第四章 指数函数与对数函数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 基础模块 上册》（语文版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章指数函数与对数函数的单元测试卷，主要考查了实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数的应用等常见考点。 第四章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A．4 B．±4 C．-8 D．8 3．下列各函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知且，则与的图像可能为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．某公司的资产以每年的增长率增长，最初资产为万元.经过几年后资产能达到万元（参考：,）（    ）. A．7年 B．8年 C．9年 D．10年 9．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 10．函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知曲线（且）经过定点．若，且，，则的最小值是（    ） A．5 B． C．4 D． 12．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 13．若，，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 14．函数，的最大值和最小值分别为（   ） A．3， B．3，0 C．1， D．3， 15．“”是“函数是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．计算： . 17．已知函数，则函数最小值为 ；如果关于x的方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是 ． 18．已知，则 ． 19．若函数（且）的值域为，则 ；实数的取值范围为 . 20．若函数在区间上的最大值与最小值的和为，则 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知奇函数，求值. 22．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2023年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长． (1)写出第年（2024年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从第几年开始（2024年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？ （参考数据，，，） 23．已知函数 （1）若，求的值； （2）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数a的值. 24．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求使得的的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章指数函数与对数函数的单元测试卷，主要考查了实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数的应用等常见考点。 第四章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】选项A， ，故错误； 选项B， ，故错误； 选项C，，正确； 选项D， ，故错误. 故选：C. 2．若，则（    ） A．4 B．±4 C．-8 D．8 【答案】A 【分析】根据对数和指数互化，再结合指数幂的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 3．下列各函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 对A：因为函数中，底数为，不符合指数函数的定义，故A项错误； 对B：因为函数满足如且，所以函数为指数函数，故B项正确； 对C：因为函数是幂函数，不是指数函数，故C项错误； 对D：函数不满足形如且的条件，故D项错误. 故选：B. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由可得abc的大小，即可判断选项. 【详解】，且在其定义域内为减函数， 所以可得， 因为在其定义域内为增函数，， 所以. 故选:A． 5．已知且，则与的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和对数函数的图像和性质即可得解. 【详解】, 当时，是增函数， 是增函数，D满足题意，ABC均不满足题意； 当时，是减函数， 是减函数，均不满足题意. 故选：D. 6．已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指对互化得，再把利用换底公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， . 故选：C. 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数和指数的性质，即可求解函数的定义域. 【详解】由题， 则有，解得， 故选：B. 8．某公司的资产以每年的增长率增长，最初资产为万元.经过几年后资产能达到万元（参考：,）（    ）. A．7年 B．8年 C．9年 D．10年 【答案】C 【分析】利用指数函数以及对数函数，即可求解. 【详解】设经过年，由题意可得资产， 当时，， 两边同时除以得， 两边取对数，， 所以年. 故选：C. 9．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算和函数单调性即可解得. 【详解】由题，指数函数在上单调递增，则， 对数函数在上单调递增，则， ， 指数函数在上单调递减，则. 故. 故选：D 10．函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的值域与二次函数值域与已知值域之间的包含关系解出参数即可解得. 【详解】因为函数的值域为， 可得真数部分取到所有的正数， 即函数取到所有的正数， 所以是函数的值域的子集， 所以解得：或， 所以实数的取值范围是：． 故选：A． 11．已知曲线（且）经过定点．若，且，，则的最小值是（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先求出指数函数横过定点确定的值,再根据均值不等式求解. 【详解】由已知指数函数所过的定点坐标为,所以, 所以, 则, 根据均值不等式得: , 故选:D. 12．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式的真数为正数，偶次根式的被开方数为非负数，分母不为零，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义， 则需使，即， 解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 13．