第1章 专题特训 勾股定理与面积问题&勾股定理中的方程思想-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

专题特训 勾股定理与面积问题【回归教材·期末热点】 类型1利用割补法求面积 3.如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外分 1.一块地如图所示，已知AB=8m,BC=6m, 别作两个正方形，以Rt△ABC的斜边为直 ∠B=90°，AD=26m,CD=24m,求这块地 径向外作半圆.若半圆的面积为8π，则两个 的面积. 正方形的面积之和为 S (第3题图) (第4题图) 4.【构造基本模型】如图，在四边形ABCD中， ∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四 条边为边向外作四个正方形.若S1十S4= 135,S3=49,则S2的值为 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各 2.如图，某小区计划对临街直角转弯处进行改 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上 造，设计了一块绿化地（四边形ABCD),在 称为“希波克拉底月牙”.若AC=3,BC=4, 点D处放置一座雕像.已知AB=3m,BC= 则阴影部分的面积为 4m,CD=13m,AD=12m,求这块绿化地 的面积. D S 街 道 住宅 (第5题图) (第6题图) 6.新趋势规律探究如图，正方形ABCD的边 B街道( 长为a,其面积为S1,以CD为斜边作等腰直 角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直 角边为边向外作正方形，其面积为S2…按 照此规律继续下去，若S,一2，则n的值 为 类型3利用“赵爽弦图”求面积 7.(2024·南通中考)“赵爽弦图”巧 类型2利用“勾股树”求面积（教材P20复习 妙地利用面积关系证明了勾股定 题T3变式) 理，如图所示的“赵爽弦图”是由 基本模型：如图，沿着直角三角形的三边向外作正方 四个全等的直角三角形和中间的小正方形 形、半圆、等腰直角三角形、等边三角形 拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条 直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形的 面积为5，(m十n)2=21,则大正方形的面 积为 ( ) 结论：S1十S2=S3. A.12 B.13 C.14 D.15 9 数学八年级上册北师大版 专题特训 勾股定理中的方程思想【回归教材·通性通法】 类型个单勾股列方程 4.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸 方法点拨：单勾股列方程：在同二个三角形中，已知 片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上 一边长和另外两边之间的关系，据此关系设未知数， 的点B'处，点A的对应点为点A',且B'C= 并分别表示出另外两边长，利用勾股定理构造方程 3,则AM的长是.（提示：连接BM,BM) 解题 (一)非折叠问题（教材P22复习题T11变式） 1.新趋势数学文化《西江月》中描述：平地秋 千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五 尺板高离地….翻译为：如图，秋千OA静 (第4题图) (第5题图) 止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将 类型2双勾股列方程 它往前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升 方法点拨：双勾股列方程：当两个直角三角形具有公共 高，离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索OB 边或相等的边时，利用其为中间桥梁构建方程（如图）， 的长 AB2-BD2=AC2-CD2 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB= 17,AC=10.若BC=21,则CD的长为 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上 一点.若AB=8,AD=BD=5,则CD的长 为 (二)折叠问题（教材P13“尝试·思考”变式） 2.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C B 90°，AC=6cm,BC=8cm.将△ABC折叠， (第6题图) (变式题图) 使点B与点A重合，折痕为DE,则BD的长 【变式题】如图，在△ABC中，AB=20,AC= 为 cm 15,BC=7,则点A到BC的距离为 7.如图，露在水面上的鱼线BC的 长为6m,钓鱼者想看看鱼钩上 A 的情况，把鱼竿AC转动到AC B'B 二二二二二 (第2题图) (第3题图) 的位置，此时露在水面上的鱼线 3.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,AD=3, 折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕 B'C'的长为8m.若BB的长为2m,则钓鱼 为DG,则AG的长为 竿AC的长为 m. 第-章勾股定理10参考答案 8,解：不能通过.理由如下：如图，在OC上取点F,使OF-号×1.6 15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm),所以BB=BC-BC=15-6=9(dm).答：滑 块B向左滑动的距离为9dm 第一章勾股定理 O.8m,过点F作EF⊥CD于点F,交半圆于点E,交AB于点M,连接 11.解：(1)能(2)能.乙组设计方案：在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF-4cm OE,则OE-1m,MF-AD-2.3m.在Rt△OEF中，由勾股定理，得 1探索勾股定理 再测量E℉的长度.若EF=5m,则边BC乘直于边AB,否则就不垂直.（答案不唯一） EF=OE-OF=12-0.8=0.62,所以EF=0.6m.所以EM=EF 第1课时认识句股定理 专题特训勾设定理与面积问题【回归敦材·期末热点】 十MF-0.6十2.3=2.9(m).因为2.9<3，所以不能通过该工厂大门. 1.D2.D3.C4.8 1,解：连接AC,在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB+BC=8+6=100,所以 2一定是直角三角形妈 5.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=AB形一BD=102一62=64，所以AD=8. AC=10m.因为AC+CD=102+24=676,AD=676,所以AC+CD=AD.所以 在Rt△ACD中，DC=AC-AD=17-82=225,所以CD=15.所以BC=BD+CD 1.C2.A3.直角4.直角三角形 5.解：(1)503218(2)以AB,BC,AC三条线段为边能构成直角三角形.理由如 △ACD是直角三角形，且∠ACD=90.所以SN#D=Sam一SAm=之AC·CD =6+15=21. 下：因为AC+BC-18+32=50,AB-50,所以AC+BC=AB,所以以AB,BC, 6.C【变式题】C AC三条线段为边能构成直角三角形. 之AB·BC=×10×24-号×8×6=96(m).答：这块地的面积为96m 7.解：因为∠BAD=90°，所以BD=AD+AB=4+32=25.因为∠CBD=90°，所以 6.解：(1)在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB十AD=+3=25,所以BD= 2.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB+BC=3+4=25,所以 CD=BD+BC=25十5-50，所以正方形DCEF的面积为50， 5.(2)△BCD是直角三角形.理由如下：由(1)，知BD=25.所以BD+CD=25+12 AC=5m.因为AC+AD=5+12=169,CD=169,所以AC+AD=CD,所以 8.B9.C10.17 =169.因为BC=169,所以BD十CD-BC.所以△BCD是直角三角形. 11.解：(1)24(2)设a=3x,则b=4工，在Rt△ABC中，由勾殷定理，得a十=2，所 △ADC是直角三角形，且∠CAD-9O.所以Snam-Sac十Sae-号AB·BC 以(3x)十(4x)2一40，解得x-8(负值已金去).所以a-24,b-32. 7.C8.5,12,13(答案不唯一)9.C10.12011.4812.(19,180,181) 12.解：设BD=x,则CD=14一x.在R1△ABD中，由勾股定理，得AD=AB-BD= 13.解：△AEF为直角三角形.理由如下：因为DF=-CD,所以CF=子CD.因为四边 +号AD·AC=号×3×4+号×12×5=36(m).答：这块绿化地的面积是36m. 15-x.在R1△ACD中，由勾股定理，得AD=AC一CD=13一(14一x),所以15 3.644.865.66.20267.B 形ABCD为正方形，且边长为4a,所以AB=BC=CD=AD=4a,∠B=∠C=∠D 一x2-132-(14-x)2,解得x=9.所以AD=152-9=144.所以AD=12.所以Sac 专题特训勾投定理中的方程思想【回归数材·通性通法】 90,所以CF-a,DF=3a,因为E是BC的中点，所以BE=CE-2BC=2a,在R△ABE 1.解：设OA=OB-x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺， =2BC·AD=84. 中，由勾股定理，得A=AB+BE=(4a)2+(2a)2=202.在Rt△EFC中，由勾股定 OE=OA一EA=(x一4)尺.在Rt△OEB中，由勾股定现，得OB=OE十EB,即x= 13.解：(1)因为四边形ABCD是“垂美四边形”，所以AC⊥BD,所以△ABO是直角三 理，得EF-CE+CF■(2a)十a2-5a2.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF=AD (x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索0B的长为14.5尺. 角形.在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB-AO+BO-2十3=13.同理，得BC- 十DF=(4a)F十(3a)2=25a',所以AE+EF=AF,所以△AEF为直角三角形. 2约3号425.66号【变式题127.10 B0+C0=3+4=25,CD=C0+D0=4+5=41,AD=A0+D0=2+5 14.解：(1)④没有说明D,C,B三点在同一条直线上(2)证明如下：作CMLAC,垂 =29.(2)由(1)，得BC+AD=(BO+CO)+(A0+D0)=(B0+AO)+(CO+ 问题解决策略反思 足为C,在CM上截取CD=BC,连接AD.因为∠ACD=90°，所以AC+CD=AD DO)=AB+CD.因为AB=6,CD-10,所以BC+AD-62+102=136.(3)“垂美 【趣味陈情境引入】解：如图，作点B关于直线1的对称点B',连接AB,与直线（交于点 因为AC+BC=AB,CD=BC,所以AD=AB.所以AD=AB.在△ACD和△ACB 网边形”的两组对边的平方和相等。 C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和最短 DC-BC. 第2球时验证句股定理及其简单应用 中，《AC=AC,所以△ACD≌△ACB(SSS).所以∠ACB=∠ACD=90°.所以△ACB 1.解：1)B(2)因为Snsm-受AD+BC)·AB-壹(a+a+b)-20+是 AD=AB, 是直角三角形。 15.24 之8+ab=2e2十ab.所以c+=已 3勾股定理的应用 【提出问题】解：如图，作点B关于点E的对称点B”,连接AB矿”，与直线1交于点P,则点 1.符合2.90°3.①③4.C P就是新的饮马处，此时所走的路程之和最短， 2.C3.D 5.解：设折断处离地面的高度为x尺.由勾股定理，得2十6-(18一x)2,解得x-8. 4.解，因为每一块地砖的长度为20cm,所以AB=(20×4)2+(20×3)2=802+602= 答：折断处离地面的高度为8尺， 1002,BC=(20×5)1+(20×12)1=1002+240=2602,所以AB=100cm.BC 6.解：(1)在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=AO+OB=2+1.5=6.25,所以 260cm.所以AB+BC=100+260=360(cm).答：鸽子吃完小朋友洒在点B,C处的鸟 AB=2.5m.答：梯子的长为2.5m(2)由题意，得CD=AO+0.4=2.4m,BC=AB= 食，最少需要走360cm. 2.5m在R:△BCD中，由勾股定理，得BD-BC一CD-2.5一2.4-0.49.所以 5.D BD=0.7m,所以(OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m). 【一模多变】1.1302.53.134.17 6.解：(1)在R△AB0中，由勾股定理，得AB=A0十B行=20+152=252，所以AB 【拓展变式】10 =25cm.(2)由题意，得A'0=A0-AA'=20-13=7(cm),A'B=AB=25cm.在 7.158.5 【方法运用】1.202.53.254.100 R△A'OB中，由勾股定理，得A'B1=A'O+B矿O,所以25=7+BO.所以BO= 9.解，该车架符合设计要求，理由如下，在Rt△BCD中，BD=BC心一CD=732一552= 第一章归纳与提升 24cm,所以BB=B'O-BO=24-15=9(em),所以BB的长为9cm 2304.因为AB+BD=642+2304=6400,AD=6400,所以AB+BD=AD.所 思维导图梳理 7.解：(1)(a+b)4×2b+c2a+=2(2)图②中大正方形的面积为(a+b2, 以△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°，所以∠ABD=∠BDC,所以AB∥CD,所以 a2+形=2a2十B=2正整数 该车架符合设计要求. 核心考点突破 两个小正方形的面积之和为(a十6)2一4×2ab一a2+:图①中小正方形的面积为(a 10,解：(I)设AB=xdm,则BC=(16一x)dm,在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+ 1.B2.D3.A4.B5.156.25 7.解：因为CA⊥AB,所以∠CAO=90°.设OB=OC=xcm,则AO=AB-OB=(16 +b)一4×之ab=a2+:=2,所以图②中两个小正方形的面积之和等于图①中小正 BC=AB,所以82+(16一x)产-x2,解得x=10.所以AB=10dm.所以绳子的总长度 为AB+AC=10+8=18(dm).(2)若物体C升高7dm,则此时AB=10+7=17(dm) x)em.在R△ACO中，AC+OA3=OC,所以82+(16-x)3=2,解得x=10,所以 方形的面积，用关系式可表示为a2+=, 在R1△AB'C中，由勾股定理，得BC=AB一AC-17-82=225,所以BC= OB=OC=10cm.所以量角器的半径OB的长为10cm 1 2 3