一定在几何中心 B．重力就是地球对物体的吸引力，方向总是竖直向下 C．静止在地面上的人受到的支持力是由于地面发生形变产生的 D．篮球斜向下落到水平地面上，地面受到的压力方向斜向下 4．如图，一只小鸟落在了树枝上，树枝发生了弯曲（小鸟站立处树枝不水平），小鸟处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．树枝发生了弯曲，是因为小鸟对树枝的压力大于树枝对小鸟的支持力 B．树枝对小鸟的支持力是由树枝发生形变产生的 C．树枝对小鸟作用力的方向斜向上偏右 D．小鸟起飞瞬间，翅膀对空气的作用力大于空气对翅膀的作用力 5．图中各物体均处于静止状态，图中画出了小球A所受弹力的情况，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 6（多选）．下列对图中弹力有无的判断，正确的是（　　） A．小球随车厢（底部光滑）一起向右做匀速直线运动，则车厢左壁对小球有弹力 B．小球被轻绳斜拉着静止在光滑的斜面上，则绳对小球有弹力 C．小球被a、b两轻绳悬挂而静止，其中a绳处于竖直方向，则b绳对小球一定没有拉力 D．小球静止在光滑的三角槽中，三角槽底面水平，倾斜面对球有弹力 7（多选）．两根完全相同的轻弹簧的原长均为L，将两弹簧与完全相同的两物体A、B，按如图所示的方式连接，并悬挂于天花板上，静止时两根弹簧的总长为2.6L。现用手托着B物体，使下面的弹簧2恢复到原长，则下面说法正确的有（　　）    A．静止悬挂稳定时弹簧1的长度为1.4L，弹簧2的长度为1.2L B．弹簧2恢复原长时弹簧1长度为1.4L C．物体A上升的距离为0.2L D．物体B上升的距离为0.2L 8（多选）．如图所示为一轻质弹簧的长度和弹力的关系图像（轻质弹簧未超过弹性限度），下列说法正确的是（　　） A．弹簧的原长为6cm B．弹簧的劲度系数为100N/m C．弹簧在长度分别为4cm和8cm时受到的弹力相同 D．在该弹簧两端各加1N的压力，静止时弹簧的长度为4cm 9．用铁架台、带挂钩的不同弹簧若干、50g的钩码若干、刻度尺等，安装如图甲所示的装置，探究弹簧弹力F的大小与伸长量x之间的定量关系。 （1）未挂钩码时，弹簧原长放大如图甲所示，可读得原长. L0= cm。 （2）由图乙还可知劲度系数较大的是 弹簧（填“A”或“B”）；还可算出 B 弹簧的劲度系数为 N/m（保留三位有效数字）。若把两个弹簧分别制作成弹簧秤， （填“A”或“B”）的灵敏度更高。 （3）若某同学做实验时，误把弹簧长度当成伸长量作为横坐标作图，则该同学所作图像得到的劲度系数将 （填“偏大”，“偏小”或“不变”）。 10．某同学自制弹簧测力计，做“探究共点力合成的规律”实验，弹簧弹力与弹簧长度的关系图像如图1所示。 （1）用来制作弹簧测力计的弹簧有a、b两种型号，则选用 （选填a或b）弹簧做测力计误差较小。 （2）该同学做“探究共点力合成的规律”的实验情况如图2甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳，图2乙是在白纸上根据实验结果作出的图。 ①按照正确实验操作，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是 ； ②下列说法正确的是 A．两根细绳必须等长       B．橡皮条应与两绳夹角的平分线在同一直线上 C．在用两只弹簧测力计同时拉细绳时要保证两只弹簧测力计的示数相等 D．本实验所用物理方法：“等效替代” 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $