2.1.2不等式的基本性质（教学设计）-人教版《数学 基础模块上册》《上好课》

人教版《数学基础模块上册》 第二章 不等式 2.1.2不等式的基本性质 一、教材 人民教育出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本课是数学的基础理论之一，与方程、函数等核心概念紧密相连，是解决数学问题的重要工具。在后续学习中，学生会频繁用到不等式基本性质来求解各类不等式问题，如一元一次不等式、一元二次不等式等。它为学生提供了一种分析数量关系的数学思维模式，帮助学生从更广泛的角度理解数学的本质。通过对不等式基本性质的学习，学生能更好地理解现实世界中不等关系的普遍存在，培养逻辑思维能力和问题解决能力，为后续的数学学习和实际应用奠定坚实基础。 五、学情分析 中职学生在数学学习上存在一定基础差异。部分学生掌握了一些基本的数学运算和概念，如实数运算、简单的方程求解等，这为学习不等式基本性质提供了一定的知识支撑。他们能理解不等式的基本含义，如“大于”“小于”的概念，也能进行简单的实数大小比较。然而，也有不少学生在初中阶段数学基础较为薄弱，对一些数学概念理解不深，如对实数的分类和性质掌握不够清晰，这可能会影响他们对不等式性质中涉及实数运算的理解。在不等式基本性质的学习上，学生可能会在不等式两边同时乘除负数时改变不等号方向这一性质上出现混淆，难以准确判断不等号的变化。 六、教学目标 1.掌握并能举例说明不等式的基本性质； 2.能利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系。 3.掌握不等式基本性质的应用，提高分析问题和解决问题的能力。 七、教学重点 不等式可加性与可乘性的理解与应用。 八、教学难点 可乘性中“乘负数不等号反向”的辩证理解。 九、教学方法 启发式教学：在不等式基本性质教学中，教师可先给出一些具体的不等式实例，引导学生观察两边数字变化与不等号的关系。 多媒体辅助教学：利用多媒体将抽象的不等式性质通过生动的动画、视频等形式呈现。 实例教学：通过实例教学，能让学生更好地理解不等式基本性质。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 开学前，同学们去文具店买学习用品，此时遇到了这样的选择：笔记本单价 10 元，中性笔单价 5 元。 思考：笔记本单价和中性笔单价的大小关系如何？ 列式：10（笔记本单价）＞ 5（中性笔单价） 假设小明同学各买 2 件，计算总价为： 1. 笔记本总价：10×2=20 元 2. 中性笔总价：5×2=10 元 思考：两种文具的总价仍满足怎样的关系？ 列式：20（笔记本总价）＞ 10（中性笔总价） 观察发现： 当两种商品的购买数量相同时（都乘 2），原本单价的不等关系，在总价中依然保持相同的不等方向。 文具店推出满 10 元减 2 元优惠，所以小明继续计算： 1.优惠后后笔记本单价：20-2=18 元 2.打折后中性笔单价： 10-2=8 元 思考：打折后单价的不等关系是否变化？ 列式：18（笔记本总价）＞ 8（中性笔总价） 观察发现： 当两种商品同时减去同一个正数（如 2），不等号的方向始终不变。 利用生活常识引发同学们的思考，进一步引出新知， 导入新知 根据上述案例，我们能够发现不等式具备以下性质： 性质1（传递性） 如果a>b，那么a+c>b+c. 性质2（加法法则） 如果a>b，c>0，那么a c> b c. 性质3（乘法法则） 如果a>b，c<0，那么a c<b c. 【解析】 1. 2 + 3 = 5，1 + 3 = 4，所以 5 > 4。（ 依据性质1）。 2. 2×2 = 4，1×2 = 2，所以 4 > 2。 （依据性质2）。 3. 2 ×(-2) = -4，1×(-2) = -2，所以-4 < -2。 （依据性质3）。 通过案例引出不等式的3条基本性质。 案例分析 【例题】已知2 > 1，根据不等式的基本性质，完成以下计算并说明依据： 1. 计算 2 + 3 与 1 + 3 的大小关系； 2. 计算 2×2 与 1×2 的大小关系； 3. 计算 2×(-2)与 1×(-2)的大小关系。 帮助学生巩固不等式基本性质的应用，培养学生的逻辑推理和数学抽象等核心素养。 学以致用 【练习】已知a > b，请根据不等式的性质判断下列结论的正确性，并说明理由。 （1）a + 5 > b + 5； （2）若c > 0，则a c > b c； （3）若c < 0，则a c < b c； （4）a - 3 > b - 3； （5）若c = 0，则a c = b c。 【解析】 （1）正确。根据性质1（不等式两边加同一个数，不等号方向不变），因为a > b，两边同时加5，可得a + 5 > b + 5。 （2）正确。根据性质2（不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变），因为a > b且c > 0，所以a c > b c。 （3）正确。根据性质3（不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变），因为a > b且c < 0，所以a c < b c。 （4）正确。将其转化为a + (-3) > b + (-3)，根据性质1，两边同时加-3（即减3），不等号方向不变，故a - 3 > b - 3。 通过及时练习加强学生对不等式的基本性质的运用。 深入理解 请同学们思考： 能否利用前面的知识，给出三个性质的证明呢？ 性质1：如果a>b，那么a+c>b+c. 【证明】： 因为(a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b， 又因为a>b，所以a−b>0，从而(a+c)−(b+c)>0， 因此a+c>b+c. 性质2：如果a>b，c>0，那么a c>b c. 【证明】： 因为ac−b c=(a−b)c， 又因为a>b，所以a−b>0，而c>0， 因此(a−b)c>0，因此ac−b c>0，即ac>b c. 性质3：如果a>b c<0，那么ac <b c. 【证明】： 因为a c−b c=(a−b)c， 又因为a>b，所以a−b>0，而c<0， 因此(a−b)c<0，因此ac−b c<0，即ac<b c. 利用证明过程加深同学们对不等式的3条性质的理解与记忆，为后续不等式的推论打下基础。 导入新知 根据不等式的性质，我们可以得出以下推论·： 推论1 如果a+b>c，那么a>c−b. 推论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 推论3 如果a>b>0，c>d>0,那么a c>b d. 利用不等式的性质得出推论，丰富学生们的做题思路和技巧。 深入理解 请同学们思考： 能否利用所学知识给出三个推导的证明过程呢？ 推论1 如果a+b>c，那么a>c−b. 【证明】： a+b>c⟹a+b+(−b)>c+(−b)⟹a>c−b. 推论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 【证明】： 根据性质1有a>b⟹ a+c>b+c，c>d⟹ b+c>b+d， 再根据性质4可知a+c>b+d. 推论3 如果a>b>0，c>d>0,那么a c>b d. 【证明】： 根据性质2有 a>b，c>0⟹ a c>b c， c>d，b>0⟹ b c>b d， 再根据性质4可知 ac>b d. 很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论： 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向. 利用证明加深同学们对不等式的3条推论的理解，为后续课堂练习的知识点运用打下基础。 学以致用 【例题】 （1）已知 5 + x > 8 ，利用推论1求 x 的取值范围。 （2） 已知m > 3，n > 2 ，求证 m + n > 5 。 （3） 已知4 > 3 > 0 ， 5 > 2 > 0，验证 4×5 > 3×2 是否成立。 【解析】 （1）根据推论1，由 5 + x > 8，可得x > 8 - 5，即x > 3； （2）根据推论2，因为m > 3，n > 2，所以m + n > 3 + 2 ，即 m + n > 5； （3）根据推论3，计算得,4×5 = 20 ，3×2 = 6 。因为 20 > 6 ， 所以4×5 > 3×2成立。 结合练习分析加深同学们对3条推论的理解。 课堂练习 【练习1】已知a,b,c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是（ ）. A.如果a>b，那么> B.如果a c<b c，那么a<b C.如果a>b，那么< D.如果a>b，那么> 【解析】D. A.如果a>b，c<0，那么<.故错误. B.如果a c<b c，c<0，那么a>b.故错误. C.如果0>a>b，那么>.故错误. D.∵c≠0，∴c^2>0，∴如果a>b，那么>,.即D正确. 【练习2】下列各不等式正确的是（）. A. 3 - 2a > 5 - 2a B. -2a < -3a C. 3a + 2 < 3a + 4 D. 3a > 5a 【解析】 选项A：-2a = -2a，且3 < 5， 3 - 2a < 5 - 2a，不正确； 选项B：-2 > -3，当a < 0时，有-2a < -3a；当a > 0时，有-2a > -3a，取决 于a的值，不正确； 选项C：3a = 3a，且2 < 4，3a + 2 < 3a + 4，故正确； 选项D：3 < 5，当a < 0时，有3a > 5a；当a > 0时，有3a < 5a，取决于a的 值，故不正确。 故选：C. 【练习3】不等式a - b > 0可以得到（） A. a > b B. a < b C.a = b D. a ≤ b 【解析】 因为a - b > 0，所以a > b， 故选：A. 【练习4】下列不等式正确的是（）. A. 3a > 5a B. 3 - a > 4 - a C. a + 4 > b + 5 D. a + 6 > a + 3 【解析】 对于A，当a = 0时，3a = 5a，故A错误； 对于B，当a = 0时，3 - a = 3 < 4 = 4 - a，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为6>3，所以a + 6 > a + 3，故D正确。 故选：D. 【练习5】若a > b，c > d,下列命题正确的是（） A.bd-2c > ad-2c B.a - c > b - d C.a c > b d D.a + c > b + d 【解析】 因为a > b， 当c = 0, d=0时，b d=a d，故A错误； a = 2，b = 1，c = 5，d = -5时，满足a > b，c > d，此时 a - c < b - d，故B错误； a = 2，b = -1，c = -2，d = -5时，满足a > b，c > d，此时 ac < b d，故C错误； 因为a > b，c > d，则a + c > b + d，故D正确. 故选：D. 师生交流： 现在大家试着自己举个例子 ，用所学的内容比较它们的大小。先和同桌说说你的思路，再分享给大家。 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 课堂小结 不等式的性质有哪些？ 性质1（传递性） 如果a>b，那么a+c>b+c. 性质2（加法法则） 如果a>b，c>0，那么a c>b c. 性质3（乘法法则） 如果a>b，c<0，那么a c<b c. 不等式的推论有哪些？ 推论1 如果a+b>c，那么a>c−b. 推论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 推论3 如果a>b>0，c>d>0,那么a c>b d. 培养学生总结学习过程能力。 作业布置 1.完成41页课后练习。 2.查漏补缺：根据个人情况复习回顾课堂所学，整理完善课堂笔记。 学而时习，夯实所学。 板书设计 2.1.2不等式的性质： 性质1（传递性） 如果a>b，那么a+c>b+c. 性质2（加法法则） 如果a>b，c>0，那么a c>b c 性质3（乘法法则） 如果a>b，c<0，那么a c<b c. 不等式的推论： 推论1 如果a+b>c，那么a>c−b. 推论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 推论3 如果a>b>0，c>d>0,那么a c>b d. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注。 十一、教学反思 通过生活实例导入，激发了学生的学习兴趣，使抽象知识变得生动易懂。启发式教学与小组合作学习的运用，让学生主动参与，积极思考，增强了学生的逻辑思维能力和团队协作精神。但教学中也存在一些问题。部分学生在理解不等式两边同时乘除负数时仍有困难，后续需要增加部分课堂练习来帮助学生理解记忆。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $