2.3 等腰三角形的性质定理 第2课时教案 　2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

第2章 特殊三角形 2.3等腰三角形的性质定理(第2课时)   一、教材分析 本节课是浙教版八年级数学上册第二章第三节“等腰三角形的性质定理”的第二课时，主要内容是等腰三角形三线合一的性质．从知识体系来看，学生已学习了全等三角形的判定、轴对称图形以及等腰三角形的认识和“等边对等角”等内容 ，在此基础上学习等腰三角形三线合一性质，既是对前面知识的深化和应用，也为后继学习线段垂直平分线等内容奠定基础，起着承前启后的重要作用． 教材通过让学生观察图片，先直观地发现等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合这一性质，再引导学生通过独立思考进行推导证明，培养学生的逻辑推理能力．要求学生不仅要掌握这一性质，还要会利用它进行简单的推理、判断、计算和作图 ，提升学生运用数学知识解决问题的能力．   二、教学目标 1．掌握等腰三角形三线合一的性质，明确这一性质是等腰三角形特有的几何特征． 2．能够通过全等三角形的判定，严谨推导出三线合一的结论，理解其与等腰三角形对称性的内在联系． 3．熟练运用三线合一简化几何证明，并能在实际题目(如求周长、面积或构造辅助线)中灵活应用该性质． 4．体会数学中的转化思想，将等腰三角形的问题转化为全等三角形等已学知识来解决，提高知识迁移能力．   三、教学重难点 重点：掌握等腰三角形中“顶角平分线、底边中线、底边高线三条重要线段重合的性质，明确这一性质是等腰三角形特有的几何特征． 难点：能够通过全等三角形的判定，严谨推导出三线合一的结论，理解其与等腰三角形对称性的内在联系．熟练运用三线合一简化几何证明，并能在实际题目(如求周长、面积或构造辅助线)中灵活应用该性质．   四、教学过程 · 复习回顾 等腰三角形性质定理1的内容？ 性质定理1：等腰三角形的两个底角相等. 也可以说成：在同一个三角形中，等边对等角. 已知△ABC是等腰三角形， 等边三角形的各个内角都等 则AB= AC，∠B=∠C . 于 60° ． 师生活动：教师展示图片，引导学生回顾等腰三角形的性质，帮助学生回忆，为新课学习做铺垫． 设计意图：从学过的知识入手，激发学生学习兴趣，通过回忆唤醒等腰三角形的相关知识，为后续探究等腰三角形的性质2做铺垫． · 探究新知 　活动一：探究等腰三角形性质定理 1.在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线．在图中找出所有相等的线段和相等的角． 答： 追问：由此你发现等腰三角形还有哪些性质? 猜想等腰三角形的性质： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合． 我们猜想的等腰三角形的性质是否正确，你有什么方法能够证明吗？ 用探究动画探索等腰三角形的性质． 通过探究发现：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合． 师生活动：教师组织学生，小组讨论，通过观察图片，找出相等的线段和角，猜测等腰三角形的性质． 追问：你能写出证明过程吗? 已知：如图，在△ABC中，AB=AC， AD是△ABC的角平分线． 求证：AD⊥BC，BD=CD． 证明：因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠1=∠2． 在△ABD和△ACD中， 因为 可得△ABD≌△ACD(SAS)． 所以BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°． 那么AD⊥BC． 由上面证明过程可知，等腰三角形性质定理2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一． 几何语言： 在△ABC中，AB=AC． (1)因为AD⊥BC，所以∠BAD＝∠CAD，BD=CD． (2)因为AD是中线，所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD． (3)因为AD是角平分线，所以AD⊥BC，BD=CD． 师生活动：教师通过动态软件，展示三线合一，通过证明可知等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，教师进行总结． 设计意图：通过探究让学生发现等腰三角形的三线合一的性质，引导学生证明出等腰三角形的性质，能够更好的帮助他们理解这一知识点，从而培养学生的辩证能力、逻辑思维能力． · 应用新知 例1．已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC．求证：AD⊥BC． 分析：先作辅助线，再利用等腰三角形的定义和性质，结合全等三角形的方法ASA，即可求出AD⊥BC． 证明：如图，延长AD，交BC于点E． 因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)． 而AD=AD(公共边)，∠ADB=∠ADC(已知) 可得△ABD≌△ACD(ASA)． 所以AB=AC(全等三角形的对应边相等)． 由此可得△ABC是等腰三角形(等腰三角形的定义)． 又因为AE是等腰三角形ABC顶角的平分线， 所以AE⊥BC(等腰三角形三线合一)， 即AD⊥BC． 例2．已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC边上的高线长为h． 分析：要作出等腰三角形ABC，关键是作出顶点A．设底边BC上的高线为AD，根据“等腰三角形三线合一”的性质，AD也是底边BC上的中线，因此，只要作BC的垂直平分线l，然后在l上截取DA=h，连结AB，AC，就得到所求作的等腰三角形． 作法：如图 (1)作线段BC=a； (2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D； (3)在直线l上截取DA=h； (4)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 例3．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB = AC，AD =AE，求证：BD=CE． 分析：根据等腰三角形的性质解题即可. 证明： 如图，过点A作AP⊥BC于P． 因为AB=AC，所以BP =PC； 因为AD =AE，所以DP=PE． 所以BP-DP=PC-PE， 所以BD=CE． 总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 师生活动：教师讲解例1、例2和例3的解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项． 设计意图：让学生将所学知识应用到实际问题中，巩固所学知识，提高学生分析问题和解决问题的能力，让学生掌握运用等腰三角形的性质解决问题的方法． · 课堂练习 1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．E为AD上一点，EF⊥AB，EG⊥AC，F，G分别为垂足．求证：EF=EG． 分析：根据等腰三角形的性质解题即可. 证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D ． 所以∠BAD=∠CAD． 因为EF⊥AB，EG⊥AC，所以∠AFE=∠AGE=90°． 又因为AE=AE，所以△AEF≌△AEG(AAS)． 所以EF=EG． 2．将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗? 解：因为图中的三角尺是等腰三角形．当重锤线经过三角尺底边的中点时，重锤线(底边上的中线)与底边上的高叠合(等腰三角形三线合一)，即三角尺的底边与重锤线垂直，可以确定三角尺的底边与横梁是水平的．否则梁就不是水平． 3.等腰三角形的“三线合一”指的是( ) A.中线、高线、角平分线互相重合 B.腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合 C. 顶角的平分线、 中线、高线互相重合 D.顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合 答：D. 4.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. 分析：根据等腰三角形的性质解题即可. 解：因为AB=AC，所以∠C= ∠B=30°， 因为BD = CD，所以AD⊥BC， 所以∠ADB=∠ADC = 90°. ∠ BAD =90°– ∠B = 60°. 5.如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分 ∠ABC，交CD于点 E，已知AC =6，DE=2，则△BCE的面积是　　　　． 分析： 作EF⊥BC于F， 因为AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线， 所以CD ⊥AB， 因为BE平分∠ABC，ED ⊥AB，EF⊥BC， 所以EF=DE =2， 所以△BCE的面积=×BC×EF=×6×2=6． 答：6． 6.如图，在△ABC中，AB=BC，BE是△ABC的中线，AD⊥BC于点D，若∠DAB=36°，求则∠EBC的度数. 分析：根据三角形外角的性质得∠ABC=∠DAB+∠D=126°，由等腰三角形的性质可得BE是 ∠ABC的平分线，即可求出∠EBC的度数． 解：因为AD⊥BC于点D，∠D=90°， 因为∠DAB=36°，所以∠ABC=∠DAB+∠D=126° 因为AB=BC，BE是△ABC的中线， 所以BE是∠ABC的角平分线，即∠EBC=∠ABC=63° 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握等腰三角形的性质和应用，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．等腰三角形的性质定理2是什么？ 3．哪些是常见的辅助线？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． · 实践作业：测量等腰三角形 任务：假设你家有一个等腰三角形形状的花园，现在需要测量花园底边中点到顶点的距离，但你只有一把足够长的卷尺和一个直角三角板 ． 要求：请你设计一个利用等腰三角形“三线合一”性质进行测量的方案 ．写出详细的测量步骤，并说明每一步的目的 ．测量完成后，记录下测量的数据，并根据测量数据计算花园的相关边长(如果需要)． 学科网（北京）股份有限公司 $