第1章 4.1 一元二次函数-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦一元二次函数，涵盖定义、三种形式（一般式、顶点式）的图象关系、性质（顶点、对称轴、增减区间、最值）及解析式求法。以y=ax²为基础，通过平移变换过渡到顶点式，再用配方法衔接一般式，构建知识递进的学习支架。 资料知识点分层清晰，题型示例典型，含判一判、做一做等互动环节及跟踪训练。通过配方法推导培养数学思维，图象变换分析发展几何直观，帮助学生用数学语言表达解题过程，提升抽象能力与运算能力，适配自主学习与教师教学评估。

数学 必修 第一册(北师) 4.1　 一元二次函数 (教师独具内容) 课程标准：1.理解一元二次函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.2.掌握一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质.3.能运用配方法研究一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质.4.掌握一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标、对称轴方程、增减区间和最值求法． 教学重点：1.一元二次函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.2.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质.3.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质，顶点坐标、对称轴方程及最值求法． 教学难点：1.用配方法研究一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质.2.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值的求法． 知识点一　一元二次函数的定义 1．形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作一元二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为一元二次函数的一般式． 2．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a＋＝a(x－h)2＋k，其中h＝－，k＝． 解析式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)称为一元二次函数的顶点式． 知识点二　一元二次函数的图象的变换 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． 知识点三　一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h． (2)当a>0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k． 当a<0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝k． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一元二次函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由一元二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(　　) (2)对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)来说，当x≥－时，函数值y随自变量x的增大而增大．(　　) (3)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－处取得最大值．(　　) (4)一元二次函数y1＝2x2与y2＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把一元二次函数y＝3x2的图象向________单位长度，再向________单位长度，得到一元二次函数y＝3(x＋5)2－2的图象． (2)一元二次函数y＝－2x2＋4x－3的图象的顶点坐标是________． (3)在区间________上，一元二次函数y＝－x2＋4x的函数值y随自变量x的增大而增大． 答案：(1)左平移5个　下平移2个　(2)(1，－1) (3)(－∞，2] 题型一　求一元二次函数的解析式 　已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2，0)，求这个一元二次函数的解析式． [解]　设所求一元二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，则其顶点坐标为(h，k)． ∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为y＝a(x－1)2－3. 又函数图象经过点P(2，0)， ∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x. 【感悟提升】　求一元二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求解． (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)． 当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，且a≠0)． 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，且a≠0)．当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为两根式． 【跟踪训练】 1．已知一元二次函数的图象经过点A(2，－1)，B(－1，－1)，且这个函数的最大值为8，求这个一元二次函数的解析式． 解：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得 解得 故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 题型二　一元二次函数图象的变换 　(1)将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6 C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2 [解析]　将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向左平移1个单位长度，得到函数y＝2(x＋1＋1)2－3的图象，即y＝2(x＋2)2－3的图象；将y＝2(x＋2)2－3的图象向上平移3个单位长度，得到函数y＝2(x＋2)2－3＋3的图象，即函数y＝2(x＋2)2的图象． [答案]　D (2)将一元二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，求b与c. [解]　∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2， ∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1，0)． 根据题意，把此抛物线反向平移，得到原抛物线y＝x2＋bx＋c，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就可得到抛物线y＝x2＋bx＋c，此时顶点(1，0)平移至(3，－3)处． ∴抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标是(3，－3)， 即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，对照y＝x2＋bx＋c， 得b＝－6，c＝6. 【感悟提升】　函数图象的平移变换，可简单地理解为“左＋右－，上＋下－” (1)“左右平移”实际上是对自变量进行变化，即由函数y＝ax2(a≠0)的图象得到y＝a(x＋h)2(a≠0)的图象，当h>0时，向左平移；当h<0时，向右平移，平移的单位长度都是|h|. (2)“上下平移”实际上是对函数值进行变化，即由函数y＝ax2(a≠0)的图象得到y＝ax2＋k(a≠0)的图象，当k>0时，向上平移；当k<0时，向下平移，平移的单位长度都是|k|. 【跟踪训练】 2．函数y＝－2x2＋4x＋6的图象是由函数y＝－2x2的图象经过怎样的平移变化得到的(　　) A．向左平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 B．向右平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 答案：B 解析：函数y＝－2x2＋4x＋6可化为y＝－2(x－1)2＋8，故将y＝－2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度即可得到y＝－2(x－1)2＋8的图象． 题型三　一元二次函数性质的应用 　已知函数y＝3x2＋mx＋4在区间[1，＋∞)上y随x的增大而增大，则(　　) A．当x＝2时，y＝4 B．当x＝1时，y＝1 C．当x＝2时，y≥4 D．当x＝1时，y≤1 [解析]　由已知得－≤1，即m≥－6，∴当x＝1时，y＝7＋m≥1；当x＝2时，y＝12＋2m＋4≥4.故选C. [答案]　C 【感悟提升】　对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)当a>0时，若一元二次函数在区间(m，n)上y随x的增大而增大，则一元二次函数图象的对称轴满足－≤m；若一元二次函数在区间(m，n)上y随x的增大而减小，则一元二次函数图象的对称轴满足－≥n. (2)当a<0时，若一元二次函数在区间(m，n)上y随x的增大而增大，则一元二次函数图象的对称轴满足－≥n；若一元二次函数在区间(m，n)上y随x的增大而减小，则一元二次函数图象的对称轴满足－≤m. 【跟踪训练】 3．已知函数y＝x2－2ax＋3在(－∞，0)上y随x的增大而减小，在(3，＋∞)上y随x的增大而增大，求实数a的取值范围． 解：y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，其图象开口向上，对称轴为直线x＝a.由已知可得0≤a≤3. 题型四　一元二次函数的最值 　已知一元二次函数y＝x2－2x＋3，当x∈[－2，0]时，求y的最值． [解]　∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为直线x＝1，开口向上． 当x∈[－2，0]时，y随x的增大而减小， 故当x＝－2时，y取最大值11；当x＝0时，y取最小值3. [条件探究]　若将本例中的条件改为“x∈[－2，3]”，求y的最值． 解：当x∈[－2，1]时，y随x的增大而减小， 当x∈(1，3]时，y随x的增大而增大． 故当x＝1时，y取最小值2. 又|－2－1|>|3－1|， ∴当x＝－2时，y取得最大值11. 【感悟提升】　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值的类型 (1)若对称轴x＝－在区间[m，n]内，则最小值为，最大值为区间端点m，n中与x＝－距离较远的一个对应的函数值． (2)若－<m，则在[m，n]上是y随x的增大而增大，最大值为x＝n时对应的函数值，最小值为x＝m时对应的函数值． (3)若－>n，则在[m，n]上是y随x的增大而减小，最大值为x＝m时对应的函数值，最小值为x＝n时对应的函数值． 【跟踪训练】 4．已知一元二次函数y＝2x2＋5x－12，当x∈[－1，3]时，求函数的最值． 解：因为y＝2x2＋5x－12＝2－， 又因为－<－1， 所以y＝2x2＋5x－12在[－1，3]上y随x的增大而增大． 故当x＝－1时，y取最小值－15，当x＝3时，y取最大值21. 所以当－1≤x≤3时，函数y＝2x2＋5x－12的最小值为－15，最大值为21. 1．已知抛物线与x轴交于点(－1，0)，(1，0)，并且与y轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为(　　) A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1 答案：A 解析：由题意，得抛物线的对称轴是y轴且开口向下，顶点坐标为(0，1)，故该抛物线为y＝－x2＋1. 2．(多选)在平面直角坐标系中，对于一元二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中正确的是(　　) A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2 C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 答案：ABD 解析：一元二次函数y＝(x－2)2＋1，a＝1>0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为(2，1)，当x＝2时，y有最小值1，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，故A，B说法正确，C说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度得到y＝(x－2)2＋1的图象，故D说法正确． 3．一元二次函数y＝3＋5x－2x2的图象的顶点坐标是________． 答案： 解析：y＝3＋5x－2x2＝－2＋＋3＝－2＋，∴顶点坐标为. 4．函数y＝－x2＋4x在区间________上y随x的增大而增大． 答案：(－∞，2] 解析：∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴函数y＝－x2＋4x在区间(－∞，2]上y随x的增大而增大． 5．已知函数y＝x2－2x＋2，当x∈[－5，5]时，求函数的最大值和最小值． 解：∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]， ∴当x＝1时，y取得最小值1. 当x＝－5时，y取得最大值37. 课后课时精练 一、选择题 1．已知二次函数的图象过点(－3，2)，顶点坐标为(－2，3)，则二次函数的解析式为(　　) A．y＝x2－4x－1 B．y＝x2＋4x－1 C．y＝－x2－4x－1 D．y＝－x2－4x＋1 答案：C 解析：设y＝a(x＋2)2＋3，将(－3，2)代入二次函数的解析式，得2＝a(－3＋2)2＋3.解得a＝－1.故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1. 2．函数y＝4－x(x－2)的图象的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　) A．(2，4)，x＝2 B．(1，5)，x＝1 C．(5，1)，x＝1 D．(1，5)，x＝5 答案：B 解析：∵y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数图象的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x＝1. 3．函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，则(　　) A．b≥0 B．b≤0 C．b>0 D．b<0 答案：A 解析：函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－，∵函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，∴－≤0，∴b≥0. 4．函数y＝x2＋2x＋1，x∈[－2，2]，则(　　) A．函数有最小值0，最大值9 B．函数有最小值2，最大值5 C．函数有最小值2，最大值9 D．函数有最小值1，最大值5 答案：A 解析：因为函数y＝x2＋2x＋1的图象的对称轴为直线x＝－1，且开口向上，所以在区间[－2，2]内，当x＝－1时，y取得最小值0，当x＝2时，y取得最大值9.故选A. 5．(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.则下列结论正确的是(　　) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 答案：AD 解析：因为函数图象与x轴的交点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，所以函数图象与x轴的另一个交点为(1，0)，所以函数图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，所以2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；由对称轴为直线x＝－1，知b＝2a，由函数图象开口向下，知a<0，因为5a－b＝5a－2a＝3a<0，即5a<b，D正确． 二、填空题 6．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________． 答案：1 解析：因为函数y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝x2＋1的图象，所以m＝1. 7．设函数y＝4x2－(a＋1)x＋5，在[－1，＋∞)上y随x的增大而增大，在(－∞，－1]上y随x的增大而减小，则当x＝－1时，y＝________． 答案：1 解析：由题意可得＝－1.解得a＝－9.∴y＝4x2＋8x＋5.∴当x＝－1时，y＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1. 8．已知二次函数y＝x2－6x＋8，x∈[2，a]且当x＝a时，y取得最小值，则a的取值范围是________． 答案：(2，3] 解析：∵函数y＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，∴在区间[2，3]上，y随x的增大而减小．又x∈[2，a]且当x＝a时，y取得最小值，∴2<a≤3. 三、解答题 9．已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)． (1)求抛物线的解析式； (2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图象． 解：(1)∵点A(1，m)在直线y＝－3x上， ∴m＝－3×1＝－3. 把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8， 得a＋6－8＝－3，解得a＝－1， ∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8. (2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1， ∴该抛物线的顶点坐标为(3，1)． 因此，把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度就可以得到y＝－x2的图象． 10．已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a， (1)若a＝2，求函数在区间[0，3]上的最小值； (2)若函数在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值． 解：(1)若a＝2，则y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.所以函数图象开口向下，对称轴为直线x＝2. 所以在区间[0，2]上，y随x的增大而增大，在区间[2，3]上，y随x的增大而减小， 又当x＝0时，y＝－1，当x＝3时，y＝2，所以ymin＝－1. (2)函数图象的对称轴为直线x＝a， 当a≤0时，在区间[0，1]上，y随x的增大而减小，则ymax＝1－a＝3，即a＝－2； 当0<a<1时，在区间[0，a]上，y随x的增大而增大，在区间[a，1]上，y随x的增大而减小，则ymax＝a2－a＋1＝3，解得a＝2或－1，不符合； 当a≥1时，在区间[0，1]上，y随x的增大而增大， 则ymax＝－1＋2a＋1－a＝3，解得a＝3. 综上所述，a＝－2或a＝3. 11．已知a，b，c为△ABC的三边长，抛物线y＝ax2－2bx＋c的顶点为(1，0)，试判断△ABC的形状． 解：由题意，得 ∴即a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 12．已知函数y＝x2－2ax＋a，x∈[－1，1]，是否存在实数a，使得其最小值为－2，最大值为2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 解：存在．理由如下：y＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2. 当a<－1时，在x∈[－1，1]上y随x的增大而增大， ∴ 解得a＝－1(舍去)； 当－1≤a≤0时， 解得a＝－1；当0<a≤1时，a不存在； 当a>1时，在x∈[－1，1]上y随x的增大而减小， ∴a不存在． 综上可知，存在实数a，且a＝－1满足题意． 10 学科网（北京）股份有限公司 $