1.1.1 第2课时 集合的表示方法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦集合的表示方法，涵盖列举法、描述法及区间表示，通过定义解析、使用说明与注意事项搭建学习支架，衔接集合概念的前期知识，引导学生掌握不同方法的适用场景与规范表达。 资料亮点在于知识点讲解系统且注重应用，例题涵盖基础表示到综合应用，跟踪训练与分层精练结合，助力学生突破方法选择难点，培养数学抽象素养和用符号语言表达集合的能力，适合自主学习与课堂高效教学。

数学 必修 第一册RJB 第2课时　集合的表示方法 (教师独具内容) 课程标准：针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 教学重点：1.集合的表示方法.2.区间的概念及其表示． 教学难点：根据具体问题，选择合适的方法表示集合． 核心素养：通过用列举法、描述法以及区间表示集合培养数学抽象素养． 知识点一　列举法 (1)定义 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法． (2)使用说明 ①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序． ②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示． ③无限集有时也可用列举法表示． [拓展]　a与{a}的区别与联系 a表示一个元素，{a}表示一个集合，a∈{a}．同样∅∈{∅}，0∈{0}． 知识点二　描述法 (1)定义 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． (2)使用说明 集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}．例如：大于3的所有自然数组成的集合可以表示为{x∈N|x>3}． 知识点三　区间及其表示 设a，b∈R，且a<b， 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 如果用“＋∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则如下表： 定义 符号 数轴表示 {x|x∈R} (－∞，＋∞) {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) [注意]　(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开． (2)区间表示数集的三个原则：①是连续的数集；②左端点必须小于右端点；③开或闭不能混淆． (3)“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能到达，不是一个数，因此以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． 1．(列举法)用列举法表示集合{x∈N＋|x－3≤2}为(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5} 答案：D 2．(描述法)第四象限的点组成的集合可以表示为(　　) A．{(x，y)|xy<0} B．{(x，y)|xy≤0} C．{(x，y)|x>0且y<0} D．{(x，y)|x>0或y<0} 答案：C 3．(用区间表示集合)不等式2x－1≥3的所有解组成的集合可以用区间表示为________． 答案：[2，＋∞) 题型一　用列举法表示集合　 　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的素数集； (2)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合； (3)不等式组的整数解组成的集合； (4)式子＋(a≠0，b≠0)的所有值组成的集合． [解]　(1)不大于10的素数有2，3，5，7，故不大于10的素数集为{2，3，5，7}． (2)由解得 故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1，1)}． (3)由得3<x≤6， 又x为整数，故x的取值为4，5，6， 则不等式组的整数解组成的集合为{4，5，6}． (4)因为a≠0，b≠0，所以a与b可能同号也可能异号，则 ①当a>0，b>0时，＋＝2； ②当a<0，b<0时，＋＝－2； ③当a>0，b<0或a<0，b>0时，＋＝0. 故式子＋(a≠0，b≠0)的所有值组成的集合为{－2，0，2}． 【感悟提升】　用列举法表示集合应注意的三点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复． (3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素． 【跟踪训练】　 1．用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C. 解：(1)因为－2≤x≤2，x∈Z， 所以x＝－2，－1，0，1，2， 所以A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根，所以B＝{2，3}． (3)解方程组得 所以C＝{(3，2)}． 题型二　用描述法表示集合　 　用描述法表示下列集合： (1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被5除余2的整数的集合； (3)使y＝有意义的实数x的集合． [解]　(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}． (2)因为被5除余2的整数可表示为5n＋2，n∈Z，所以所有被5除余2的整数的集合为{x|x＝5n＋2，n∈Z}． (3)要使y＝有意义，则x2＋x－6≠0.由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.所以使y＝有意义的实数x的集合为{x∈R|x≠2且x≠－3}． 【感悟提升】　用描述法表示集合的注意点 (1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． (2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． (3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 【跟踪训练】　 2．试用描述法表示下列集合： (1)方程x2－x－2＝0的所有解组成的集合； (2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合； (3)大于4的所有偶数组成的集合． 解：(1)方程x2－x－2＝0的解可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0， 因此，方程的所有解组成的集合用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}． (2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z，且－1<x<7， 因此，该集合用描述法表示为{x∈Z|－1<x<7}． (3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}． 题型三　用区间表示集合　 　将下列集合用区间及数轴表示出来： (1) ； (2){x|x<0}； (3){x|－2<x≤3}； (4){x|－3≤x<2}； (5){x|－1<x<6}． [解]　(1)用区间表示为，用数轴表示如下： (2){x|x<0}用区间表示为(－∞，0)，用数轴表示如下： (3){x|－2<x≤3}用区间表示为(－2，3]，用数轴表示如下： (4){x|－3≤x<2}用区间表示为[－3，2)，用数轴表示如下： (5){x|－1<x<6}用区间表示为(－1，6)，用数轴表示如下： 【感悟提升】　解决区间问题应注意的四点 (1)区间的左端点必须小于右端点，我们将b－a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}． (2)注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别． (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (4)对于一个不等式的所有解组成的集合，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示． 【跟踪训练】　 3．(1)若[2a＋1，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围为________． 答案：(2，＋∞) 解析：由题意知3a－1>2a＋1，解得a>2，故实数a的取值范围为(2，＋∞)． (2)不等式2x＋3≤0的所有解组成的集合可用区间表示为________． 答案： 解析：由2x＋3≤0，得x≤－，故不等式2x＋3≤0的所有解组成的集合可用区间表示为. (3)使有意义的x的取值范围为________．(用区间表示) 答案：(－∞，5) 解析：要使有意义，则5－x>0，即x<5，用区间表示为(－∞，5)． 题型四　集合表示法的综合应用　 　(1)已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝(　　) A．{1} B．{1，2} C．{2，5} D．{1，5} [解析]　由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0，解得p＝－3，q＝4，则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3，即(x－1)·(x－5)＝0，解得x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}． [答案]　D (2)已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中至多有一个元素，求m的取值范围． [解]　①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝，符合题意； ②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意． 由①②知，m的取值范围为. [条件探究]　(1)若将本例(2)中的“至多有一个”改为“恰有一个”，如何求解？ (2)若将本例(2)中的“至多有”改为“至少有”，如何求解？ 解：(1)当m＝0时，A＝， 即集合A中只有一个元素，符合题意； 当m≠0时，Δ＝4－12m＝0，即m＝. 综上可知，m＝0或m＝. (2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 由例题解析可知，当m＝0或m＝时，A中有一个元素； 当A中有两个元素时，m≠0，且Δ＝4－12m>0， 即m<且m≠0. 所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为. 【感悟提升】　集合表示法综合问题的解题策略 (1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题． (2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用． 【跟踪训练】　 4．(1)(多选)集合A＝{x|ax2－x＋a＝0}只有一个元素，则实数a的取值可以是(　　) A．0 B．－ C．1 D. 答案：ABD 解析：当a＝0时，A＝{x|－x＝0}＝{0}，满足条件．当a≠0时，若A中只有一个元素，则Δ＝1－4a2＝0，此时a＝±.若a＝，则A＝＝{1}，满足条件；若a＝－，则A＝＝{－1}，满足条件．故选ABD. (2)设∈，则集合中所有元素分别为________． 答案：，9 解析：因为∈，所以－a－＝0，解得a＝－.当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝>0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，所以＝，故集合中所有元素分别为，9. 1．已知集合A＝{x∈Z|－1<x<}，则一定有(　　) A．－1∈A B.∈A C．0∈A D．1∉A 答案：C 解析：因为－1<x<，且x∈Z，所以x＝0，1，所以A＝{0，1}，所以0∈A.故选C. 2．将集合用列举法表示，正确的是(　　) A．{2，3} B．{(2，3)} C．{x＝2，y＝3} D．(2，3) 答案：B 解析：解方程组得所以集合＝{(2，3)}．故选B. 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．平面直角坐标系中，y轴上的点组成的集合为{(x，y)|x＝0，y∈R} B．方程＋|y＋2|＝0的所有解组成的集合为{2，－2} C．集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}是不相同的 D．不等式2x＋1>0的所有解组成的集合可用区间表示为 答案：ACD 解析：对于A，在平面直角坐标系中，y轴上的点的横坐标为0，纵坐标可以为任意实数，且集合中的代表元素为点(x，y)，所以A正确；对于B，方程＋|y＋2|＝0的解为所以所有解组成的集合为{(2，－2)}或，所以B不正确；对于C，集合{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，集合{y|y＝x－1，x∈R}＝R，这两个集合不相同，所以C正确；对于D，不等式2x＋1>0的所有解组成的集合为，用区间可表示为，所以D正确． 4．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则－1________B，B＝________． 答案：∉　{0，1} 解析：因为x∈A，所以当x＝－1时，y＝|x|＝1，当x＝0时，y＝|x|＝0，当x＝1时，y＝|x|＝1.所以－1∉B，B＝{0，1}． 5．由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合，用描述法可表示为________，用列举法可表示为________． 答案：{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}　 {(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)} 解析：用描述法可表示为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，用列举法可表示为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 符号语言和自然语言的转化 描述法和列举法的转化 列举法转化为描述法　 集合的表示方法　 描述法和列举法的转化 集合的表示方法　 描述法的综合应用 用区间表示集合　 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 用列举法和描述法表示同一集合　 描述法中由特征性质求参数范围　 用适当的方法表示集合　　 描述法转化为列举法、利用同一集合的不同表示方法求参数值 用描述法表示集合　 描述法中由元素个数求参数范围　 描述法中讨论参数确定集合 集合表示法的综合应用　　 一、单选题 1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　) A．方程y＝2x－1 B．点(x，y) C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D．一次函数y＝2x－1的图象上的所有点组成的集合 答案：D 解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1的图象上的所有点组成的集合．故选D. 2．下列集合中不同于另外三个集合的是(　　) A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1} C．{1} D．{y|(y－1)2＝0} 答案：B 解析：因为{x|x2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，故选B. 3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，下列表示正确的是(　　) A．