若，，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项和C选项应用对数的运算判断，B 选项应用不等式性质判断，D选项应用幂指数运算判断. 【详解】A:由，，可得，由对数倒数性质可得，所以，故A选项错误. B:由，，可得，所以，因为，所以，故B选项错误. C:由A选项可知，因为，所以，故C选项正确. D:由 ，设，，可得，故D选项错误. 故选:C. 14．函数，的最大值和最小值分别为（   ） A．3， B．3，0 C．1， D．3， 【答案】A 【分析】先对函数进行化简，再利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】. 所以函数在上单调递减. 所以当时取最大值，当时取最小值． 故选：A. 15．“”是“函数是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若函数为奇函数， 则，即， 即， 即，整理得， 所以，解得或， 当时，， 定义域为关于原点中心对称，且，满足奇函数定义， 当时，， 定义域为关于原点中心对称，且，满足奇函数定义， 所以函数是奇函数或． 若，则函数是奇函数，充分性成立， 若函数是奇函数，则或，不一定有，必要性不成立， 所以“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件， 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．计算： . 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂转化和指数运算法则易得答案. 【详解】 故答案为：. 17．已知函数，则函数最小值为 ；如果关于x的方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是 ． 【答案】 /0.5 【分析】空1利用函数单调性求函数最小值，空2作函数与的图像，从而利用数形结合求解． 【详解】在区间上单调递减，当时，； 在区间上单调递增，当时，， ，∴函数最小值为. 作出函数与的图像如下， ∴结合图像可知，方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围 18．已知，则 ． 【答案】2 【分析】由对数的运算法则直接计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 19．若函数（且）的值域为，则 ；实数的取值范围为 . 【答案】 5 【分析】把，代入中，可以求出的值. 求出求出当时，函数的取取值范围，然后分类的值，利用函数的单调性，分析当时，函数的取值范围，结合已知，最后求出的取值范围. 【详解】因为，所以.当时，是减函数，所以.若，函数是减函数，显然当时，，不符合题意；若，函数是增函数，所以，要想函数的值域为，只需，即，所以，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了已知分段函数的值域求参数问题，分类讨论、数形结合是解题的关键. 20．若函数在区间上的最大值与最小值的和为，则 . 【答案】3 【分析】分类讨论指数函数在和时函数的单调性即可求解的值. 【详解】当时函数为增函数. 所以当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为. 所以有，即，满足. 当时函数为减函数. 所以当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为. 所以有，即，不满足，故舍去. 综上. 故答案为：3. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知奇函数，求值. 【答案】 【分析】根据奇函数满足，即可求解. 【详解】因为函数在上为奇函数，所以， 解得，此时， 又，， 函数在定义域上关于原点对称，且满足，函数为奇函数. 所以. 22．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2023年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长． (1)写出第年（2024年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从第几年开始（2024年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？ （参考数据，，，） 【答案】(1)万元，其定义域为 (2)第8年 【分析】（1）由每年投入资金比上年增长可确定函数关系式，由实际意义得到定义域； （2）令，解不等式即可确定结果. 【详解】（1）第一年投入的资金数为万元， 第二年投入的资金数为万元， 则第年（2024年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式为 万元，其定义域为． （2）由，可得， 即， 即该企业第8年开始（2024年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元． 23．已知函数 （1）若，求的值； （2）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数a的值. 【答案】（1）（2）3或 【分析】（1）利用，求出a，得到结果． （2）当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递增，利用单调性求解函数的最值，通过已知条件转化求解即可． 【详解】解：（1）∵f（x）＝ax，， ∴，解得：a＝2或， 当a＝2时，f（x）＝2x，， 当时，，， 故． （2）当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递增， ∴，化简得3a2﹣8a﹣3＝0， 解得：（舍去）或a＝3． 当0＜a＜1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递减， ∴，化简得3a2+8a﹣3＝0． 解得：a＝﹣3（舍去）或． 综上，实数a的值为3或． 【点睛】本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 24．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求使得的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数的分母不等于零及对数的真数大于零求解即可； （2）将转化为，结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则需满足， 解得：， 所以函数的定义域为. （2）由可得， 因为函数在定义域上单调递增， 所以， 又因为函数的定义域为， 所以， 所以使得的的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $