第九章 随机变量及其分布（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 下册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查了离散型随机变量及其分布、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知每袋面粉的重量（单位：千克）服从正态分布，若，则的最小值为（    ） 参考数据：若，则． A．120 B．144 C．150 D．160 2．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在1000名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数值X（单位：）近似服从正态分布，且X在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为（    ） A．120 B．760 C．880 D．920 3．某工厂生产的自主研发的芯片元件的质量指标X服从正态分布N，若，则（    ） A．0.12 B．0.14 C．0.36 D．0.48 4．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论不正确的是（   ） A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)内的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)内与落在(10.2，10.3)内的概率相等 6．若随机变量，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 8．一个电子产品由A，B两部分元器件组成，两部分有任何一部分损坏，该产品就无法正常工作.若使用1年后，A部分损坏的概率为0.1，B部分损坏的概率为0.05，且这两部分损坏与否相互独立，则该电子产品使用1年后无法正常工作的概率为（ ） A．0.15 B．0.005 C．0.14 D．0.145 9．已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 10．已知某射击运动员的命中环数的分布列为 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.04 0.06 0.08 0.28 0.31 0.22 则此运动员射击一次，命中环数大于8的概率为（    ） A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.53 11．已知随机变量的分布列为 1 2 3 6 当在上变化时，的数学期望的变化情况为（    ） A．单调递增 B．先减后增 C．单调递减 D．先增后减 12．某一批种子的发芽率为．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（    ） A． B． C． D． 13．某校高二年级1600名学生参加期末统考，已知数学成绩（满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的．则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 14．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（    ） A． B． C． D． 15．若随机变量X服从两点分布，且．令，则( ) A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．正态分布在区间和上取值的概率为，，则，的大小关系为 . 17．小明同学从家到学校要经过6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是，则小明同学在上学途中遇到的红灯数的期望为 ，方差为 ． 18．已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ． 0 1 2 3 19．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率，从该批产品中任取1件是二等品的概率为 ． 20．2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示. （1）求这100名受访群众年龄的平均数和方差(同一组数据用该区间的中点值代替). （2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄服从正态分布，其中近似为，近似为. ①求； ②从年龄在，的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在内的人数为，求变量的分布列和数学期望. 参考数据：取，若，则，. 22．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 23．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同． (1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率； (2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差． 24．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）． 分组（百分制） 频数 频率 10 0.1 20 0.2 30 0.3 25 0.25 15 0.15 合计 100 1 (1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求； (2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望． 附：若，则，，；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查了离散型随机变量及其分布、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知每袋面粉的重量（单位：千克）服从正态分布，若，则的最小值为（    ） 参考数据：若，则． A．120 B．144 C．150 D．160 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质及三段区间的概率计算即可. 【详解】由题意知当时，，又，所以，解得，所以的最小值为144． 故选：B． 2．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在1000名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数值X（单位：）近似服从正态分布，且X在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为（    ） A．120 B．760 C．880 D．920 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质结合已知条件求解. 【详解】，又， ， ∴， 这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为， 故选：C． 3．某工厂生产的自主研发的芯片元件的质量指标X服从正态分布N，若，则（    ） A．0.12 B．0.14 C．0.36 D．0.48 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布可知：， 所以， 故选：C. 4．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】＋＋＋＝，A错误； ＋＝，B错误； ，C正确； ＋＝，D错误. 故选：C 5．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论不正确的是（   ） A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)内的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)内与落在(10.2，10.3)内的概率相等 【答案】D 【详解】σ越小，正态曲线越瘦高，数据集中在对称轴附近，A正确；由正态曲线的性质知BC正确；因为落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，D错误． 6．若随机变量，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的期望、方差计算可得答案. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：A. 7．下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 【答案】A 【分析】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项. 【详解】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确； 只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确； 正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确； 曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确； 故①④⑤说法正确. 故选：A. 8．一个电子产品由A，B两部分元器件组成，两部分有任何一部分损坏，该产品就无法正常工作.若使用1年后，A部分损坏的概率为0.1，B部分损坏的概率为0.05，且这两部分损坏与否相互独立，则该电子产品使用1年后无法正常工作的概率为（ ） A．0.15 B．0.005 C．0.14 D．0.145 【答案】D 【分析】根据独立事件及对立事件的概率公式求解. 【详解】∵该电子产品使用1年后A，B两部分元器件均正常工作的概率， ∴该电子产品使用1年后无法正常工作的概率为， 故选：D. 9．已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据期望和方差公式，即可判断选项. 【详解】，得， ，. 故选：C. 10．已知某射击运动员的命中环数的分布列为 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.04 0.06 0.08 0.28 0.31 0.22 则此运动员射击一次，命中环数大于8的概率为（    ） A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.53 【答案】D 【分析】根据分布列结合概率的加法公式即可得解. 【详解】根据表格可知环数大于8的概率为. 故选：. 11．已知随机变量的分布列为 1 2 3 6 当在上变化时，的数学期望的变化情况为（    ） A．单调递增 B．先减后增 C．单调递减 D．先增后减 【答案】D 【分析】根据给定的分布列求出的数学期望，再结合二次函数的性质逐项判断作答. 【详解】依题意，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的数学期望是先增后减. 故选：D 12．某一批种子的发芽率为．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】由题意可知种子发芽的颗数服从二项分布, 所以恰好有2颗种子发芽的概率为， 故选：C 13．某校高二年级1600名学生参加期末统考，已知数学成绩（满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的．则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】D 【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数． 【详解】由题意可知：成绩，则其正态曲线关于直线对称， 又因为成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的， 由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的， 所以此次考试成绩不低于120分的学生约有：人． 故选：D． 14．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望即可； 【详解】设试验成功的概率为，解得：； 记一次试验中成功的次数为X，则的取值有0,1， , 则随机变量X的数学期望, 故选：A. 15．若随机变量X服从两点分布，且．令，则( ) A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 【答案】B 【详解】由题可知： 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．正态分布在区间和上取值的概率为，，则，的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据正态曲线的特点，其图象关于对称，即可得出 【详解】根据正态曲线的特点，其图象关于对称 所以正态分布在区间和上取值的概率，相等 故答案为： 【点睛】本题考查的是正态分布的性质，较简单. 17．小明同学从家到学校要经过6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是，则小明同学在上学途中遇到的红灯数的期望为 ，方差为 ． 【答案】 2 【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望和公差公式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ，． 故答案为：2；． 18．已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ． 0 1 2 3 【答案】/ 【分析】先求出随机变量的概率，再求出，最后根据性质求出即可. 【详解】由题 ， 所以， 由， 所以， 故答案为：. 19．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率，从该批产品中任取1件是二等品的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据对立事件定义可知，取出的2件产品中至多有1件是二等品的对立事件为取出的2件产品均为二等品，即可由概率乘法公式求得任取1件是二等品的概率. 【详解】事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品” 的概率， 则对立事件：“取出的2件产品都是二等品” 的概率， 所以从该批产品中任取1件是二等品的概率满足， 解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了对立事件的定义及对立事件概率的求法，属于基础题. 20．2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率为 ． 【答案】/ 【分析】先根据正态分布求考生的成绩高于85的概率，再根据独立事件求恰有2名考生的成绩高于85的概率即可. 【详解】由正态分布可得：考生的成绩高于85的概率， 所以恰有2名考生的成绩高于85的概率. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示. （1）求这100名受访群众年龄的平均数和方差(同一组数据用该区间的中点值代替). （2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄服从正态分布，其中近似为，近似为. ①求； ②从年龄在，的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在内的人数为，求变量的分布列和数学期望. 参考数据：取，若，则，. 【答案】（1），；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：. 【分析】（1）根据同一组数据用该区间的中点值代替，结合平均数的公式、方差的公式进行运算即可； （2）①：根据正态分布的对称性，结合题中所给的概率公式及数据进行求解即可； ②：根据分层抽样的性质求出的可能取值，求出每种可能的概率，写出分布列、计算出数学期望即可. 【详解】解：（1）， . （2）①由（1）知， 所以. ②分层抽样抽取的7人中年龄在，内的分别有3人，4人. 所以的可能取值为0，1，2，3. 因为，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 故的数学期望. 22．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）确定随机变量的可能取值，利用组合数求出概率，即可得到分布列. （2）结合（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【详解】（1）依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： （2）由（1）中的分布列，可得， . 23．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同． (1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率； (2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望，方差 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可． （2）的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望与方差． 【详解】（1）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同． 从袋中任取3个球，恰好取到2个黄球的为事件A； 则， 所以从袋中任取3个球，恰好取到2个黄球的概率为：． （2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，的可能取值为， 得，， 的分布列为： 0 1 2 P ， 方差． 24．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）． 分组（百分制） 频数 频率 10 0.1 20 0.2 30 0.3 25 0.25 15 0.15 合计 100 1 (1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求； (2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性即可求解；（2）根据二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为： ， 又由，， ． （2）由题意，抽取2人进入复赛的人数， ． 的概率分布列为 0 1 2 的数学期望为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $