2.3.1 两条直线平行与垂直的判定同步练习-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 一、必备知识基础 1.(2025甘肃兰州高二期中)将直线y=2x+1绕点(1,3)逆时针旋转 rad后所得直线的方程为(　　) A.x-2y+5=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-7=0 D.x+2y+1=0 2.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是(　　) A.2ax-ay+6=0(a≠0,且a≠-2) B.y=2x C.2x-y+5=0 D.2x+y-3=0 3.(多选题)(2025甘肃白银高二期末)已知直线l1:x+2y-2=0,直线l2:(k-1)x+ky+3=0,则(　　) A.直线l2可以与x轴平行 B.直线l2可以与y轴平行 C.当l1∥l2时,k=2 D.当l1⊥l2时,k=- 4.(2025甘肃多校高二期末联考)若直线l1:mx+2y-2=0 与l2:5x+(m+3)y-5=0平行,则m=(　　) A.- B.2 C.-5 D.-5或2 5.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(　　) A. B.a C.- D.-或不存在 6.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),则AB边上的高所在直线的斜率为　　　　　.  7.已知直线l1,l2的斜率是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,若直线l1,l2垂直,则t=　　　　　.  8.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(n-1,3),C(-1,3-n). (1)若∠A是直角,求实数n的值; (2)求过坐标原点,且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程. 二、关键能力提升 9.若直线l过点(1,3)且与斜率为4的直线垂直,则直线l的方程为(　　) A.x+4y-13=0 B.4x-y-1=0 C.x+4y-8=0 D.4x-y-15=0 10.已知直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2为2x+y-1=0,直线l3为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为(　　) A.-10 B.-2 C.0 D.8 11.(多选题)已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0,则下列说法正确的是(　　) A.若l1∥l2,则m=-1或m=3 B.若l1∥l2,则m=-1 C.若l1⊥l2,则m=- D.若l1⊥l2,则m= 12.(多选题)已知直线l1:3x+y-3=0,直线l2:6x+my+1=0,则下列表述正确的有(　　) A.直线l2的斜率为- B.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-18 C.直线l1倾斜角的正切值为3 D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=2 13.点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为　　　　　　　,线段MH的垂直平分线的方程为　　　　　　　.  14.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,试求点D的坐标. 15.若△ABC的顶点A的坐标为(2,3),三角形其中两条高所在的直线方程为x-2y+3=0和x+y-4=0,试求此三角形的边AB,AC所在直线的方程. 三、学科素养创新 16.已知直线l1:xcos2α+y+2=0,若l1⊥l2,则直线l2的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 17.(多选题)已知直线l1:xsin α+y=0与直线l2:x+3y+c=0,则下列结论正确的是(　　) A.直线l1与直线l2可能相交 B.直线l1与直线l2可能重合 C.直线l1与直线l2可能垂直 D.直线l1与直线l2可能平行 参考答案 1.C　解析 由题意可知,所得直线与直线y=2x+1垂直,即所求直线的斜率为-, 因此所求直线的方程为y-3=-(x-1),即x+2y-7=0. 故选C. 2.ABC　与直线2x-y-3=0平行的直线的方程都可以化为2x-y+m=0(m≠-3)的形式,因此选项A,B,C符合,故选ABC. 3.ABC　当k=0时,直线l2:x=3,此时直线l2与y轴平行,故B选项正确; 若k=1,则直线l2:y+3=0,此时直线l2与x轴平行,故A选项正确; 若l1∥l2,则k-2(k-1)=0,解得k=2, 经验证可知此时两直线不重合,故C选项正确; 若l1⊥l2,则k-1+2k=0,解得k=,故D选项错误.故选ABC. 4.C　解析 因为直线l1:mx+2y-2=0与l2:5x+(m+3)y-5=0平行, 所以m(m+3)-2×5=m2+3m-10=(m-2)(m+5)=0,解得m=2或m=-5, 当m=2时,l1,l2重合,不符合题意,舍去.m=-5符合题意. 故选C. 5.D　当a≠0时,由l1⊥l2得k1·k2=a·k2=-1,解得k2=-;当a=0时,l1与x轴平行或重合,则l2与y轴平行或重合,故直线l2的斜率不存在.故直线l2的斜率为-或不存在. 6.-　由题可得kAB=. 设AB边上的高所在直线的斜率为k,则k·kAB=-1, 即k·=-1,解得k=-. 所以AB边上的高所在直线的斜率为-. 7.-1　设直线l1,l2的斜率分别是k1,k2.因为k1,k2是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,所以k1·k2=t.又直线l1,l2垂直,所以k1·k2=-1.故可得t=-1. 8.解(1)当n=2时,∠A不是直角,不合题意; 当n≠2时,∵∠A是直角,∴kAB·kAC=-1, 即=-1,解得n=. 综上所述,实数n的值为. (2)∵直线l与△ABC的高AD垂直,∴直线l与直线BC平行或重合. ∵B,C不重合,∴n≠0,∴直线l的斜率k=kBC==1, 又直线l过坐标原点,∴直线l的方程为x-y=0. 9.A　因为直线l与斜率为4的直线垂直, 所以直线l的斜率为-. 又直线l过点(1,3), 所以直线l的方程为y-3=-(x-1),即x+4y-13=0.故选A. 10.A　由题意可得直线l1,l2,l3的斜率存在,分别设为k1,k2,k3.因为l1∥l2,所以k1=k2,即=-2,解得m=-8.因为l2⊥l3,所以k2·k3=-1,即(-2)×(-)=-1,解得n=-2.所以m+n=-8+(-2)=-10.故选A. 11.AD　若l1∥l2,则1×3-m(m-2)=0,解得m=3或m=-1,经检验,m=3或m=-1均符合,故A正确,B不正确;若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=,故C不正确,D正确.故选AD. 12.BD　当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误; 当直线l1垂直于直线l2时,则有3×6+1×m=0,解得m=-18,故B正确; 由题知,直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误; 当直线l1平行于直线l2时,则-3=-,且3≠-,解得m=2,故D正确. 故选BD. 13.x-y+5=0　x-y+3=0　由题得,kMH==-1. 又点M在直线l上的射影是点H,则直线l与直线MH垂直,所以直线l的斜率为k=1.故直线l的方程为y-4=x+1,整理得x-y+5=0. 由于线段MH的垂直平分线过MH的中点. 由题知,线段MH的中点为(0,3),且垂直平分线的斜率等于直线l的斜率,所以垂直平分线的方程为y-3=x,整理得x-y+3=0. 14.解设D(x,y),则kAB==1,kBC==-,kCD=,kDA=. 因为AB⊥CD,AD∥BC, 所以kAB·kCD=-1,kDA=kBC,即 解得故点D的坐标为(10,-6). 15.解因为点A的坐标不满足所给的两条高所在直线的方程,所以所给的两条直线方程是过顶点B,C的高所在直线的方程.又所给两条直线的斜率分别为,-1,若kAB=-2,则kAC=1,则直线AB的方程为y-3=-2(x-2),整理得2x+y-7=0,直线AC的方程为y-3=x-2,整理得x-y+1=0. 同理,若kAC=-2,则kAB=1,则直线AC的方程为2x+y-7=0,直线AB的方程为x-y+1=0. 16.C　当cos2α≠0时,k1=-. ∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,∴k2=. ∵0<cos 2α≤1,∴k2=. 设l2的倾斜角为θ,θ∈[0,π), 则tan θ≥,∴≤θ<; 当cos2α=0时,直线l1的斜率为0,倾斜角为0. ∵l1⊥l2,∴l2的倾斜角θ=. 综上,直线l2的倾斜角的取值范围为. 故选C. 17.ABD　由题知,直线l1:xsin α+y=0的斜率为k1=-sin α,过定点(0,0),直线l2:x+3y+c=0斜率为k2=-,过点(-c,0). 若直线l1与直线l2相交,则sin α≠,而-1≤sin α≤1,即sin α≠能成立,故选项A正确; 若直线l1与直线l2重合,则c=0,且sin α=,故选项B正确; 若直线l1与直线l2垂直,则k1k2=sin α=-1,则sin α=-3,与-1≤sin α≤1矛盾,则直线l1与直线l2不可能垂直,故选项C错误; 若直线l1与直线l2平行,则sin α=且c≠0,而-1≤sin α≤1,可以有sin α=,故选项D正确. 故选ABD. 5 学科网（北京）股份有限公司 $