{x|x是小于18的正奇数} B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5} C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5} D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5} 答案：D 解析：A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C中t＝0时，x＝－3，不属于给定的集合；只有D是正确的．故选D. 4．下列集合的表示方法正确的是(　　) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1<4的所有解组成的集合为{x<5} C．整数集可表示为{Z} D．实数集R可表示为(－∞，＋∞) 答案：D 解析：A中应是xy<0；B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；C中整数集用Z表示；D正确． 5．已知集合A＝{1，2，4}，B＝，则集合B中元素的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：因为A＝{1，2，4}，所以B＝＝，所以集合B中元素的个数为5. 二、多选题 6．下列说法中正确的是(　　) A．∅与{0}表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2} D．集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 答案：BC 解析：A中“∅”表示不含任何元素的集合，而“{0}”表示的集合中含元素0，故A错误；根据集合中元素的无序性可知B正确；根据集合的表示方法可知C正确；D不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举． 7．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A．x1x2∈A B．x2x3∈B C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A 答案：ABC 解析：∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1x2为奇数，x2x3为偶数，x1＋x2为偶数，x1＋x2＋x3为偶数，故A，B，C正确，D错误．故选ABC. 三、填空题 8．不等式3x－≤x的所有解组成的集合可用区间表示为________． 答案： 解析：由3x－≤x，得x≤，故不等式的所有解组成的集合为，可用区间表示为. 9．两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________． 答案：{3，4，5，6，7}　{x∈N|2<x<8} 解析：设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得x>5－3，即x>2；x<5＋3，即x<8，所以x的取值范围为2<x<8.又第三条边长是整数，故第三条边长可取的整数的集合用列举法表示为{3，4，5，6，7}，用描述法表示为{x∈N|2<x<8}． 10．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0，a∈R}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是________． 答案： 解析：当a＝0时，A＝；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故a的取值范围是. 四、解答题 11．用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的所有解组成的集合； (2)由所有小于13的既是偶数又是自然数的数组成的集合； (3)方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合； (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 解：(1)解方程组得故所有解组成的集合可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是偶数又是自然数的数有7个，分别为0，2，4，6，8，10，12.可用列举法表示为{0，2，4，6，8，10，12}． (3)方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－4x＋4＝0}． (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}． 12．(1)设集合B＝. ①试判断元素1，2与集合B的关系； ②用列举法表示集合B； (2)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值． 解：(1)①当x＝1时，＝2∈N. 当x＝2时，＝∉N，∴1∈B，2∉B. ②∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2，3，6， ∴x只能取0，1，4，∴B＝{0，1，4}． (2)由A＝{2，3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系，得因此a＝5，b＝6. 13.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是(　　) A．{－2≤x≤0且－2≤y≤0} B．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0} C．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0} D．{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0} 答案：B 解析：由题图中阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，所以{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分的点的坐标的集合． 14．若集合恰有8个整数元素，则a的取值范围为________(用区间表示)． 答案： 解析：由题意可得7<－≤9，解得6<a≤，则2<≤，9<≤.所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以10<≤11，解得<a≤.故a的取值范围为. 15．已知关于x的方程mx＋4＝3x－n(m，n∈R)． (1)求方程的所有解组成的集合A； (2)若n＝4，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B. 解：(1)由题意，可得(3－m)x＝4＋n， ①当m≠3时，A＝； ②当m＝3，n＝－4时，A＝R； ③当m＝3，n≠－4时，A＝∅. (2)由题意及(1)中结论知，m≠3，且x＝∈N＋， 所以3－m＝1或2或4或8，所以B＝{2，1，－1，－5}． 16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？ (2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论． 解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)， 令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b. 故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． (2)不一定． 证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z， 则a＋b＝3(k＋l)＋3. 当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M， 此时存在m∈M，使a＋b＝m成立； 当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M， 此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立． 故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m. 13 学科网（北京）股份有限公司 $