3.1.2 第1课时 函数的单调性-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 3.1.2　函数的单调性 第1课时　函数的单调性 (教师独具内容) 课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 教学重点：1.函数单调性的定义及其应用.2.函数单调性的证明． 教学难点：函数单调性的证明． 核心素养：1.通过学习函数单调性的概念，函数最大值、最小值的概念培养数学抽象素养.2.通过证明函数的单调性以及利用函数的单调性解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且区间I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增)． (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)． [注意]　当函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数时，不能说f(x)在A∪B上是增(减)函数，区间A，B应该用“和”或“，”连接，如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，不能说f(x)＝在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取x1＝－1<1＝x2，有f(－1)＝－1<1＝f(1)，不符合减函数的定义． 知识点二　函数的单调性和单调区间 如果一个函数在区间I上是增函数或是减函数，就说这个函数在区间I上具有单调性(区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)． [拓展]　(1)函数的单调性是函数在某个区间上的性质 ①这个区间可以是整个定义域． 例如，y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数． ②这个区间也可以是定义域的真子集． 例如，y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数． ③有的函数不具有单调性． 例如，函数y＝它的定义域为R，但不具有单调性． (2)区间端点的写法 对于单独的一点，因为它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点． 例如，y＝x2的单调递增区间是[0，＋∞)，也可以记为(0，＋∞)，但函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，就不能写成y＝在[0，＋∞)上为减函数． 知识点三　函数的最大值和最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． [说明]　(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使f(x0)等于最值，如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0. (2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两字不可省． (3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个． (4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标． 1．(增函数的概念)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示， (1)从左至右图象是上升的还是下降的？________． (2)在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数？________． 答案：(1)上升的　(2)(－∞，＋∞)　增大　增函数 2．(减函数的概念)已知函数f(x)＝－2x＋1的图象如图2所示， (1)从左至右图象是上升的还是下降的？________． (2)在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数？________． 答案：(1)下降的　(2)(－∞，＋∞)　减小　减函数 3．(函数的单调区间)函数y＝－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案：(－∞，0]　[0，＋∞) 4．(函数的最值)函数f(x)＝x2在[0，1]上的最大值是______． 答案：1 题型一　函数单调性的判断与证明　 　用函数单调性的定义证明： (1)函数f(x)＝－2x2＋3x＋3在上是增函数； (2)函数f(x)＝在(－3，＋∞)上是减函数． [证明]　(1)任取x1，x2∈，且x1<x2，f(x2)－f(x1)＝(－2x＋3x2＋3)－(－2x＋3x1＋3)＝2x－2x＋3x2－3x1＝2(x1＋x2)(x1－x2)－3(x1－x2)＝[2(x1＋x2)－3]·(x1－x2)． 因为x1<x2，所以x1－x2<0， 由x1，x2∈，得x1<，x2≤， 则x1＋x2<，所以2(x1＋x2)<3， 则2(x1＋x2)－3<0， 所以f(x2)－f(x1)＞0， 所以f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)＝－2x2＋3x＋3在上是增函数． (2)任取x1，x2∈(－3，＋∞)，且x1<x2，则x1－x2＜0， f(x2)－f(x1)＝－ ＝. 由x1，x2∈(－3，＋∞)， 得x1>－3，x2>－3， 即x1＋3>0，x2＋3>0， 所以f(x2)－f(x1)＜0， 所以f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)＝在(－3，＋∞)上是减函数． [条件探究]　若把本例(2)中的(－3，＋∞)改为(－∞，－3)，试判断函数f(x)的单调性． 解：任取x1，x2∈(－∞，－3)，且x1<x2， 则x1－x2＜0， f(x2)－f(x1)＝－ ＝. 由x1，x2∈(－∞，－3)，得x1<－3，x2<－3， 即x1＋3<0，x2＋3<0， 所以f(x2)－f(x1)＜0， 所以f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)＝在(－∞，－3)上是减函数． 【感悟提升】　函数单调性的判断 判断函数f(x)的单调性通常有定义法和图象法两种．而证明函数的单调性一般要用定义法，其一般步骤如下： (1)取值：在区间上任取x1，x2，且x1<x2； (2)作差：计算f(x1)－f(x2)； (3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论． 【跟踪训练】　 1．利用定义判断函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上的单调性． 解：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则x2－x1>0， f(x2)－f(x1)＝－ ＝＝. ∵x1，x2∈(0，＋∞)， ∴x1＋2>0，x2＋2>0， ∴f(x1)＜f(x2)， ∴函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是增函数． 题型二　利用图象求函数的单调区间　 　作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． [解]　当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 即y＝ 作出函数的图象如下图所示： 所以函数的单调递增区间是(－∞，－1)和[0，1)，单调递减区间是[－1，0)和[1，＋∞)． 【感悟提升】　求函数的单调区间 (1)求函数单调区间的常用方法 ①转化为已学的函数(如一次函数，二次函数等)，利用其单调性来判断；②图象法；③定义法． (2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行求解． 【跟踪训练】　 2．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间． 解：函数f(x)＝的图象如图所示． 由图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]，单调递增区间为(2，＋∞)． 题型三　抽象函数的单调性　 　已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，当x>1时，f(x)>0. (1)判断f(x)的单调性并加以证明； (2)若f(4)＝2，解不等式f(x)>f(2x－1)＋1. [解]　(1)f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2，则>1， 则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f. 又当x>1时，f(x)>0，而>1， 所以f(x2)－f(x1)＝f>0，所以f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数． (2)由f(x)的定义域可得解得x>， 由已知可得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2， 所以f(2)＝1，f(2x－1)＋1＝f(2x－1)＋f(2)＝f(4x－2)， 所求不等式可转化为f(x)>f(4x－2)． 由f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 可得解得<x<， 则不等式f(x)>f(2x－1)＋1的解集为. 【感悟提升】　抽象函数单调性的判断方法 抽象函数一般由方程确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次赋值． 【跟踪训练】　 3．已知函数f(x)满足：①定义域为(0，＋∞)；②对于任意正数x，y，f＝f(x)－f(y)；③当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由； (3)若f＝1，解不等式f(x)＋f>2. 解：(1)令x＝y＝1， 则f(1)＝f(1)－f(1)＝0. (2)函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数． 理由如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则>1， ∴f＝f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数． (3)令x＝，y＝， 则f＝f－f， 即f＝f－f，∴f＝2， 则不等式f(x)＋f>2可化为f>f－f(x)＝f， 由(2)知，原不等式等价于 解得<x<1， ∴不等式f(x)＋f>2的解集为. 题型四　函数单调性的应用　 角度　比较大小 　已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，试比较f(a2－a＋1)与f的大小． [解]　∵a2－a＋1＝＋≥， ∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数， ∴f(a2－a＋1)≥f. 【感悟提升】　利用函数的单调性比较大小 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． 【跟踪训练】　 4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2) 答案：D 解析：当a<0时，a>2a，因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a)<f(2a)，故A不正确；当0<a<1时，a2<a，因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2)>f(a)，故B不正确；当a＝0时，a2＋a＝a＝0，所以f(a2＋a)＝f(a)，故C不正确；因为a2＋1>a2，函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1)<f(a2)，故D正确． 角度　解不等式 　(1)已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． [解]　∵函数f(x)是定义在[－1，1]上的增函数， ∴ 解得1≤x≤2，① 又f(x－2)<f(1－x)， ∴x－2<1－x，即x<.② 由①②可得1≤x<， 即x的取值范围为. (2)函数f(x)是定义在R上的减函数，其图象过点(－3，2)和(1，－2)，若|f(x)|<2，求x的取值范围． [解]　∵|f(x)|<2，∴－2<f(x)<2， ∵f(x)是R上的减函数，且图象过点(－3，2)，(1，－2)， ∴－3<x<1. 即x的取值范围为(－3，1)． 【感悟提升】　利用函数的单调性解不等式的注意点 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1)<f(x2)， 若f(x)在(a，b)上是增函数，则有 若f(x)在(a，b)上是减函数，则有 注意：(1)两边化为同名函数的不同函数值． (2)自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论． 【跟踪训练】　 5．(1)已知函数g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，则t的取值范围是________． 答案： 解析：∵函数g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，∴t>1－2t，∴t>，即t的取值范围为. (2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________． 答案： 解析：依题意，得不等式组解得<x≤4. 角度　求参数的取值范围 　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． [解]　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2， ∴此二次函数图象的对称轴为直线x＝1－a, ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合, ∴1－a≥4，解得a≤－3. 【感悟提升】　利用函数的单调性求参数的取值范围 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． 【跟踪训练】　 6．若函数f(x)＝4x2＋mx＋5－m在[－2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围为________． 答案：[16，＋∞) 解析：由题意可知，二次函数图象的对称轴是直线x＝－，若函数f(x)在[－2，＋∞)上是增函数，则需满足－≤－2，即m≥16. 角度　求最大(小)值 　已知函数f(x)＝－，x∈[2，6]． (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． [解]　(1)函数f(x)在[2，6]上单调递增．证明如下： 任取x1，x2∈[2，6]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝， 因为2≤x1<x2≤6， 所以x1－x2<0，(x2＋1)(x1＋1)>0. 于是<0， 即f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)， 即函数f(x)＝－在[2，6]上单调递增． (2)由(1)知，函数f(x)在[2，6]上单调递增，所以函数f(x)＝－在[2，6]的左、右端点处分别取得最小值和最大值，即f(x)max＝f(6)＝－，f(x)min＝f(2)＝－. 【感悟提升】　利用函数的单调性求最值 (1)利用函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数的图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法． (2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍． 【跟踪训练】　 7．求函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值和最小值． 解：任取x1，x2，使1≤x1<x2≤2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝， 因为1≤x1＜x2≤2，所以2<x1＋x2<4， 即6<3(x1＋x2)＜12， 又1<x1x2<4，x2－x1>0，x1－3<0，x2－3<0， 故f(x1)－f(x2)>0. 所以函数f(x)＝在区间[1，2]上是减函数， 所以f(x)max＝f(1)＝－，f(x)min＝f(2)＝－4. 1．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2(x1≠x2)均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在(a，b)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．不增不减函数 D．既增又减函数 答案：B 解析：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔或即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2)．不论哪种情况，都说明函数f(x)在(a，b)上是减函数． 2．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　) A．2 B. C. D．－ 答案：B 解析：因为函数y＝在[2，3]上为减函数，所以函数y＝在[2，3]上的最小值为ymin＝＝.故选B. 3．(多选)下图是定义在区间[－5，5]上的函数f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)在区间[－5，－3]上单调递增 B．f(x)在区间[1，4]上单调递增 C．f(x)在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．f(x)在区间[－5，5]上没有单调性 答案：ABD 解析：由函数f(x)的图象，易知A，B，D正确；当一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，C错误．故选ABD. 4．若二次函数f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是________． 答案：[2，＋∞) 解析：题中二次函数图象的对称轴为直线x＝a，由二次函数的图象，知函数在(－∞，a]上单调递减，所以a≥2. 5．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(2)＝3，则满足f(2x－3)<3的x的取值范围为________． 答案： 解析：由题意，f(2x－3)<f(2)，因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以0<2x－3<2，解得<x<.故所求x的取值范围为. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ 对点 函数的单调区间 函数单调性的判断 利用函数的单调性比较大小 利用函数的单调性求参数范围 利用函数的单调性解不等式 函数的定义域、值域、单调性与最值 抽象函数的单调性及应用 利用函数的单调性求最值 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用函数的单调性比较大小 利用分段函数的单调性求参数范围 函数单调性的判断与证明 利用图象求函数的单调区间与最值 复合函数的单调区间 利用分段函数的值域求参数范围 函数单调性的判断、证明及应用 抽象函数的单调性及应用 一、单选题 1．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是(　　) A. B．[－1，＋∞) C. D．(－∞，＋∞) 答案：C 解析：∵y＝x2＋x＋1＝＋，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－，∴当x≤－时，函数单调递减．故选C. 2．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　) A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4 答案：A 解析：A项在(0，＋∞)上为增函数；B项在R上为减函数；C项在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D项在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．故选A. 3．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)，满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是(　　) A．f(1)<f(4)<f(2) B．f(4)<f(1)<f(2) C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1) 答案：B 解析：因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，又因为a<0，所以f(4)<f(3)<f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)<f(1)<f(2)．故选B. 4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．[－1，0)∪(0，1] C．(0，1) D．(0，1] 答案：D 解析：因为g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以a≤1.故a的取值范围是(0，1]．故选D. 5．已知函数f(x)是R上的减函数，A(－1，1)，B(3，－1)是其图象上的两点，那么|f(x－1)|>1的解集是(　　) A．(－∞，0)∪(4，＋∞) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(0，4) D．(－∞，0) 答案：A 解析：由|f(x－1)|>1，得f(x－1)>1或f(x－1)<－1，因为函数f(x)是R上的减函数，f(－1)＝1，f(3)＝－1，所以有x－1<－1或x－1>3，所以x<0或x>4.故选A. 二、多选题 6．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列说法中正确的是(　　) A．函数y＝f(x)＋g(x)的定义域为[1，2] B．函数y＝2f(x)＋[g(x)]2的值域为(－∞，2] C．函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为2 D．函数y＝在(1，2)上单调递增 答案：AD 解析：对于A，因为f(x)＋g(x)＝＋，所以解得1≤x≤2，故A正确；对于B，y＝2f(x)＋[g(x)]2＝2＋2－x，设t＝，则x＝t2＋1，且t∈[0，1]，则y＝2t＋1－t2＝－(t－1)2＋2，则函数的值域为[1，2]，故B不正确；对于C，设m(x)＝f(x)＋g(x)＝＋，则m(x)>0，[m(x)]2＝x－1＋2－x＋2＝1＋2，当x＝时，[m(x)]＝1＋2×＝2，m(x)的最大值为，故C不正确；对于D，设F(x)＝＝＝＝－1－，因为t＝x－2在(1，2)上单调递增，y＝－1－在(－1，0)上也单调递增，所以F(x)在(1，2)上单调递增，故D正确．故选AD. 7．已知函数f(x)的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f(a)f(b)＝f(a＋b)，当x>0时，0<f(x)<1，且f(0)≠0，则(　　) A．∀x∈R，都有f(－x)＝－ B．当x<0时，f(x)>1 C．f(x)是减函数 D．若f(3)＝，则不等式f(2t2－5t)>的解集为 答案：BCD 解析：令a＝b＝0，则[f(0)]2＝f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.当x<0时，－x>0，所以0<f(－x)<1，又f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，所以f(x)＝，即f(x)>1，故A错误，B正确；设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)f(x2)－f(x2)＝f(x2)[f(x1－x2)－1]，又x1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>1，又当x<0时，f(x)>1，当x>0时，0<f(x)<1，f(0)＝1，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递减，故C正确；因为f(3)＝，所以f(12)＝f(6)f(6)＝f(3)f(3)f(3)f(3)＝[f(3)]4＝，所以f(2t2－5t)>，即f(2t2－5t)>f(12)，又f(x)在R上单调递减，所以2t2－5t<12，解得－<t<4，所以不等式f(2t2－5t)>f(12)的解集为，故D正确．故选BCD. 三、填空题 8．设函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2，6]上单调递增，f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________． 答案：f(－2)　f(6) 解析：函数y＝f(x)在[－4，6]上的图象的变化趋势如图所示，观察可知f(x)min＝f(－2)．又由题意可知f(－4)<f(6)，故f(x)max＝f(6)． 9．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________． 答案：f(－3)>f(－π) 解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)． 10．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，2] 解析：依题意得实数a应满足解得0<a≤2. 四、解答题 11．已知f(x)＝，试判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明． 解：函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．证明如下： 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝－ ＝＝， ∵1≤x1<x2， ∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数． 12．已知函数f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调递增区间及最大值和最小值． 解：(1)函数f(x)的图象如下图． (2)函数f(x)在[－1，0]和[2，5]上为增函数，在(0，2)上为减函数，所以函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]和[2，5]． 由图象知f(x)max＝f(0)＝3，f(x)min＝f(2)＝－1. 13．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　) A. B. C. D．[3，＋∞) 答案：D 解析：由2x2－7x＋3≥0，得x≤或x≥3，即函数f(x)的定义域为∪[3，＋∞)，而y＝2x2－7x＋3在上单调递减，在上单调递增，y＝在[0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．故选D. 14．已知函数f(x)＝若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，0) B．(－1，0] C．[－1，0) D．[－1，0] 答案：D 解析：函数y＝－在[a，＋∞)上单调递减，其函数值的集合为(－∞，－]．当a>0时，y＝x2的取值集合为[0，＋∞)，故函数f(x)的值域为(－∞，－]∪[0，＋∞)≠R，不符合题意；当a≤0时，函数y＝x2在(－∞，a)上单调递减，其函数值的集合为(a2，＋∞)，因为函数f(x)的值域为R，所以应有－≥a2，解得－1≤a≤0，所以实数a的取值范围为[－1，0]．故选D. 15．设函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性并用定义给予证明； (2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增． 证明如下： 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝， 因为x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0， 所以<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 同理，任取x1，x2∈(－∞，－1)，且x1<x2， 有x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0. 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)． 所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增． (2)设0<x1<x2，则x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0. 若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)>0. 而f(x1)－f(x2)＝， 所以当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)>0. 所以当a<－1时，f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， 即实数a的取值范围是(－∞，－1)． 16．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1，f(4)＝5. (1)求f(2)的值； (2)求证：f(x)是R上的增函数； (3)解不等式f(3m2)＋f(－m－2)－1<3. 解：(1)因为f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1， 所以f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5， 所以f(2)＝3. (2)证明：任取x1<x2， 则x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1. 因为f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)， 所以f(x)是R上的增函数． (3)因为f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，f(2)＝3， 所以f(3m2)＋f(－m－2)－1<3可以转化为f(3m2－m－2)<f(2)． 由(2)，知f(x)是R上的增函数， 所以3m2－m－2<2，即3m2－m－4<0， 解得－1<m<， 所以原不等式的解集为. 18 学科网（北京）股份有限公司 $