第2章 函数 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 第二章　 单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．[1，2) D．[1，2)∪(2，＋∞) 答案：D 解析：根据题意有解得x≥1且x≠2. 2．函数f(x)＝x2－4x＋1，x∈[2，5]的值域是(　　) A．[1，6] B．[－3，1] C．[－3，6] D．[－3，＋∞) 答案：C 解析：因为f(x)＝(x－2)2－3，函数在[2，＋∞)上单调递增，又f(2)＝－3，f(5)＝6，所以f(x)在x∈[2，5]上的值域是[－3，6]． 3．已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　) A．2 B．－ C. D. 答案：C 解析：由f(x)＝3得或或解得x＝.故选C. 4．已知幂函数y＝(a2－2a－2)xa在实数集R上单调，那么实数a等于(　　) A．－1或3 B．1 C．－3 D．3 答案：D 解析：由幂函数的定义可知a2－2a－2＝1，解得a＝3或a＝－1.当a＝3时，y＝x3，满足在实数集R上单调；当a＝－1时，y＝x－1，不满足在实数集R上单调．∴a＝3.故选D. 5．若f(x)满足f(－x)＝f(x)，在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(－1)<f<f(2) C．f(2)<f(－1)<f D．f(2)<f<f(－1) 答案：D 解析：由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，f＝f，f(－1)＝f(1)．∵1<<2，∴f(1)>f>f(2)，即f(2)<f<f(－1)． 6.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A­B­C­M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案：A 解析：依题意，当0<x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；当1<x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；当2<x≤2.5时，S△APM＝×1×＝－x＋.∴y＝f(x)＝再结合图象知应选A. 7．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝0，则<0的解集为(　　) A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(0，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(2，＋∞) 答案：A 解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝0，所以当x>2或－2<x<0时，f(x)>0；当x<－2或0<x<2时，f(x)<0.由<0，即<0，知－2<x<0或0<x<2. 8．已知函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且对y＝f(x)，x∈R，当x1，x2∈(－∞，0]时，<0都成立．若f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－，) B．(－∞，1) C．(－∞，) D．(－，＋∞) 答案：A 解析：∵函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，∴y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)是偶函数．∵x1，x2∈(－∞，0]时，<0都成立，∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，等价于|2ax|<2x2＋1对任意的x∈R恒成立．当x＝0时，不等式恒成立；当x≠0时，有|a|<＝|x|＋恒成立，∵|x|＋≥2＝，当且仅当x＝±时等号成立，∴|a|<，即－<a<，故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)＝－x2＋x－6的单调增区间为 B．函数f(x)＝－x2在[0，＋∞)上单调递增 C．函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减 D．函数f(x)＝x5是增函数 答案：AD 解析：函数f(x)在上单调递增，A正确；函数f(x)＝－x2在[0，＋∞)上单调递减，B错误；函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，C错误；函数f(x)＝x5是增函数，D正确．故选AD. 10．函数f(x)＝|x|－(a∈R)的大致图象可能是(　　) 答案：ABD 解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，此时对应的图象为A；当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除C；当a>0时，f(x)＝|x|－＝即当x>0时，函数f(x)为增函数，当x<0时，为对勾函数，则此时对应的图象为D；当a<0，f(x)＝即当x>0时，函数f(x)＝x－为对勾函数，当x<0时，f(x)＝－x－为减函数，则此时对应的图象为B.故选ABD. 11．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f＝0，当x>时，f(x)>0.则下列结论正确的是(　　) A．f(－1)＝－ B．f(x)为R上的减函数 C．f(x)＋为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数 答案：AC 解析：令x＝y＝0，代入可得f(0)＝2f(0)＋，因此f(0)＝－，令x＝，y＝－，代入可得f(0)＝f＋f＋，即－＝0＋f＋，因此f＝－1，再令x＝y＝－，代入可得f(－1)＝f＋f＋＝－，故A正确；令y＝－1，代入可得f(x－1)＝f(x)＋f(－1)＋，即f(x－1)－f(x)＝f(－1)＋＝－1<0，因此f(x－1)<f(x)，故B错误；令y＝－x，代入可得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋，即f(x)＋＋f(－x)＋＝0，因此f(x)＋为奇函数，故C正确；因为f(x)＋1＝f(x)＋＋，由C项分析可知g(x)＝f(x)＋为奇函数，g(x)＋－g(－x)－＝2g(x)不恒为0，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．函数f(x)＝的单调递减区间是________． 答案：[－1，1] 解析：由题意，得－x2－2x＋3≥0，解得－3≤x≤1；设t＝－x2－2x＋3，y＝f(x)，则y＝为增函数；所以t＝－x2－2x＋3在[－3，1]上的单调递减区间，便是f(x)在[－3，1]上的单调递减区间；t＝－x2－2x＋3的对称轴为x＝－1；所以f(x)的单调递减区间为[－1，1]． 13．已知函数f(x)为定义在[2－a，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f>f(－m2＋2m－2)，则m的取值范围是________． 答案： 解析：由偶函数的定义可得2－a＋3＝0，则a＝5，因为m2＋1>0，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，且f(－m2－1)＝f(m2＋1)，f(－m2＋2m－2)＝f(m2－2m＋2)，所以m2＋1<m2－2m＋2≤3，解得1－≤m<. 14．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最大值为________． 答案：7－2 解析：由F(x)＝知，当3－2|x|≥x2－2x，即当2－≤x≤时，F(x)＝x2－2x；当x2－2x>3－2|x|，即当x<2－或x>时，F(x)＝3－2|x|，因此F(x)＝＝作出其图象如图所示，观察图象可以发现，F(x)max＝F(2－)＝7－2. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ (1)在图中画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间． 解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示． (2)由函数f(x)的图象得出，函数f(x)的最大值为2，函数f(x)的单调递减区间为[2，4]． 16．(本小题满分15分)已知f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. (1)求实数a，b的值； (2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－，解得b＝0. 又f(2)＝，∴＝，∴a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝＋， 则函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增． 证明：设x1<x2≤－1， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2). ∵x1<x2≤－1， ∴x1－x2<0，x1x2>1，1－>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m. (1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值； (2)若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围； (3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由． 解：(1)f(x)＝－－m＋，则最大值－m＋＝0，即m2－4m＝0， 解得m＝0或m＝4. (2)函数f(x)图象的对称轴是直线x＝，要使f(x)在[－1，0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2. (3)①当≤2，即m≤4时，f(x)在[2，3]上单调递减． 若存在实数m，使f(x)在[2，3]上的值域是[2，3]， 则即 此时m无解． ②当≥3，即m≥6时，f(x)在[2，3]上单调递增，则即 解得m＝6. ③当2<<3，即4<m<6时，f(x)在[2，3]上先单调递增，再单调递减，所以f(x)在x＝处取最大值，则f＝－＋m·－m＝3，解得m＝－2或6，舍去． 综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]． 18．(本小题满分17分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0<x<8时， L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9. 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元； 当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，x∈R， F(x)＝ (1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围； (3)设mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)能否大于零？并说明理由． 解：(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0.① 又函数f(x)的值域为[0，＋∞)，所以a>0. 由f(x)＝a＋，知＝0， 即4a－b2＝0.② 联立①②，解得a＝1，b＝2. 所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2， 于是F(x)＝ (2)由(1)，得g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－. 因为当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数， 所以－≤－2或－≥2， 即k≤－2或k≥6. 所以实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)因为f(x)为偶函数，所以b＝0， 所以f(x)＝ax2＋1， 所以F(x)＝ 不妨设m>n，则m>0，n<0，且|m|>|n|. 又a>0，所以F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－(an2＋1)＝a(m2－n2)>0， 所以F(m)＋F(n)能大于零． 9 学科网（北京）股份有限公司 $