专题20 数列的通项及前n项和 - 2026年职教高考数学必刷题（原卷版+解析版）

2026年职教高考数学必刷题 专题20 数列的通项公式与前n项和 一、【考点剖析】 考点 考题方向 数列的通项公式 判断或写出数列中的项 利用与的关系求数列通项 其他方法求数列的通项 递推数列 根据数列递推公式写出数列的项 由递推关系求通项公式 数列的前n项和 倒序相加法求数列的前n项和 错位相减法求数列的前n项和 裂项相消法求数列的前n项和 求数列前n项和的其他方法 二、【真题精练】 题型一、数列的通项公式 1．（21-22高三下·黑龙江·对口/高职单招）数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第1000项是（    ） A．42 B．45 C．48 D．51 【答案】B 【分析】设，利用可求解. 【详解】将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，，第n段n个数，设，则在第k个数段，由于第k个数段共有k个数，则由题意， k应满足：， 即，解得. 答案：B 2．（23-24高三下·湖南·对口/高职单招）已知数列的通项公式为，若，则（    ） A．15 B．17 C．20 D．34 【答案】B 【分析】将代入通项公式中即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：B. 3．（19-20高三·吉林·职教高考）已知数列1,，3，，x，，7，…，按其排列的规律，值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．－5 【答案】B 【分析】利用观察法得到数列的规律，进而求解即可. 【详解】由题意，得 数列得绝对值从第二项开始比前一项多1，且奇数项为正数，偶数项为负数. 所以 则. 故选：B. 4．（21-22高三上·广东·职教高考）已知数列的前n项和，则 . 【答案】15 【分析】利用前项和与项的关系解答即可. 【详解】因为数列前项和为， 所以， 所以. 故答案为：15. 5．（24-25高三下·江苏·职教高考）若数列的前项和为，则 ． 【答案】27 【分析】根据数列前项和与通项的关系，分析求解即可. 【详解】由数列前项和与通项的关系可得： ， 因为， 所以， 所以． 故答案为：. 6．（23-24高三上·广东·职教高考）已知数列满足，，，则 . 【答案】3 【分析】根据递推公式构造出等比数列并求出通项公式，代值求即可. 【详解】∵，∴，即， 且，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，若，则，解得. 故答案为：3. 7．（8-9高三·山西·自主招生）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)243是这个数列中的第几项？ 【答案】(1) (2)第5项 【分析】（1）根据即可求解； （2）由（1）中结论，令，解方程即可求解. 【详解】（1）当时， ； 当时，也符合上式. 所以数列的通项公式； （2）由（1）知， 令， 解得. 即243是这个数列中的第5项. 8．（24-25高三下·四川·职教高考）已知数列满足，前n项和. (1)求； (2)求的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，令得到关于的方程，从而得解； （2）利用（1）中结论，分析得与时是常数列，从而得解. 【详解】（1）因为，， 当时，， 即，则，故. （2）当时，由，得， 所以，整理得， 又， 结合，可知是各项为的常数列， 则，即. 题型二、递推数列 9．（24-25高三下·浙江·职教高考）已知数列满足，，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，利用数列的递推式依次赋值即可得解. 【详解】依题意，由得，又， 所以，， ，. 故选：B. 10．（24-25高三上·广东·职教高考）已知数列满足，，则（    ） A．18 B．27 C．39 D．73 【答案】B 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解． 【详解】因为数列满足， 又， 所以， 所以． 故选：B. 11．（21-22高三·河南·对口/高职单招）已知数列的前四项为，，，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合数的规律，即可求得通项公式. 【详解】，， ， 故数列，，，，的通项公式， 故选：D. 12．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）“斐波那契数列”又称黄金分割数列、兔子数列，由数学家莱昂纳多·斐波那契提出，该数列满足，，则 ． 【答案】8 【分析】根据数列的递推公式，对赋值计算即可. 【详解】∵数列满足，， ∴；； ；， 故答案为：8. 13．（24-25高三下·云南·职教高考）已知数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用已知等式推出数列的递推公式，再构造等比数列，求出数列，的通项公式即可求. 【详解】因为， 当时，，即， 当时，， 由题知，，即， 又， 则，即， 所以， 令，则，， 则为首项为，公比为的等比数列， 则， 则，， 则； 故答案为：. 14．（23-24高三下·江苏·职教高考）在数列中，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用倒数法证得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为， 易知，所以，则， 又，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 15．（24-25高三下·河南·职教高考）已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解； （2）根据题意，可得，将递推公式取倒数，化简可得，继而得到数列是等差数列，求出首项和公差，即可求解. 【详解】（1）因为，数列满足， 所以将，代入得； 将，代入得； 所以，； （2）因为数列中，，所以， 又， 所以，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. 题型三、数列的前n项和 16．（10-11高三·河南·自主招生）数列，，，…，，…的前项和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数列前几项写出通项公式，然后列出，最后化简求值即可. 【详解】由题可知，，； 所以； 故选：. 17．（21-22高三·辽宁抚顺·模拟预测）数列的通项公式，若前项的和为3，则项数为（    ） A．11 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【分析】先把通项公式化简，再根据裂项相消法即可求解. 【详解】由题意得， . 设前项和为， 则 . 解得. 故选：C. 18．（23-24高三上·浙江宁波·一模）已知数列的通项公式，则（    ） A． B．2023 C． D．2027 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式，利用分组（并项）求和法，结合题意，即可求解． 【详解】因为数列的通项公式， 所以,, ,， 所以 ． 故选：B． 19．（24-25高三上·山东济宁·二模）若数列的前项和，则（   ） A．44 B．45 C．60 D．64 【答案】B 【分析】利用数列前项和概念求解即可. 【详解】因为数列的前项和， 所以. 故选：B. 20．（22-23高三·山东·模拟预测）数列中，，且与是方程的根，则为（    ） A．9 B． C．0 D．6 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出，进而即可求解. 【详解】因为与是方程的两根. 所以. 所以. 故选：D. 21．（23-24高三下·浙江温州·三模）已知数列的通项公式为，则该数列的前10项的和为（    ） A．60 B．64 C．68 D．72 【答案】C 【分析】分别求出数列前10项的值求和即可. 【详解】由题意得，， 所以该数列的前10项的和为. 故选：C. 22．（24-25高三下·贵州·职教高考）关于数列前项和，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合数列的规律，可得当n为奇数时，；当n为偶数时，，继而求解. 【详解】因为数列， 所以当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以，故选项A正确，选项B错误； ，故选项C错误，选项D错误. 故选：A. 23．（18-19高三·广西·对口/高职单招）求数列前5项之和. 【答案】 【分析】由给出的数列前项，通过观察其规律，写出前项，再由等差数列，等比数列求和公式求解即可. 【详解】数列的前项为， 通过观察发现，，，， 故其第项为，第项为， 故数列前5项之和为 . 24．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若数列，求数列的前项和. 【答案】(1)函数为偶函数 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）运用函数方程推导数列的递推关系，发现周期性进而分组求和即可. 【详解】（1）已知函数的定义域为，关于原点对称， 当时，， 即，解得或， 若，设，此时，不满足题意， 所以， 当时，得， 即，整理得， 所以函数为偶函数. （2）已知数列， 当时，， 因为，所以， 即数列，且， 当时，则， ，解得，即， 由，得， 由，得， 由，得， 数列的周期为，每项的和为， 前项中有个周期余两项， 所以. 三、【考点演练】 【考点1】数列的通项公式 25．已知数列的前n项和，则该数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的关系可求解. 【详解】当时，； 当时，， 此时不适上式， 所以 故选：D 26．若为数列的前n项和，且，则等于（   ） A． B． C． D．15 【答案】D 【分析】根据题意结合即可得解. 【详解】，故 故选：. 27．已知数列满足，则是它的第 项． 【答案】7 【分析】代值计算即可. 【详解】设则是数列的第n项, 则. 所以是它的第7项 故答案为：7 28．设是数列的前n项和，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件，结合与的关系逐步计算出的值. 【详解】在数列中，当时， ，又，所以， 当时，，又，解得， 当时，，又，解得， 当时，，又，解得. 故答案为：. 29．已知数列中，，则它的前9项和 . 【答案】 【分析】根据通项公式列出前9项再求和即可. 【详解】 . 故答案为：. 30．已知数列的通项公式为则 ． 【答案】 【分析】利用通项公式求出然后相乘即可. 【详解】由题可知，， 则； 故答案为：. 【考点2】递推数列 31．已知数列对任意都满足，且，则等于（     ） A．8 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由数列的递推式，逐项代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 32．已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由数列的递推公式依次列举即可得解. 【详解】因为数列中，，， 所以， ， ， . 故选：A. 33．在数列中，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据题意求出的值即可得解. 【详解】由题意可知，；； ， 故选：. 34．若数列满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，，计算求解即可． 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 35．已知在数列中，，且.请写出该数列的前项，并写出数列的一个通项公式. 【答案】，，，， 【分析】由递推公式逐项计算，观察规律即可求解. 【详解】因为，， 即，，， 所以观察可得，数列的通项为. 【考点3】数列的前n项和 36．设数列的通项公式为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，先判断的符号，并去绝对值后，再利用等差数列的求和公式可求解. 【详解】因为，且， 所以数列是以首项为，公差为2的等差数列. 令，可得，即从第4项起为正数， 所以，原式 . 故选：A 37．已知函数，则对任意实数x都有 ；且 ． 【答案】 1 1011 【分析】通过可先求出,接着可求的值;再用倒序相加法可求的值. 【详解】， ， ， ,, 令， 则， 两式相加可得；，解得 故答案为：1；1011. 38．已知数列的通项公式为，则的前10项和为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合裂项相消法即可得解. 【详解】， 则数列的前10项， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年职教高考数学必刷题 专题20 数列的通项公式与前n项和 一、【考点剖析】 考点 考题方向 数列的通项公式 判断或写出数列中的项 利用与的关系求数列通项 其他方法求数列的通项 递推数列 根据数列递推公式写出数列的项 由递推关系求通项公式 数列的前n项和 倒序相加法求数列的前n项和 错位相减法求数列的前n项和 裂项相消法求数列的前n项和 求数列前n项和的其他方法 二、【真题精练】 题型一、数列的通项公式 1．（21-22高三下·黑龙江·对口/高职单招）数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第1000项是（    ） A．42 B．45 C．48 D．51 2．（23-24高三下·湖南·对口/高职单招）已知数列的通项公式为，若，则（    ） A．15 B．17 C．20 D．34 3．（19-20高三·吉林·职教高考）已知数列1,，3，，x，，7，…，按其排列的规律，值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．－5 4．（21-22高三上·广东·职教高考）已知数列的前n项和，则 . 5．（24-25高三下·江苏·职教高考）若数列的前项和为，则 ． 6．（23-24高三上·广东·职教高考）已知数列满足，，，则 . 7．（8-9高三·山西·自主招生）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)243是这个数列中的第几项？ 8．（24-25高三下·四川·职教高考）已知数列满足，前n项和. (1)求； (2)求的通项公式. 题型二、递推数列 9．（24-25高三下·浙江·职教高考）已知数列满足，，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 10．（24-25高三上·广东·职教高考）已知数列满足，，则（    ） A．18 B．27 C．39 D．73 11．（21-22高三·河南·对口/高职单招）已知数列的前四项为，，，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）“斐波那契数列”又称黄金分割数列、兔子数列，由数学家莱昂纳多·斐波那契提出，该数列满足，，则 ． 13．（24-25高三下·云南·职教高考）已知数列的前n项和为，且，则 ． 14．（23-24高三下·江苏·职教高考）在数列中，，则数列的通项公式为 . 15．（24-25高三下·河南·职教高考）已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 题型三、数列的前n项和 16．（10-11高三·河南·自主招生）数列，，，…，，…的前项和是（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高三·辽宁抚顺·模拟预测）数列的通项公式，若前项的和为3，则项数为（    ） A．11 B．13 C．15 D．18 18．（23-24高三上·浙江宁波·一模）已知数列的通项公式，则（    ） A． B．2023 C． D．2027 19．（24-25高三上·山东济宁·二模）若数列的前项和，则（    ） A．44 B．45 C．60 D．64 20．（22-23高三·山东·模拟预测）数列中，，且与是方程的根，则为（    ） A．9 B． C．0 D．6 21．（23-24高三下·浙江温州·三模）已知数列的通项公式为，则该数列的前10项的和为（    ） A．60 B．64 C．68 D．72 22．（24-25高三下·贵州·职教高考）关于数列前项和，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（18-19高三·广西·对口/高职单招）求数列前5项之和. 24．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若数列，求数列的前项和. 三、【考点演练】 【考点1】数列的通项公式 25．已知数列的前n项和，则该数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 26．若为数列的前n项和，且，则等于（   ） A． B． C． D．15 27．已知数列满足，则是它的第 项． 28．设是数列的前n项和，若，则 . 29．已知数列中，，则它的前9项和 . 30．已知数列的通项公式为则 ． 【考点2】递推数列 31．已知数列对任意都满足，且，则等于（     ） A．8 B． C．0 D．2 32．已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D．2 33．在数列中，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 34．若数列满足，，则 ． 35．已知在数列中，，且.请写出该数列的前项，并写出数列的一个通项公式. 【考点3】数列的前n项和 36．设数列的通项公式为 ，则 （   ） A． B． C． D． 37．已知函数，则对任意实数x都有 ；且 ． 38．已知数列的通项公式为，则的前10项和为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $