专题01 一元二次方程 九类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题01 一元二次方程 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的定义 1 题型二、化成一元二次方程的一般式 1 题型三、由一元二次方程的定义求参数 2 题型四、判断是否是一元二次方程的解 2 题型五、由一元二次方程的解求参数（重点） 3 题型六、一元二次方程的解的估算 3 题型七、根据判别式判断一元二次方程根的情况 4 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数（常考点） 4 题型九、一元二次方程的根与系数的关系（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程的定义 1．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 2．下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤是一元二次方程的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 5．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若是关于的一元二次方程，则 ． 题型二、化成一元二次方程的一般式 6．一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B．1 C． D．3 7．一元二次方程，二次项系数、一次项系数分别为（    ） A．，1 B．，0 C．1， D．1，0 8．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．一元二次方程的一般形式为 （二次项的系数为正数） 10．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 题型三、由一元二次方程的定义求参数 11．关于x的方程是一元二次方程，则a满足（   ） A． B． C． D．a为任意实数 12．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D． 13．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 14．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 15．若方程中不含x的一次项，则 ． 题型四、判断是否是一元二次方程的解 16．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 17．已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 18．对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是 ． 19．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 20．若是方程的一个根，则的值为 题型五、由一元二次方程的解求参数 21．已知关于的方程的一个根为2，则的值是（   ） A． B． C． D．2 22．（24-25九年级上·广东茂名·期末）若是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B．8 C．9 D． 23．若是关于x的一元二次方程的解，则（ ）． A． B． C．27 D．18 24．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 25．已知是关于的方程的一个根，则 ． 题型六、一元二次方程的解的估算 26．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 27．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·河南郑州·期末）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 29．根据下表可知，方程的一个近似解为 （结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 30．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 题型七、根据判别式判断一元二次方程根的情况 31．方程的根的情况是（   ） A．有两个不等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．无法判定 32．下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 33．一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 34．一元二次方程 实数根（填“有”或“没有”）． 35．一元二次方程根的判别式值是 ． 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 36．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 37．（24-25九年级上·河南周口·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 38．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 39．已知关于x 的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 40．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 题型九、一元二次方程的根与系数的关系 41．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 42．已知方程的一个根是3，则另一个根是 ． 43．小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 44．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 45．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 6．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 7．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 9．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 10．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的定义 1 题型二、化成一元二次方程的一般式 3 题型三、由一元二次方程的定义求参数 4 题型四、判断是否是一元二次方程的解 5 题型五、由一元二次方程的解求参数（重点） 7 题型六、一元二次方程的解的估算 8 题型七、根据判别式判断一元二次方程根的情况 9 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数（常考点） 11 题型九、一元二次方程的根与系数的关系（难点） 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程的定义 1．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴， 故选：B． 2．下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤是一元二次方程的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：对于方程， 当时，它就不是一元二次方程， 因为此时方程变为，是一元一次方程， 所以方程①不一定是一元二次方程． ， 展开得， 化简得， 此方程符合一元二次方程的一般形式， 所以方程②是一元二次方程． 方程中，是分式， 所以该方程不是整式方程，而一元二次方程是整式方程， 所以方程③不是一元二次方程． 方程中，x的最高次数是3， 而一元二次方程x的最高次数是2， 所以方程④不是一元二次方程． 方程中，x的最高次数是1， 是一元一次方程，不是一元二次方程． 只有方程②是一元二次方程， 所以一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 3．（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 4．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】1 【解析】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 5．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【解析】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 题型二、化成一元二次方程的一般式 6．一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【解析】解：一元二次方程的常数项为， 故选：C． 7．一元二次方程，二次项系数、一次项系数分别为（    ） A．，1 B．，0 C．1， D．1，0 【答案】A 【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是，1， 故选：A． 8．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 9．一元二次方程的一般形式为 （二次项的系数为正数） 【答案】 【解析】解：去括号得：， ∴， 故答案为： 10．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【解析】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 题型三、由一元二次方程的定义求参数 11．关于x的方程是一元二次方程，则a满足（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】A 【解析】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 12．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【解析】解：一元二次方程的一般形式为（其中）， 题目中方程的二次项系数为，因此需满足，解得， 故选：B． 13．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【解析】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 14．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【解析】解：根据题意可得：， 解得：． 故选：C． 15．若方程中不含x的一次项，则 ． 【答案】4 【解析】解：∵方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 题型四、判断是否是一元二次方程的解 16．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 17．已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【解析】解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 18．对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是 ． 【答案】 【解析】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 19．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【解析】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 20．若是方程的一个根，则的值为 【答案】 【解析】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 题型五、由一元二次方程的解求参数 21．已知关于的方程的一个根为2，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】解：已知是的一个根， ∴， 解得：． 故选：B． 22．（24-25九年级上·广东茂名·期末）若是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B．8 C．9 D． 【答案】A 【解析】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 23．若是关于x的一元二次方程的解，则（ ）． A． B． C．27 D．18 【答案】B 【解析】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 故选：B． 24．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【解析】解：把代入得：， ∴， ∴， 故答案为：． 25．已知是关于的方程的一个根，则 ． 【答案】6 【解析】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：6． 题型六、一元二次方程的解的估算 26．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 27．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 28．（24-25九年级上·河南郑州·期末）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，且， ∴， 即在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是， 故选：C 29．根据下表可知，方程的一个近似解为 （结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【解析】解：根据表格得， 当从增大到时，从下降到． 距近一些， ∴方程的一个近似根是． 故答案为：． 30．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 题型七、根据判别式判断一元二次方程根的情况 31．方程的根的情况是（   ） A．有两个不等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．无法判定 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 32．下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； B、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； C、，不能判断一定大于零，即不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； D、，方程一定有两个不相等的实数根，该选项符合题意； 故选：D． 33．一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 34．一元二次方程 实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴该二次方程有实数根． 故答案为：有． 35．一元二次方程根的判别式值是 ． 【答案】25 【解析】解：∵一元二次方程 ∴ 故答案为：． 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 36．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴． 故选B． 37．（24-25九年级上·河南周口·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． ∴a的值可以是． 故选：D． 38．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 39．已知关于x 的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：当时，原方程化为：，解得：，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：； ∴且； 综上：． 故答案为：． 40．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】且 【解析】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 题型九、一元二次方程的根与系数的关系 41．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 42．已知方程的一个根是3，则另一个根是 ． 【答案】/ 【解析】解：设方程的另一个根为，则有， ∴， ∴方程的另一个根为． 故答案为：． 43．小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 【答案】 【解析】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴，即， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是． ∴， 原来的方程是， 故答案为： 44．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意，得，， ． 故答案为：． 45．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】0 【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：0． 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【解析】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 2．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：对于方程， 其根的判别式为：， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， 故选：B． 3．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 4．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 5．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 7．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 8．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 9．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【解析】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 10．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【解析】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $