第7章 1.3 随机事件-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

该高中数学导学案围绕“随机事件”展开，引导学生理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念及与样本点的关系。通过生活实例（如抽奖、产品抽样）导入，联系样本空间知识，结合定义辨析、例题解析搭建学习支架，为后续概率学习奠定基础。 资料特色在于结合卡片抽取、志愿者选拔等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界；通过样本点表示事件与含义分析，培养数学思维（逻辑推理）；用集合语言规范表达事件，发展数学语言。习题分层设计（判断、填空、综合题型），跟踪训练与课后精练结合，助力学生自主学习，教师便于教学评估。

数学 必修 第一册(北师) 1.3　 随机事件 (教师独具内容) 课程标准：1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.理解随机事件与样本点的关系． 教学重点：理解随机事件与样本空间、样本点的关系． 教学难点：1.区分必然事件、不可能事件和随机事件.2.根据样本点描述随机事件的含义． 知识点　事件相关概念 1．随机事件 (1)一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示． (2)在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生． 2．必然事件：样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件． 3．不可能事件：空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)试验的某些样本点组成的集合是随机事件．(　　) (2)任一事件A是相应样本空间Ω的一个子集．(　　) (3)掷一颗均匀的骰子，“出现的点数不超过7”是必然事件．(　　) (4)射击运动员向一靶子射击5次，“脱靶5次”为不可能事件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)12个同类产品中含有3个次品，现在任意抽取4个，必然事件是(　　) A．4个都是正品 B．至少有一个次品 C．至少有一件正品 D．至少有2个正品 (2)从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3人参加数学竞赛．事件“甲被选中”所包含的样本点分别是________． (3)把羽毛球拍、篮球、足球、排球随机分给甲、乙、丙、丁4位同学，每人一件，则事件“甲同学分得篮球”所包含的样本点有________个． 答案：(1)C　(2)甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁　(3)6 题型一　用样本点表示事件 　一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.设事件A表示随机事件“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”．事件B表示随机事件“抽取的卡片上的数字满足a＋b＋c＝6”．事件C表示“抽取的卡片上的数字满足abc＝30”．事件D表示“抽取的卡片上的数字满足a＋b＋c<10”．试用样本点表示事件A，B，C，D. [解]　试验的所有结果有27种，样本空间可记为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}． 满足a＋b＝c的样本点有3个，(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，因此事件A＝{(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)}． 满足a＋b＋c＝6的样本点有7个，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，2，2)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，因此事件B＝{(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，2，2)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}． abc的最大值为3×3×3＝27.因此没有满足abc＝30的样本点．故事件C为不可能事件． a＋b＋c的最大值为3＋3＋3＝9. 因此a＋b＋c<10一定成立．故事件D包含所有样本点．D＝Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}． 【感悟提升】　 (1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件． (2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率． 【跟踪训练】 1．现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)写出试验的样本空间； (2)事件“A1被选中”包含哪些样本点？ (3)事件“B1和C1至多只有1个被选中”包含哪些样本点？ 解：(1)试验的所有结果有18种，样本空间为 Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}． (2)事件“A1被选中”包含的样本点有6个，为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)． (3)事件“B1和C1至多只有1个被选中”包含的样本点有15个，为(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)． 题型二　根据样本点确定随机事件的含义 　某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． 指出下列事件的含义： (1)事件A＝{(A，X)，(B，Y)，(C，Z)}； (2)事件B＝{(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}； (3)事件C＝{(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)}； (4)事件D＝{(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(A，B)，(A，C)}． [解]　从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛，样本空间为 Ω＝. (1)观察事件A中的样本点可知：每个样本点中的两人都来自同一年级，因此若事件A中所含样本点出现一个，则“两人来自同一年级”发生，同时，由样本空间可知，若“两人来自同一年级”发生，则事件A中的样本点必然出现其中一个．因此事件A的含义为从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛，这两人来自同一年级． (2)通过分析可知事件B的含义为从这6名同学中随机选出2人，这2人都是女生． (3)事件C的含义为从这6名同学中随机选出2人，这2人为一男一女． (4)事件D的含义为从这6名同学中随机选出2人，这2人中有同学A. 【感悟提升】　根据样本点确定事件的含义，样本点必须满足两点： (1)事件中的样本点有共同的特点． (2)样本空间中具有此特点的样本点都在此事件中． 【跟踪训练】 2．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.从以上五张卡片中任取两张，观察抽到的两张，指出下列事件的含义： (1)事件A＝{(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)}； (2)事件B＝{(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)}； (3)事件C＝{(红1，红3)，(红2，红3)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)}． 解：从五张卡片中任取2张，则样本空间为 Ω＝. (1)观察事件A中的样本点可知，每个样本点中两张卡片的颜色都不同，因此事件A中所含样本点出现一个，则“两张卡片颜色不同”发生，同时，由样本空间可知，若“两张卡片颜色不同”发生，则事件A中的样本点必然出现其中一个．因此事件A的含义为从这5张卡片中任取2张，这两张卡片颜色不同． (2)事件B的含义为从这5张卡片中任取2张，这2张颜色不同，且数字之和为4或5. (3)事件C的含义为这5张卡片中任取2张，2张卡片数字之和为4或5. 1．下列事件是随机事件的是(　　) ①某人购买福利彩票一注，中奖500万元；②三角形的两边之和大于第三边；③没有空气和水，人类可以生存下去；④从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；⑤科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． A．①③ B．①④ C．②⑤ D．③⑤ 答案：B 解析：对于①，购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以①是随机事件；对于②，所有三角形的两边之和都大于第三边，所以②是必然事件；对于③，空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以③是不可能事件；对于④，任意抽取，可能得到1，2，3，4的四张标签中任一张，所以④是随机事件；对于⑤，由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以⑤是不可能事件．故选B. 2．4张卡片上分别写着数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则事件“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”包含的样本点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案：C 解析：事件“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”包含(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个样本点．故选C. 3．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则事件A＝{31，32，34，41，42，43}的含义是__________________________________________． 答案：从1，2，3，4四个数字中任取两个不同数字构成的大于30的两位数 解析：从事件A所含样本点可知，每个数都大于30，其中任何一个样本点出现，则事件A会发生．同时事件A发生，则必有其中一个样本点出现． 4．在一次射击比赛中，有编号为1，2，3，4，5的5名选手．若从中任选3人，则事件B＝{(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)}的含义是____________________________________． 答案：从中选3人，3人的编号相连 解析：由事件B所含的样本点可知，3人的编号相连．其中有一个出现，则“3人的编号相连”发生，同时“3人编号相连”发生，则事件B中的样本点必出现其中一个，故事件B的含义是从中选3人，3人的编号相连． 5．某旅游爱好者从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任取2个： ①写出试验E1的样本空间； ②用样本点表示事件A“2个国家来自相同的洲”． (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个： ①写出试验E2的样本空间； ②指出事件B＝{(A1，B2)，(A1，B3)}的含义． 解：(1)从A1，A2，A3，B1，B2，B3 6个国家中任取2个国家，样本空间为 ①Ω1＝. ②A＝. (2)从亚洲和欧洲国家中各选1个，样本空间为 ①Ω2＝. ②事件B的含义是选出的两个国家来自不同的洲且包含A1不包含B1. 课后课时精练 1．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品； ④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10. 其中________是必然事件，________是不可能事件，________是随机事件．(填序号) 答案：③④　②　① 解析：200件产品中，8件二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10，从而有可能全部是一级品，也有可能不全是一级品． 2．袋中有红球、白球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次．指出下列随机事件的含义． (1)事件A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}； (2)事件B＝{(红，红，红)，(白，白，白)}； (3)事件C＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)}． 解：袋中有红球、白球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，样本空间为 Ω＝. (1)事件A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}表示三次恰有两次颜色相同． (2)事件B＝{(红，红，红)，(白，白，白)}表示三次颜色全相同． (3)事件C＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)}表示三次摸到的红球多于白球． 3．古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中任取2种，问事件“取到的两种物质不相克”的样本点有几个． 解：试验的样本空间所含的样本点为(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10个． “金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”之外都不相克，故事件“取到的两种物质不相克”包含的样本点有5个． 4．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，写出事件D“这2件商品恰好来自相同地区”所包含的样本点． 解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝， 所以样本包含三个地区的个体数量分别是50×＝1，150×＝3，100×＝2. 所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2. (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2， 则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个． 事件D“这2件商品恰好来自相同地区”包含的样本点有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个． 5.某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数(若指针指向分界线，则重新转动转盘)．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此活动． (1)出现哪些样本点事件A“小亮获得玩具一个”发生； (2)比较事件B“小亮获得水杯”与事件C“小亮获得饮料”哪个包含的样本点多． 解：用数对(x，y)表示儿童两次转动转盘记录的数，其活动记录与奖励情况如下： ( x ) ( xy ) ( y ) 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 4 4 8 12 16 显然，样本点总数为16. (1)xy≤3的情况有5种，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．所以这5个样本点只要有一个出现，事件A就会发生． (2)由表可知，xy≥8的情况有6种，其余情况有16－5－6＝5种．所以事件B比事件C所包含的样本点多． 6．某幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子布置儿童节联欢会的会场，每排三个小凳子，并且任何两排颜色排序不能完全相同． (1)假设所需的小凳子足够多，那么，根据要求一共能布置多少排小凳子？ (2)每排的小凳子颜色都相同的有几排？ 解：(1)所有可能的样本点共有27个，如表所示： 所以一共能布置27排小凳子． (2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A，由上表可知，事件A的样本点有3个，故每排的小凳子颜色都相同的有3排． 7．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}．试验：分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b)． (1)列举出所有的数对(a，b)，并指出事件“函数y＝f(x)有零点”的样本点的个数； (2)写出事件“函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”的样本点． 解：(1)(a，b)共有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，15种情况． 函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况满足条件． (2)因为a>0，函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝，在区间[1，＋∞)上是增函数，所以有≤1，满足条件的(a，b)为(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13种． 9 学科网（北京）股份有限公司 $