第五章 指数函数与对数函数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 基础模块 下册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套黑龙江专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章指数函数与对数函数的单元测试卷，主要考查了实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数的应用等常见考点。 第五章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．将化成对数式可表示为（     ） A． B． C． D． 2．函数在区间上递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数其中，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列哪个最有可能是和在同一个直角坐标系中的图像（    ） A． B． C． D． 5．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 6．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 7．则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 9．的平方根是（    ） A．8 B． C． D．不存在 10．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 11．，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 13．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知函数的零点在区间内，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．用分数指数幂表示下列各式(式中)， （1）＝ ； （2）＝ . 17．已知函数是奇函数，当时，，则 ． 18．函数的定义域为 ，值域为 ． 19．计算： ． 20．将由小到大排列的顺序是： ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某家庭每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为. (1)当气温为时，求天然气使用量（保留两位小数）；（参考数据：） (2)若天然气使用量为立方米，求此时的气温.(参考数据：) 22．已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)设，判断函数g(x)的单调性并用定义证明． 23． 某生态文明小镇年底人口为万人，人均住房面积为，计划年底人均住房达到，如果该镇将每年人口平均增长率控制在，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万．（精确到1万） 24．若函数的图象恒经过定点． (1)求的值； (2)当在上是增函数，求a的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套黑龙江专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章指数函数与对数函数的单元测试卷，主要考查了实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数的应用等常见考点。 第五章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．将化成对数式可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对数的互化即可求解. 【详解】由题意得，化为对数式可表示为：. 故选：A. 2．函数在区间上递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数型复合函数的单调性，结合二次函数的单调性与值域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在上递增，又在递增， 所以在上递增，且在上恒成立， 因为开口向下，对称轴为， 所以，解得. 故选：A. 3．已知函数其中，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性画出图像即可解得. 【详解】对数函数在上单调递减， 且时，则时，. 可画出图像如下图所示：    即时，单调递减， 时，单调递增， 则，又 故， 故选：D 4．下列哪个最有可能是和在同一个直角坐标系中的图像（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求解. 【详解】根据指、对数函数的性质可知， 若时，则指数函数与对数函数的图象呈上升趋势， 若时，则指数函数与对数函数的图象呈下降趋势， 故两个函数的变化趋势相同. 对A、B：函数图象一个呈上升趋势，一个呈下降趋势，故A、B项错误； 对C：函数图象的变化趋势相同，且指数函数的定义域为R，值域为， 对数函数的定义域为，值域为R，故C项正确； 对D：对数函数的定义域为，值域为R，故D项错误. 故选：C. 5．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【详解】依据对数函数的定义即可判断. 根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 6．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义及函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】选项，定义域为，为偶函数， 因为函数的对称轴为轴，图像为开口向上的抛物线，所以在单调递减，则函数在单调递增，符合题意； 选项，定义域为，为偶函数， 对称轴为，图像为开口向上的抛物线，所以在上单调递减，不符合题意； 选项，定义域为，为偶函数， 对称轴为，图像为开口向上的抛物线，所以在上单调递减，不符合题意； 选项，定义域为，，不是偶函数，不符合题意， 故选：. 7．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质，即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：B. 8．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和周期性求得正确答案. 【详解】由于，所以是周期为的周期函数， 依题意，是定义在上的奇函数，， 所以. 故选：A 9．的平方根是（    ） A．8 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据平方根的概念计算即可. 【详解】的平方根是， 故选：B. 10．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解. 【详解】由题意，根据函数的图象，可得， 根据指数函数的图象与性质， 结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合. 故选：C. 11．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式的转化法则即可求值. 【详解】将转化为指数式为. 故选：B. 12．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的运算求出，再利用指数函数的单调性比较大小得到答案. 【详解】因为指数函数在上为增函数， 所以， ， 因为，所以， 所以. 故选：D. 13．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则计算，判断即可． 【详解】A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，本选项计算正确，符合题意. 故选：D． 14．已知函数的零点在区间内，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据零点的判定定理结合对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 又因为，， 所以. 根据函数零点的判定定理可得， 函数在区间内有零点， 结合题意可得，． 故选：B． 15．已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的定义域和单调性进行排除即可. 【详解】对函数得，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项； 对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误； 对A：当时，与的图象都吻合，故A正确. 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．用分数指数幂表示下列各式(式中)， （1）＝ ； （2）＝ . 【答案】 【分析】（1）（2）将根式化为有理数指数幂的形式即可. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：， 17．已知函数是奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数知：，从而求出的值；然后将代入即可求解. 【详解】因为是奇函数，，解得． 故答案为： 18．函数的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 且 【解析】令，即可求定义域，令，求的范围，再求的范围即可. 【详解】由题意可得，解得：， 所以函数的定义域为：， 令，则，且，即， 故函数的值域为且， 故答案为：；且 19．计算： ． 【答案】 【分析】根据指数、对数的运算法则求解. 【详解】， ， ， ， . 故答案为:. 20．将由小到大排列的顺序是： ． 【答案】 【分析】由指对数运算化简，进而判断它们的大小. 【详解】， ， ， 所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某家庭每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为. (1)当气温为时，求天然气使用量（保留两位小数）；（参考数据：） (2)若天然气使用量为立方米，求此时的气温.(参考数据：) 【答案】(1)（立方米） (2) 【分析】（1）根据题意，代入气温计算天然气使用量； （2）根据天然气使用量列方程，通过对数运算求解气温. 【详解】（1）由题意，每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为， 当时，（立方米）. （2）已知，即， 即，， 两边取对数， 解得， 故此时的气温. 22．已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)设，判断函数g(x)的单调性并用定义证明． 【答案】(1) (2)函数在定义域上是增函数；证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出函数的解析式； （2）先求出函数在定义域，再根据定义法证明函数单调递增即可. 【详解】（1）解：由得，，解得， 所以 （2）解：， 在定义域上为增函数，证明如下： 设任意，且， ， 因为，且， 所以由知，即， 所以，因此， 所以函数在定义域上是增函数． 23．某生态文明小镇年底人口为万人，人均住房面积为，计划年底人均住房达到，如果该镇将每年人口平均增长率控制在，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万．（精确到1万） 【答案】万． 【分析】设这个城市平均每年要新增住房x万，根据题意列方程求解即可. 【详解】设这个城市平均每年要新增住房x万， 据题意可得， 所以． 所以这个城市平均每年至少需新增住房万. 24．若函数的图象恒经过定点． (1)求的值； (2)当在上是增函数，求a的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将定点代入函数解析式中即可求解. （2）根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为的图象过 所以， 得到，所以. （2）由（1）知， 因为在上是增函数， 所以，得到. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $