专题19 正弦定理与余弦定理 - 2026年职教高考数学必刷题（原卷版+解析版）

中职公共课·高考必刷题 今A职教 》》 2026年职教高考数学必刷题 专题19解三角形 一、【考点剖析】 考点 考题方向 正弦定理及其应用 正弦定理 三角形的面积公式及其应用 余弦定理 余弦定理及其应用 正、余弦定理在几何中的应用 正、余弦定理的综合应用 正、余弦定理的实际应用 二、【真题精练】 题型一、正弦定理 1.(19-20高三·云南对口/高职单招)在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，c=1,则最短边 的长等于() A.3 8.6 C. D.6 2 2 3 2.(24-25高三下.重庆.职教高考)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为α，b,c, 若a=√6，∠A=45°，∠B=75°，则c=() A.√2 B.5 C.2 D.3 3.(24-25高三下.四川职教高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 b(sin B+sin C)+csin C=asin A,=( A君 B. C. 3 D. 5π 6 4.(2425高三下云南职教商考)在A8C中，已知B-至。=1b=反，则4等于() A臂 2 c D君 5.(24-25高三下.重庆.职教高考)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若∠A:∠B:∠C=1:2:9,且a=1,则c=() A.√2 B.3 C.2 D.V5+1 ©δ原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 6.(24-25高三.全国对口/高职单招)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a6,c,a=7,c=3且sinC=3 "sinB 5 (1)求边b的长： (2)求角A大小及ABC的面积. 7.(22-23高三下山西对口/高职单招)在ABC中，∠A∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且 √5a=2 csinA, (1)求锐角C的大小： (2)若c=√5且ab=2,求三角形的周长. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 题型二、余弦定理 8.(24-25高三下山东·职教高考)在三角形ABC中，已知AB=2,BC=3√5，∠B=150° 则AC= 9.(24-25高三下山东·职教高考)在ABC中，已知AB=2,BC=3V3,∠B=150°，则 AC= 10.(22-23高三·内蒙古对口/高职单招)在ABC中，a2-b2=c(a-c),则∠B=一 11.(24-25高三下.内蒙古·职教高考)在ABC中，a=3,b=5,c=7. (1)求ABC的最大内角的度数： 12.(23-24高三河南对口/高职单招)锐角三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知，a= bsin A.5 5 4，a+c=4,求： (1)角B的大小： (2边b的长度. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职公共课·高考必刷题 A职教 》 13.(23-24高三下山东青岛职教高考)三角形ABC中D为BC上一点， BD=6∠B=45,sim∠B4D-∠BDeO受 D (1)求AD; (2)若2BD=3CD,求AC. 14.(24-25高三.全国对口/高职单招)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2a2=(2b-cb+2c-b)c. (1)求角A的大小： (2)若b=2 ccosA,判断ABC的形状. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 中职公共课·高考必刷题 AI职教 o xkw o 》 题型三、正、余弦定理的综合应用 15.(24-25高三下广西.职教高考)已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数， 则该三角形的周长为() A.7 B.8 C.9 D.10 16.(22-23高三浙江模拟预测)一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开 始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45 ,行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是()海里. 75 45 A.30(6+V2) B.30(6-√2) C.30(N6-5) D.30(6+√5) 17.(23-24高三下.四川三模)在ABC中，已知a:b:c=3:4:6,则ABC为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 18.(24-25高三下江西·职教高考)在△ABC中，a=1,c=2且sin2A+sin2B=sin2C,则 S.48C= 19.(23-24高三下四川对口/高职单招)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sin2 2+4+2 sin24=1. (1)求A的大小； (2)若c=bcosA+√3 asinB,证明：ABC为直角三角形. ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 中职公共课·高考必刷题 9A职教 》 20.(19-20高三云南对口/高职单招)已知F,B是椭圆+二=1的两个焦点，P为椭圆 10064 上一点，且∠FPF,=30°，求△PFF的面积. 21.(20-21高三.云南对口/高职单招)一艘轮船在大海航行到达A处时，望见北偏东60方 向有一座灯塔B,此时船和灯塔相距30海里，然后船沿北偏东30的方向航行到达C处， 望见灯塔B在船的正东方向，如图所示，求C处到灯塔B的距离. B 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 中职公共课·高考必刷题 AI职教 o xkw c 》 22.(22-23高三·浙江模拟预测)在ABC中，己知A,B,C三个内角的对边分别为 a,b,c, 且0=cosA 3c sin C (1)求内角A的大小： (2)若b+c=5,且ABC的面积为V,求ABC的周长. 三、【考点演练】 【考点1】正弦定理 23.在ABC中，已知三个内角A,B,C,满足sinA:sinB:sinC=3:2:4,则最小内角的正弦值 为() A B.V15 8 C.V15 4 24.在4BC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,若a=25,b=2,4=行则 ABC的面积为() A.1 B.5 C.2 D.25 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 25.在48C中，内角4,8，C所对的边分别为aac,已知4=子c=2. (1)若a=2,求C的值； (2)若b=3,求ABC的周长. 26.在ABC中，已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csinA=√3 acosC. (1)求内角C的大小： (2)若a=1,b=2,求边c的长， 【考点2】余弦定理 27.ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,己知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=() A.3 c. 0.a 28.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,b2=a2+c2+√3ac,则 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 ∠B= 29.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=4,c=5,且 cosBcosC--sinBsinc=-1.求： 2 (1)角A的值： (2)ABC的周长. 30.在ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2√5x+2=0的两个根，且2c0sA+B=1, (1)求∠C的度数： (2)求AB的长度. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 【考点3】正、余弦定理的综合应用 31.如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里.经过侦察发现， 国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30°方向逃鼌，同时，该军舰艇 从C处出发沿北偏东90°-α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上 北 309 西 东 A (1)求该军舰艇的速度； (2)求sina的值. 32.在ABC中，角4，B,C的对边分别为ab,c,已知asinC=csinB+C 2 (1)求角A: (2)若a=√5，b+c=2,求ABC的面积. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 2026年职教高考数学必刷题 专题19 解三角形 一、【考点剖析】 考点 考题方向 正弦定理 正弦定理及其应用 三角形的面积公式及其应用 余弦定理 余弦定理及其应用 正、余弦定理的综合应用 正、余弦定理在几何中的应用 正、余弦定理的实际应用 二、【真题精练】 题型一、正弦定理 1．（19-20高三·云南·对口/高职单招）在中，，，，则最短边的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三角形的各角，判断出最短边，再由正弦定理求解即可. 【详解】在中，，， 所以，因为， 所以在中，最短边为，又， 由正弦定理，， 所以. 故选：D. 2．（24-25高三下·重庆·职教高考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】，，则， 由正弦定理得，解得； 故选：D. 3．（24-25高三下·四川·职教高考）的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理将条件等式中的角化成边，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设三角形外接圆半径为，则由正弦定理可得： 即， 整理得：， 则， 且，所以. 故选：C. 4．（24-25高三下·云南·职教高考）在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】已知，，， 由得，， 解得，因为在中，， 所以， 故选：D. 5．（24-25高三下·重庆·职教高考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由角度的比值，分别求出角的大小，再利用正弦定理求出边c的值. 【详解】在中，， 所以, ， ， 又， 因为，由正弦定理可得， . 故选：D. 6．（24-25高三·全国·对口/高职单招）在中，内角的对边分别为且. (1)求边的长； (2)求角大小及的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）根据余弦定理结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理， 又且， 得. （2）由余弦定理得， 又，所以， 所以. 7．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）在中，的对边分别是，且， (1)求锐角的大小； (2)若且，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得边角互化求解角的大小即可. （2）由余弦定理求解a，b的值进而求解周长即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得：， 解得， 又因为在中，为锐角， 所以. （2）由余弦定理， ， ， 解得或（舍）， 三角形的周长为：. 题型二、余弦定理 8．（24-25高三下·山东·职教高考）在三角形中，已知则 【答案】7 【分析】利用余弦定理边角互化，求解即可. 【详解】在三角形中，因为， 所以， 即 ， 因此， 故答案为：. 9．（24-25高三下·山东·职教高考）在中，已知，则 ． 【答案】7 【分析】利用余弦定理边角互化，求解即可. 【详解】因为在中，， 所以 ， 所以， 故答案为：. 10．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 11．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）在中，. (1)求的最大内角的度数； (2)求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】（1）在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. （2），则， 则. 12．（23-24高三·河南·对口/高职单招）锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，，求： (1)角B的大小； (2)边b的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将中的边化为角，即可求解; （2）根据三角形面积公式，以及，再结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 又∵ ∴ ∴ 又∵是锐角三角形的内角 ∴ （2）∵ ∴, 即 ∴ 又∵ ∴ ∴ 由余弦定理 得 即 ∴边b的长度为 13．（23-24高三下·山东青岛·职教高考）三角形ABC中D为BC上一点， (1)求 (2)若，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将代入即可求解； （2）由同角的基本关系求出，再利用三角形内角的关系和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可知：， 即， 解得. （2）因为，， 所以， 因为， 所以， 则， 由余弦定理，得： ， 所以. 14．（24-25高三·全国·对口/高职单招）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（）根据题意结合余弦定理求出即可得解. （）利用（1）中结论得到，从而得解. 【详解】（1），整理得， 由余弦定理可知， ，. （2）由（1）知， 所以，， 则， 所以为等边三角形. 题型三、正、余弦定理的综合应用 15．（24-25高三下·广西·职教高考）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解. 【详解】设第三边长为，由题意得，，即，因为第三边为整数，所以. 则该三角形的周长为. 故选：C. 16．（22-23高三·浙江·模拟预测）一只艘船以均匀的速度由点向正北方向航行，如图，开始航行时，从点观测灯塔的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为，行驶60海里后，船在点观测灯塔的方位角为，则到的距离是（    ）海里． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定的值，再由两角和的正弦公式求出的值，最后由正弦定理求值即可. 【详解】由题意可知，， ，海里， 则 ， 由正弦定理得，即， 解得海里. 故选：A 17．（23-24高三下·四川·三模）在中，已知，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】利用余弦定理进行求解即可. 【详解】因为，设，，． 又在三角形中，大边对大角， 所以， 又，所以为钝角， 故所求三角形为钝角三角形， 故选：C． 18．（24-25高三下·江西·职教高考）在△中，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正弦定理易得，即可判断三角形是直角三角形，根据勾股定理即可求得b的值，结合三角形面积公式，继而求解. 【详解】因为在△中， ， 由正弦定理得， 所以△是直角三角形， 又，， 所以， 所以. 故答案为：. 19．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知的内角的对边分别为，且. (1)求A的大小； (2)若，证明：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解. （2）根据余弦定理，两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，. 则. 即，所以或. 解得或. 因为是内角，所以. （2）由题意得，. 则，即. 又由余弦定理，则.即. 所以，解得. 因为是内角，所以，由得，所以. 所以为直角三角形. 20．（19-20高三·云南·对口/高职单招）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点 ，且，求的面积. 【答案】 【分析】设，由椭圆定义得，再由余弦定理求出，进而 三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆方程，可得，， 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点 ， 设，则， 又，由余弦定理得 ，即， 所以， 所以的面积为. 21．（20-21高三·云南·对口/高职单招）一艘轮船在大海航行到达A处时，望见北偏东方向有一座灯塔B，此时船和灯塔相距30海里，然后船沿北偏东的方向航行到达C处，望见灯塔B在船的正东方向，如图所示，求C处到灯塔B的距离. 【答案】海里 【分析】根据正弦定理求解BC即可. 【详解】在中，根据题意可知， ，，， 由正弦定理可得， 即， 解得. 故C处到灯塔B的距离为海里. 22．（22-23高三·浙江·模拟预测）在中，已知三个内角的对边分别为，且． (1)求内角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得的大小； （2）由余弦定理可得结果. 【详解】（1）解：∵，由正弦定理得，∴， ∵，∴； （2）∵的面积为，∴，∴， 由余弦定理得， ∴，∴的周长为． 三、【考点演练】 【考点1】正弦定理 23．在中，已知三个内角,满足，则最小内角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理边角互化，结合同角三角函数的平方关系，代数求解即可. 【详解】设内角的对边分别为， 因为， 所以，设， 则最小内角的余弦值 ， 所以， 故选：B. 24．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出B和C，再根据面积公式即可计算． 【详解】∵，，， ∴由正弦定理，得， ∴， ∵B是三角形的内角， ∴或， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：D． 25．在中，内角所对的边分别为，已知，． (1)若，求C的值； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，结合“大边对大角”即可得解. （2）由余弦定理先得到，即可得解. 【详解】（1），，， 由正弦定理可知， ， 因为，所以， 又，即. （2）在中，，，， 由余弦定理可知， ，故， 的周长为. 26．在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求内角C的大小； (2)若，求边c的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，即． 又因为是的内角， 得． （2）在中， 由余弦定理得． 因为， 所以， （负值舍去）， 即边的长为． 【考点2】余弦定理 27．中，角的对边分别是，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理化简，再由同角三角函数的商数关系得出，即可确定角. 【详解】已知， 由余弦定理得， 所以， 所以，由正切函数的定义得， 又，所以. 故选：C. 28．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，则 . 【答案】/ 【分析】先根据余弦定理和题目条件得到，即可解得. 【详解】因为在中，，则， 所以， 又，得到. 故答案为：. 29．在中，内角所对的边分别为，已知，且.求： (1)角的值； (2)的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的余弦公式，化简得到，结合三角形内角和为，得到，即可求解. （2）根据余弦定理求得，即可解得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 得到， 又，所以. （2）因为， 所以由余弦定理得 所以， 所以的周长为. 30．在中，是方程的两个根，且， (1)求的度数； (2)求的长度. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合三角形内角和及诱导公式即可得解. （）根据韦达定理得出，，利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）因为三角形内角和为，且， 则， 因为，所以. （2）因为是方程的两个根，由韦达定理可知，， 由余弦定理可得： ， 所以. 【考点3】正、余弦定理的综合应用 31．如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里／小时的速度从岛屿A出发沿北偏东方向逃鼌，同时，该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上.    (1)求该军舰艇的速度； (2)求的值． 【答案】(1)140（海里／小时）. (2)． 【分析】（1）根据图形以及题意得到边角关系，再根据余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理求解即可. 【详解】（1）依题意知，（海里）， （海里），. 在中，由余弦定理， 得， 解得（海里）. 所以该军舰艇的速度为（海里／小时）. （2）在中，由正弦定理，得， 即． 32．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，将方程转化为关于角的三角恒等式，利用角度和为的性质简化方程即可求解. （2）通过联立余弦定理和代数方程，求出边长的乘积，直接代入面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可知，，为外接圆半径， 代入可得， 在中，， 所以，所以， 由于，故，代入得， 利用，方程可变为， 又，所以，即，解得，则. （2）利用余弦定理可得， 由，，可得，即， 又，代入得， 所以的面积. 33．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的值． (2)若的面积为，且，,求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数诱导公式对进行化简，然后利用三角函数半角公式对进行化简，进而求得角A 的值. （2）利用三角形面积公式即可求解、的值，然后利用余弦定理求解a的值. 【详解】（1）由，得， 即，，， 又，∴， 故． （2）由面积公式得：，得， 又且,，， 由余弦定理得：， ∴． 34．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ． 【答案】 【分析】结合题意求出中的角，代正弦定理求出，再在中根据角的正切值求出即可. 【详解】依题意，，， 在中，因为，所以， 因为，由正弦定理可得，即． 在中，因为，所以，所以． 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $