充要条件-陕西省2026年职教单招考试一轮复习《数学考点双析卷》第5卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：陕西省2026年职教单招一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年职教单招数学真题编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是陕西省2026年职教单招《数学考点双析卷》的第5卷，主要考查充要条件的掌握情况。 陕西省2026年职教单招《数学考点双析卷》 第5卷 充要条件 教师讲解卷 一、单项选择题（每题4分，共40分） 1．命题“是8的倍数”是命题“是4的倍数”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．非充分非必要条件 4．已知且，，则以下正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充要条件 D．是的既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．是抛物线经过原点的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“”的（    ）条件． A．充分 B．必要 C．充要 D．既不充分也不必要 8．某门课程的合格标准是“期末成绩分”．设p：“小明期末成绩分”，q：“小明这门课程合格”，则p是q的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题（每题5分，共20分） 11．是的 条件（将“充分”，“必要”，“充要”之一填入）． 12．“”是“”的 条件． 13．已知p：，q：，则p是q的 条件. 14．命题“”是“”成立的 条件. 三、解答题（每题10分，共40分） 15．下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (2)p：，q：. 16．分析下列各项中p与q的关系． (1)p：为锐角，q：； (2)p：，q：. 17．设函数的定义域为集合，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 18．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：陕西省2026年职教单招一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年职教单招数学真题编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是陕西省2026年职教单招《数学考点双析卷》的第5卷，主要考查充要条件的掌握情况。 陕西省2026年职教单招《数学考点双析卷》 第5卷 充要条件 教师讲解卷 一、单项选择题（每题4分，共40分） 1．命题“是8的倍数”是命题“是4的倍数”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若是8的倍数，令，所以， 所以一定是4的倍数，故充分性成立； 若是4的倍数，则不一定是8的倍数，如12是4的倍数，但不是8的倍数， 故必要性不成立； 故命题“是8的倍数”是命题“是4的倍数”的充分而不必要条件. 故选：B. 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，结合充分不必要的条件，即可求解. 【详解】由题意知， 即，解得：或， 若已知，可以推出，充分性成立； 若已知，不能推出，必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】因为“” “”，例如， 又“”“”， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 4．已知且，，则以下正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充要条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可. 【详解】当且时，可得，故充分性成立； 当时，可得且，即且，故必要性成立， 则是的充要条件. 故选：C. 5．“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，则或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 6．是抛物线经过原点的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分条件及必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，抛物线经过原点； 当抛物线经过原点时，一定成立，不一定成立， 所以是抛物线经过原点的充分而不必要条件， 故选：. 7．“”是“”的（    ）条件． A．充分 B．必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件及必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立； 当时，不一定成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分条件， 故选：. 8．某门课程的合格标准是“期末成绩分”．设p：“小明期末成绩分”，q：“小明这门课程合格”，则p是q的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】某门课程的合格标准是“期末成绩分”， 若p：“小明期末成绩分”，则q：“小明这门课程合格”. 若q：“小明这门课程合格”，则不能推出p：“小明期末成绩分”. 故p是q的充分不必要条件. 故选：A. 9．“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数型复合函数的单调性结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】函数，则，解得或， 所以函数的定义为， 又因为底数，所以函数为增函数， 令，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则函数在上为减函数，上为增函数， 则函数在上为增函数， 所以当时，不能推出函数在上单调递增，故充分性不成立； 当函数在上单调递增时，成立，故必要性成立， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件， 故选：. 10．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】对于A，不能推出，如；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故A错误； 对于B，，则不能推出；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故B错误； 对于C，或能推出；能推出或， 故条件p是结论q的充要条件，故C正确； 对于D，不能推出，如；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故D错误， 故选：C. 二、填空题（每题5分，共20分） 11．是的 条件（将“充分”，“必要”，“充要”之一填入）． 【答案】充分 【分析】由充要条件的定义，即可得出答案． 【详解】若，则，充分性成立， 若，不能推出，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件， 故答案为：充分． 12．“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若时，则一定成立，即充分性成立； 若时，则不一定成立，如满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 13．已知p：，q：，则p是q的 条件. 【答案】充要 【分析】根据充要条件结合不等式的基本性质即可判断. 【详解】根据不等式的性质，由， 由， 故p是q的充要条件. 故答案为：充要. 14．命题“”是“”成立的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的单调性判断即可. 【详解】设对数函数， 因为，所以函数在单调递增， 又因为，所以， 所以命题“”是“”成立的充分条件； 当，由于不知道、是否为正数，所以、不一定有意义， 所以命题“”是“”成立的不必要条件， 因此命题“”是“”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 三、解答题（每题10分，共40分） 15．下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (2)p：，q：. 【答案】(1)必要不充分条件． (2)充分不必要条件． 【分析】（1）根据矩形和等腰梯形的对角线相等，得到，，故p是q的必要不充分条件； （2）解方程，得到或3，故p是q的充分不必要条件． 【详解】（1）∵等腰梯形的对角线相等，故， 又因为矩形的对角线相等，故， ∴p是q的必要不充分条件． （2）当时，， ∴， ，解得或3. 故， ∴p是q的充分不必要条件． 16．分析下列各项中p与q的关系． (1)p：为锐角，q：； (2)p：，q：. 【答案】(1)q是p的充分条件； (2)p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】（1）依题意，，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件. （2）依题意，，所以q是p的充分条件，p是q的必要条件. 17．设函数的定义域为集合，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，再由交集的定义求解； （2）先求出函数的值域，再由必要不充分条件得出两集合之间的关系，最后求解的范围. 【详解】（1）函数的定义域为集合， 则，解得或， 故集合或，又集合， 故. （2）函数的值域为集合， 因为在上单调递减， 所以函数的值域为，即集合， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 由（1）得，集合或， 故，解得， 故的取值范围为. 18．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案. （2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合或， （2）若“”是“”的必要条件，则， ①当时，，； ②，则且，，. 综上所述，或. 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $