考点培优练01 利用导数研究函数的单调性、极值和最值10大考点全突破（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练01 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 考点01 利用导数判断函数的单调性（单调区间） 1 考点02 根据函数的单调性求参数（范围） 3 考点03利用单调证明（解）不等式 4 考点04 利用导数求函数的极值 5 考点05利用函数的极值点或极值求参数的取值范围 7 考点06 利用导数求函数的最值 8 考点07 利用导数研究函数的零点问题 10 考点08 导数与函数的图象综合问题 11 考点09 利用导数研究不等式恒成立问题 13 考点10 生活中的优化问题 14 考点01 利用导数判断函数的单调性（单调区间） 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f'(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 1．下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高三上·甘肃临洮中学·月考)若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）(24-25高三下·海南海口·)下列函数是奇函数且为增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高三下·甘肃平凉第一中学·)函数的单调递减区间是 . 8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 9．已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 10．(25-26高三上·安徽部分学校·)已知函数 (1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值； (2)若，求的单调区间. 考点02 根据函数的单调性求参数（范围） 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 一、单选题 1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，．对于任意，且，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高三下·山东单县·一模)已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）(24-25高三上·江苏淮安十校·)设函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在R上是单调函数 C．的最小值为1 D．当时， 7．（多选题）(24-25高三下·河南南阳邓州第一高级中学校·一模)若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 8．已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 9．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 10．(25-26高三上·湖南九校联盟·一模)已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 考点03利用单调证明（解）不等式 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高三上·江苏苏州中学·)设函数，若 且， 则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）设函数，在上的导数存在，且，则当时（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知函数的导函数为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则， C．若，则： D．， 8．已知函数，关于的不等式，的解集是，则 . 9．求证：． 10．已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 考点04 利用导数求函数的极值 函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 1．导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 2．函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 3．(25-26高三上·河南部分学校·)函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 4．已知，是函数的极值点，则的极大值为（    ） A． B．e C．0 D． 5．（多选题）(25-26高三上·江西多校联考·)已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在和上单调递增，在上单调递减 6．（多选题）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 7．函数的极大值点为 . 8．(25-26高三上·广东深圳致理中学·月考)函数的极小值是 ． 9．设函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程. (2)当，求函数的极值. 10．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 考点05利用函数的极值点或极值求参数的取值范围 1．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在等比数列中，，是函数的极值点，则（    ） A． B．3 C． D． 3．若函数存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 6．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 7．(24-25高三下·河南名校学术联盟·模拟)已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为 . 8．已知函数． (1)，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 考点06 利用导数求函数的最值 函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3．设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A．​ B．​ C．​ D．​ 5．已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）【多选题】已知函数，则（    ） A．时，的图象位于轴下方 B．有且仅有一个极值点 C．有且仅有两个极值点 D．在区间上有最大值 7．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B．设，为的极值点，则 C．当时，若在上有最大值，则 D．若，则 8．已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是 ． 9．定义“”表示不等式有个正整数解，若且，则的最大值是 ．（参考数据：，） 10．已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． - 0 + 极小值 1 + 0 - 极大值 考点07 利用导数研究函数的零点问题 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种： (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解. (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题. (3)将f(x)＝0进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”. 1．(24-25高三上·广东深圳外国语学校·月考)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·黑龙江绥化第二中学·开学考)（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 D．函数有5个零点 5．已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 考点08 导数与函数的图象综合问题 1．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．函数f（x）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（    ）    A． B． C． D． 5．(23-24高三上·山东寿光圣都中学·适考)已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高三上·河南周口扶沟县·期中)已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）(22-23高三上·江苏南通通州区·期中)已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，．若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于直线对称 D． 考点09 利用导数研究不等式恒成立问题 已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：1.在区间内是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； 2.可导函数在区间是增（减）函数的充要条件是：都有，且在的任意一个子区间内都不恒为； 3.由函数在区间是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为恒成立问题求解. 1．，有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知为奇函数，且当时，取得极小值，过点至少能作出曲线的两条切线，且恒成立，则实数的取值范围为 ． 考点10 生活中的优化问题 1．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量（件）与商品售价（元）的关系为，则当此商品的利润最大时，该商品的售价（元）为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 0 极大值 3．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为（    ） A．0.032 B．0.04 C．0.042 D．0.038 5．(25-26高三上·安徽颍上第一中学·)学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 6．（多选题）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 7．（多选题）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法中正确的有（    ）    A．冰块最大体积为 B．冰块的最大体积为 C．冰块体积达到最大时，冰块的高度为 D．冰块体积达到最大时，冰块的高度为 8．(24-25高三下·上海华东师范大学第一附属中学·三模)某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为 平方千米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 考点01 利用导数判断函数的单调性（单调区间） 1 考点02 根据函数的单调性求参数（范围） 6 考点03利用单调性证明（解）不等式 12 考点04 利用导数求函数的极值 18 考点05利用函数的极值点或极值求参数的取值范围 18 考点06 利用导数求函数的最值 27 考点07 利用导数研究函数的零点问题 35 考点08 导数与函数的图象综合问题 39 考点09 利用导数研究不等式恒成立问题 45 考点10 生活中的优化问题 50 考点01 利用导数判断函数的单调性（单调区间） 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f'(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 1．下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 2．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导函数，然后解不等式，结合对数函数单调性即可得解. 【详解】因为，所以， 令得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B 3．(24-25高三上·甘肃临洮中学·月考)若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 4．函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以判断函数在的单调性从而得出选项. 【详解】解：当时，，则， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故选：B． 5．（多选题）(24-25高三下·海南海口·)下列函数是奇函数且为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是定义域为上的奇函数，且为增函数，A满足条件； 对于B选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，B不满足条件； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：AC. 6．（多选题）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 当时，，函数在上单调递增，故B正确； 当时，，，所以在上单调递增，故D正确； 当时，当时，；当时，； 故A正确；C错误. 故选：ABD. 7．(24-25高三下·甘肃平凉第一中学·)函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】利用导数求当时的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果. 【详解】当时，, 由，解得，所以在区间上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 所以在区间上单调递增. 故答案为：. 9．已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； （2）令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，即当时，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 依题意可得，即，解得， 所以. （2）证明：由（1）可得，则， 令，，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，即当时， 所以在上单调递增. 10．(25-26高三上·安徽部分学校·)已知函数 (1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值； (2)若，求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，则， 又因为曲线在点处的切线与x轴平行， 故，解得. （2）时，，定义域为， ，令可得， 当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 考点02 根据函数的单调性求参数（范围） 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 一、单选题 1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 2．已知函数，．对于任意，且，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知不等式的特征，判断两个函数的单调性，结合导数，通过构造函数进行求解即可. 【详解】因为，所以同号，因此 与的单调性相同， 因为，所以函数单调递增，因此也单调递增， ， 因为是增函数，故恒成立． 即恒成立． ，则，设 因为，故单调递增， 又，故当时，，即，因此单调递减， 当时，，即，因此单调递增， 故最小值为．故． 故选：D 3．(24-25高三下·山东单县·一模)已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，令导数等于0，求出增减区间，进而得到或，即可求得结果. 【详解】由已知得，当时，令，得， 令，解得；令，解得； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以若在区间上单调，则需满足或，即或， 所以的取值范围是 故选：B 4．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数在两个区间上的单调性分别求出的范围，再考虑由时左右函数值的大小关系得到的的范围，求其交集即得 【详解】当时， ,依题须使恒成立，则； 当时，由在上递增，须使，即； 又由解得 . 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 5．已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，求出，然后分、两种情况讨论，每种情况下求出的单调性，再结合即可得到答案. 【详解】 当时，，，若，则当时， 这与矛盾，故 当时，，所以在上单调递减，于是，符合题意， 当时，由可得 所以在上单调递增，，与题意不符 综上： 故选：D 6．（多选题）(24-25高三上·江苏淮安十校·)设函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在R上是单调函数 C．的最小值为1 D．当时， 【答案】ABD 【分析】A选项，根据定义域为R 且得到A正确；B选项，求导，结合基本不等式得到，在R上单调递增，B正确；C选项，由B选项知，C错误；D选项，根据函数单调性得到. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故为奇函数，A正确； B选项，， 故在R上单调递增，B正确； C选项，由B选项知，在R上单调递增，无最小值，C错误； D选项，由B选项知，在R上单调递增，当时，，D正确. 故选：ABD 7．（多选题）(24-25高三下·河南南阳邓州第一高级中学校·一模)若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】ACD 【分析】对函数进行求导，得出函数的单调性，通过讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】， 令,即，解得或， 当时，，函数单调递增； 当时，或,函数单调递减； 因为函数在区间上是单调函数，所以有以下两种情况： 当时, 则 ，解得；故A正确，B错误； 当时, 则，解得.故C、D正确； 故选：ACD. 8．已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，， ，，， 所以的图象在处的切线方程为：. （2）， 若函数在上单调递增，则对于恒成立， 即对于恒成立， 令， 当时，， 则函数在上单调递增，所以， 故. 9．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 【详解】（1）当时，的定义域为， ，显然， 令，， 则，令，则， 当时，，所以在区间上单调递减； 当时，，所以在区间上单调递增， 所以，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由，， 则，因为， 所以要使当时，，则必须满足，即． 下面证明：． 当时，， 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以，即当时，； 而当时，令，， 则，故在上单调递增， （ⅰ）当时，，， 所以存在，使得， 又在上单调递增， 所以当时， 即在上单调递减，所以； （ⅱ）当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 10．(25-26高三上·湖南九校联盟·一模)已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）定义域为，， ①当时，恒成立，故在上单调递增； ②当时，令有，解得，又， 令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题， 所以恒成立等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 即在上单调递增，故， 令有， 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增， 则为唯一的极小值点，也是最小值点， 故，从而， 因此实数的取值范围为. 考点03利用单调证明（解）不等式 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个重要的不等式，说明大小即可 【详解】先用导数证明这两个重要的不等式 ①，当且仅当时取“=” ，函数递减， 函数递增 故时函数取得最小值为0 故，当且仅当时取“=” ②，当且仅当时取“=” ，函数递增，函数递减， 故时函数取得最大值为0， 故，当且仅当时取“=” 故 故选：C 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时，和的结论即可选出答案 【详解】令，则， 所以在处单调递增，在处单调递减 所以， 所以时，， 另一方面，令,则 所以在处单调递减，在处单调递增 所以 所以时， 当时，， 故选：C 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值以及导数求得正确答案. 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，当时，，所以C选项错误. D选项，构造函数， 在区间上单调递增， ，所以当时，，所以，所以D选项正确. 故选：D 4．(23-24高三上·江苏苏州中学·)设函数，若 且， 则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用导数判断函数在上的单调性，根据奇偶性判断函数在上的单调性，由此求得不等式等价命题. 【详解】由于，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数， 当时，，故函数在上递增， 结合函数为偶函数可知，函数在上递减， 所以等价于，也即， 故选：D. 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数证明，令，求解判断. 【详解】设，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，即， 所以，即， 所以，∴， 又， 而，∴， 故. 故选：D. 6．（多选题）设函数，在上的导数存在，且，则当时（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递增，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误(排除)， 若，则，故B错误(排除)； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则，所以在上单调递增， 因为，即，所以， 由得， 则，故C正确； 由得， 则，故D正确. 故选：CD. 7．（多选题）已知函数的导函数为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则， C．若，则： D．， 【答案】ABD 【详解】对于A：由，得，则，则，故A正确； 对于B：由，得，则在上恒成立， 则在上单调递增，因为，所以，则，故B正确； 对于C：由，得. 由，可得在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以当时，，当时，. 又在上单调递增，则当时，至多1个零点，则最多2个零点，故C不正确； 对于D：取，由，得在上恒成立， 则在上单调递增. 因为，所以当时，.取，则， 即，则，从而，故D正确. 故选：ABD 8．已知函数，关于的不等式，的解集是，则 . 【答案】 【详解】解：函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 因为， 所以，当时，，函数为增函数， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 当时，， 令，则， 所以，函数在单调递减，在上单调递增， 所以，即在时恒成立， 当时，， 令，则， 所以，函数在单调递增， 因为 所以存在，使得，且时，， 综上，的解集是时，，且， 所以，. 故答案为： 9．求证：． 【详解】设，分别为一阶、二阶、三阶导数， ， ， ， 则在单调递增，所以， 则在单调递增，所以， 则在单调递增，所以， 则，即. 10．已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 【详解】（1）由题函数定义域为R，，令， 所以当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：由（1）令， 所以，令， 则在上恒成立， 所以函数即在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即. 考点04 利用导数求函数的极值 函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 1．导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导函数图象判断原函数的单调性即可. 【详解】由图可知：当时，；当时，. 所以可知函数在单调递增，在单调递减， 所以函数的极大值点为. 故选：A 2．函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据求导公式求出函数的导数，再令导数为0，求出可能的极值点，最后根据极值点的定义判断该点是否为极值点. 【详解】由题可得，令，解得. 因为是函数的变号零点， 因此是函数的极值点. 故选：A. 3．(25-26高三上·河南部分学校·)函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】求导得，令，求得极值点，进而可得的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C 4．已知，是函数的极值点，则的极大值为（    ） A． B．e C．0 D． 【答案】B 【分析】对函数求导，求出参数，得出函数和导函数的表达式并分析单调性，即可求出极大值. 【详解】由题意，， 在中，， ，即，解得， ∴，， 当时，解得或 当即时，函数单调递减， 当即，时，函数单调递增， ∴函数在处取极大值，为， 故选：B. 5．（多选题）(25-26高三上·江西多校联考·)已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在和上单调递增，在上单调递减 【答案】BC 【分析】结合的图象，先分析的符号与原函数的单调性的关系判断单调性，再利用单调性判断出极值点. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以是的极小值点，无极大值点，在上单调递减，在上单调递增． 故答案为：BC. 6．（多选题）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数 在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 7．函数的极大值点为 . 【答案】1 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以在处取得极大值，即函数的极大值点为1. 故答案为：1 8．(25-26高三上·广东深圳致理中学·月考)函数的极小值是 ． 【答案】 【分析】对函数求导，并研究其单调性，进而求极小值即可. 【详解】由题设， 当或时，，则在、上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数的极小值为. 故答案为： 9．设函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程. (2)当，求函数的极值. 【详解】（1）当时，，则， 所以，而， 故函数在点处的切线方程为. （2）当时，，函数的定义域为， 则， 令，得或；令，得， 故函数在和上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值； 在处取得极大值. 10．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【详解】（1）， ， 故曲线在点处的切线方程为. （2）由得或， 由于，故当时，，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极大值为，极小值为. 考点05利用函数的极值点或极值求参数的取值范围 1．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，利用导数有变号零点可求答案. 【详解】由题意知在上有变号零点， 显然在上单调递增， 故原条件等价于解得， 故实数的取值范围是． 故选：C 2．在等比数列中，，是函数的极值点，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，根据极值点及根与系数关系得，再由等比数列的性质有，，即可得. 【详解】由，则， 因为在等比数列中，是函数的极值点， 所以，故，且， 故，故. 故选：D 3．若函数存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，根据函数存在极值点，可得，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得， 因为函数存在极值点，则满足， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 4．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 5．（多选题）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可和得有两个根，令，可导可得在单调递增，在单调递减，进而可得. 【详解】函数的定义域为， 由已知得：有两个变号的零点，即：有两个根， 令，则，又在上单调递减，且时， 令得：，所以在单调递增； 令得：，所以在单调递减； 所以在处取得极大值，而时，，时，， 所以，要使函数有两个极值点，则， 故选：BC． 6．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，通过，，结合有两个变号零点，讨论求解. 【详解】由题意，得， 若，则，此时函数在上单调递减，不可能存在两个极值点，舍去， 若，则由题意，得关于的方程在上有两个不相等的实数根， 所以，解得， 故实数的取值范围为.， 故答案为： 7．(24-25高三下·河南名校学术联盟·模拟)已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先利用余弦的二倍角公式函数的解析式，由的取值范围可得的取值范围， 再利用余弦函数的图象可得关于的不等式，由此即可解得的取值范围. 【详解】由二倍角的余弦公式可得，因为，所以， 又函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点， 即区间内恰好取得2次最大值和1次最小值，由余弦函数的图象可知， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 8．已知函数． (1)，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 【详解】（1）依题意，当时，，此时函数的定义域为， ， 令，即，解得； 令，即，解得； 故当时，，当时，， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）依题意，，则， 令，得， 令，故问题转化为在区间内有两个不等根， 故，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 考点06 利用导数求函数的最值 函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数导数，判断函数单调性，即可求得函数极值，即可求得答案. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B 2．函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 3．设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先构造新函数，分析它的单调性，然后画出图象，要求的最大值，即求直线斜率的最大值. 【详解】， 令，则， 当时，，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数. 由可得， 根据题意，存在2个整数解使得， 则函数与直线的图象有2个横坐标为整数的交点，直线必过点， 函数在处的导数，则切线方程为且经过点， 即此时直线与相切，此时，又因为， 分析图象可知，另一个交点只能在处，且此时直线斜率能取最大， 即可以取最大值，，当直线过点时，则，解得. 故选：C. 4．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【分析】利用导数求值域，根据值域交集非空即可得解. 【详解】因为函数， ，在区间上是单调减函数， 所以， 又 在区间上是单调增函数， 所以​， 由于​使得​， 所以​ 当时，或​， 解得或​． 所以当时， 得． 故选：B． 【点睛】关键点睛：根据在于理解，使得的实质即是两个函数的值域交集非空，然后利用导数求出值域，根据集合关系求解即可. 5．已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用多次求导及分类讨论判定函数的单调性及最值即可. 【详解】∵，令， ∴， 当时，此时在上单调递增； 当时，此时在上单调递减. 由，故可大致作出的图象如下， ∴， ∴当时，，，在R上单调递增，不成立； 当时，，在上单调递减，成立； 当时，有两个根（）， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立. 综上. 故选：A． 6．（多选题）【多选题】已知函数，则（    ） A．时，的图象位于轴下方 B．有且仅有一个极值点 C．有且仅有两个极值点 D．在区间上有最大值 【答案】AB 【解析】根据题意，求得函数定义域，求得导数，利用导数根据函数单调性即可求得函数极值点，最值情况. 【详解】由题，函数 满足 ，故函数的定义域为 由 当 时 ， 所以则的图象都在轴的下方，所以A正确； 又， 再令 则 ，故 故单调递增， 当时， 由， 故存在唯一的，使得， 此时当,，单调递减， 当，单调递增. 又当时，， 故此时恒成立，即单调递减， 综上函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确； 又 所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确. 故选：AB. 7．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B．设，为的极值点，则 C．当时，若在上有最大值，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，利用导函数有两个变号零点即可判断；对于B，利用A项结论写出韦达定理，化简所求式求其值域即可判断；对于C，在时，讨论函数的单调性和变化趋势，由推得进行判断；对于D，化简计算得到，即可求出的值 【详解】因函数的定义域为，求导得. 对于A，由，知函数恒有两个变号零点，故函数恒有两个极值点，故A正确； 对于B，由A分析，，， 则，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，， 当或时，，当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 则，1分别是的极大值点和极小值点，因在上有最大值， 且，故有，故C错误； 对于D， ，则有，解得，故D正确. 故选：AD. 8．已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数导数性质分函数无极值，无极值两种情况进行讨论即可 【详解】若无极值， 则恒成立， 即，解得； 若无极值， 则对恒成立， 所以，即． 所以与中恰有一个函数无极值， 则或， 解得． 9．定义“”表示不等式有个正整数解，若且，则的最大值是 ．（参考数据：，） 【答案】49 【分析】令，把关于的不等式有且仅有3个正整数解，转化为有且仅有3个正整数解，在同一平面直角坐标系内画出函数在区间内的大致图象，根据图象列出不等式求解即可 【详解】令， 由题知关于的不等式有且仅有3个正整数解，有且仅有3个正整数解． ，令，得或； 令，得在和上单调递增，在上单调递减，且． 在同一平面直角坐标系内画出函数在区间内的大致图象， 如图所示．有且仅有3个正整数解， ， 解得，正整数的最大值是49． 故答案为：49      10．已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 【详解】（1）求导，得， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 将点代入切线方程，得． （2）函数的定义域为． 设函数，则， 由，得， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当变化时，与的变化情况如下： - 0 + 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 故函数存在极小值． （3）由（2）知，函数有最小值． 由，得． 所以． 设函数，则． 今，得（舍）或． 当变化时，与的变化情况如下： 1 + 0 - 极大值 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，，即当时，． 结合，知当时，． 由函数的导数，知其在区间上单调递减， 故当且仅当时． 所以当时，取得最大值0． 考点07 利用导数研究函数的零点问题 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种： (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解. (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题. (3)将f(x)＝0进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”. 1．(24-25高三上·广东深圳外国语学校·月考)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，判断函数的单调性，计算端点处的函数值，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由于，，且中， 故，在单调递增， 因此至多一个零点， ,,， 因此的零点所在的区间是， 故选：C 2．已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值. 【详解】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根， 令，则， 当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，， 当时，，且单调递增， 在直角坐标系中画出的大致图象如图： 要使有两个交点，则， 故选：D 3．若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据进行同构处理，令，由函数单调，所以，即即，求导分析值域即可. 【详解】由题意得，令，则， 令， 因为函数，均在上单调递增，所以在上单调递增， 所以由，得，即， 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当时，， 所以，解得，即的取值范围为, 故选：A. 4．(25-26高三上·黑龙江绥化第二中学·开学考)（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 D．函数有5个零点 【答案】AD 【分析】对函数求导，即可得到函数的单调区间，然后得到函数的极值点，结合函数解析式画出函数大致图像.从而判断A、B、C选项.令解得的值，结合函数的极值点及函数图像得到零点个数，从而判断D选项. 【详解】. 当时，；当时，， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 所以当时，函数有极大值，当时，函数有极小值. 由，即，得或， 所以当时函数的图像在x轴上方，画出函数图象，如图    由图像可知A正确，B错误； 由图像可知实数a的取值范围是，故C错误； 由得或.因为，，所以与，的图像有5个交点，所以函数有5个零点，故D正确. 故选：AD. 5．已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，即，得与的函数图像有4个交点，先求时，与相切的切线方程，再求时，与相切的切线方程，最后利用导数研究单调性作出的函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有：恰有4个零点，令，即，所以与的函数图像有4个交点， 当时，设与相切于点， 即，解得， 即与相切， 当时，，所以， 令，解得，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极小值为， 设与相切与点， 所以， 所以切线方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以与相切， 作出的函数图像： 由图可知：当时，与有3个交点， 当时，与有两个交点， 所以与的函数图像有4个交点，即， 故答案为：. 考点08 导数与函数的图象综合问题 1．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求得的单调区间，结合函数值确定正确选项. 【详解】由，可得函数的减区间为，增区间为， 当时，，可得选项为A． 故选：A 2．函数f（x）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出f(x)的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案. 【详解】解:由f(x),得f′(x), 令g(x)＝1,则g′(x)0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减, 又g(e)0,g(e2)0, 所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0, 所以当x∈(0,x0)时,g(x)＞0,f′(x)＞0; 当x∈(x0,+∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0, 所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减. 故选:C. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题. 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 4．已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象可知函数为奇函数，且在上不单调，然后利用排除法分析判断即可 【详解】由图象知函数图象关于原点对称，则函数是奇函数， 对于A，定义域为，因为，所以此函数是偶函数，不满足条件，排除A， 对于D，定义域为，因为，且， 所以此函数是非奇非偶函数，不满足条件，排除D， 对于C，因为和在上为增函数，所以在上为增函数，不满足条件，排除C， 对于B，定义域为，因为，所以此函数是奇函数，当时，，则，所以当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减； 又因为，且时，，故B选项符合题意. 故选：B． 5．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象知为奇函数，排除部分选项，然后再根据处的导数判断. 【详解】由题图知函数的定义域为且为奇函数，所以排除C，D选项； B选项中，，则，不满足原点处切线斜率为0，排除B选项； A选项中，，则，符合题意． 故选：A 6．(24-25高三上·河南周口扶沟县·期中)已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，的值以及在时的函数值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】由图象可知，函数的定义域为，该函数为奇函数，且， 对于A选项，函数的定义域为， ，，则，即函数不是奇函数， 排除A选项； 对于B选项，函数的定义域为，， ，函数为奇函数， 当时，， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递增， 故当时，， 故当时，，与题意不符，排除B选项； 对于C选项，函数的定义域为，，与题意不符，排除C选项； 对于D选项，函数的定义域为，， ，为奇函数，合乎题意， 故选：D. 7．（多选题）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的几何意义可得，即可判断选项AB，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出CD选项.. 【详解】由函数的图像可知函数是单调递增的， 所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零， 并且由图像可知， 函数图像在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 所以； 故A错误，B正确； 记，，作直线，则直线的斜率，由函数图像，可知， 即. 故C，D正确； 故选：BCD 8．（多选题）(22-23高三上·江苏南通通州区·期中)已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，．若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】BC 【分析】分别判断函数得对称性，结合函数得对称性即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以函数的图象关于点对称，故选项A错误； 因为函数的图象关于点对称，则，对其两边取导数： 则有，所以的图象关于直线对称，故选项正确； 令，解得：， 所以的图象关于直线对称，故选项C正确； 又因为，所以为常数，则的图象关于对称， 例如：当时，令， 则图象有三个交点， 其中和关于对称，且， 此时，， 故，所以此时不成立，故选项D错误； 故选：BC. 考点09 利用导数研究不等式恒成立问题 已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：1.在区间内是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； 2.可导函数在区间是增（减）函数的充要条件是：都有，且在的任意一个子区间内都不恒为； 3.由函数在区间是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为恒成立问题求解. 1．，有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导可得函数的单调性，即可求解最值，进而即可. 【详解】由在上恒成立，令， 则．令，则， 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 则，所以， 故选:C． 2．对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 4．（多选题）已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A先求，再将问题转化为的解集为，利用韦达定理即可；先研究的单调性，得出即可判断BC选项；D先求证，再利用倒序相加法即可求得. 【详解】由得，，则的定义域为， 又当且仅当时，导函数成立， 则的解集为， 即的解集为， 则，，，则，故A正确； ， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 则，故B正确；C错误； 因，则， 则， 记， 则， 两式相加得， 则，记，故D正确. 故选：ABD 5．已知为奇函数，且当时，取得极小值，过点至少能作出曲线的两条切线，且恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由奇偶性求出，根据极值求出的值，从而可得的解析式，设过点的切线与切于点，由导数的几何意义可得方程至少有两个不等的实数根.求导可得，且等号不同时成立，故恒成立，设，利用导数求出最大值即可. 【详解】因为为奇函数， 所以，解得， 所以，. 因为当时，取得极小值， 所以，即， 即，即，解得， 此时， 经验证可得在处取得极小值，符合题意， 所以. 设过点的切线与切于点， 因为， 所以切线方程为，即, 所以，即. 由题意可得方程至少有两个不等的实数根. 设， 则. 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增, 且时，；时，. 要方程至少有两个不等的实数根， 则，且等号不同时成立. 由，可得， 故， 所以恒成立. 因为恒成立，所以恒成立. 由，可得，所以恒成立. 设， 所以. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以. 又时，， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 故答案为:. 考点10 生活中的优化问题 1．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量（件）与商品售价（元）的关系为，则当此商品的利润最大时，该商品的售价（元）为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意求出利润函数的表达式，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】根据题意可得利润函数， ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数取最大值， 故选：A． 2．现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出圆锥的底面半径，根据圆锥的几何特征找到与的关系，由此表示出圆锥容积关于的函数表达式，再利用导数即可求出容积的最大值. 【详解】设圆锥筒的底面半径为，容积为， 因为，．所以， 即，．因为， 令得：（舍负值）． 列表如下： 0 极大值 所以，当时，取极大值即最大值，则的最大值为， 故选B． 3．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 【答案】D 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，再利用导数求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D 4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为（    ） A．0.032 B．0.04 C．0.042 D．0.038 【答案】A 【分析】设存款利率为，由题意可得银行的收益是，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】设存款利率为， 依题意，存款量是，银行应支付的利息是，贷款的收益是，． 所以银行的收益是， 由于，令，得或（舍去）． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值． 故选：A 5．(25-26高三上·安徽颍上第一中学·)学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 【答案】C 【分析】由题意可得利润利用导数求得当时，取最大值，从而得，将代入方程中求解即可. 【详解】设捕鱼活动的利润为， 则， 所以， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，为， 所以； 由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，， 所以，解得. 故选：C. 6．（多选题）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 【答案】BCD 【分析】先根据条件及球的体积公式求出每瓶液体材料的利润的解析式，再利用导数的性质即可逐一判断． 【详解】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，此时函数单调递减，故A错误； 又当时，，函数单调递增， 又，则当时，函数取得最大值，故B正确； 当时，函数取得最小值，故C正确； 又，故D正确． 故选：BCD． 7．（多选题）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法中正确的有（    ）    A．冰块最大体积为 B．冰块的最大体积为 C．冰块体积达到最大时，冰块的高度为 D．冰块体积达到最大时，冰块的高度为 【答案】BC 【分析】求出该圆锥的轴截面三角形的边长，设圆柱的底面半径为r，高为h，建立出体积的函数，利用导数求出最大值． 【详解】由圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形，可算出该三角形直角边长为，斜边长为，如图所示，    即圆锥母线长，高和底面半径， 设冰块的底面半径为，高为， 由，冰块体积要最大，此时冰块的高度， 故圆柱的体积为，其中；则有， ，解得；，解得， 则在区间单调递增，在区间单调递减， 所以当时，冰块的体积最大，最大值为，此时冰块高度. 故选：BC. 8．(24-25高三下·上海华东师范大学第一附属中学·三模)某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为 平方千米． 【答案】 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为， 由题意知直线MN为抛物线的切线， 因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为， 由，得，所以直线MN的斜率为， 所以直线MN的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 则， 因为，所以当对，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值平方千米． 故答案为:. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $