第1章 勾股定理 归纳与提升-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

第一章归纳与提升 思维导图梳理 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c分别表示直角 内容 三角形的直角边和斜边，那么 勾股定理 证明一用拼图的方法，借助面积的不变关系来证明 应用 股 如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是 内容 直角三角形 直角三角形的判定 勾股数一满足a十6=c2的三个 应用 核心考点突破 考点个勾股定理及其应用 4.如图，在“赵爽弦图”中，已知直角三角形的 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC= 短直角边长为a,长直角边长为b,大正方形 4,以AB为一边向三角形外部作正方形，则 的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的 正方形的面积是 ( 值为 ( ) A.10 B.52 C.68 D.92 A.10 B.8 C.7 D.5 5.如图，这是勾股树的一部分，所有四边形都 是正方形，所有三角形都是直角三角形.若 “路” 6m 正方形A,B,C的面积分别为2,8,5，则正方 C B 8m 形D的面积为 (第1题图) (第2题图) 2.情境题文明行为规范如图，学校有一块长方 形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷 径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少 (第5题图) (第6题图) 走了几步路，却踩伤了花草，则他们少走的 6.情境题滑雪场U型池如图，某滑雪场U型 路长为 池的场地可以看作是从一个长方体中挖去 A.2 m B.3 m C.3.5mD.4m 半个圆柱而成的，它的横截面中半圆的半径 3.如图，直线OA⊥OB,垂足为O,线段OA= 8,OB=6,以点A为圆心，AB的长为半径画 为只m,其边线AB=CD=24m,点E在 弧，交射线AO于点C,则OC的长为( CD上，CE=4m.一名滑雪爱好者从点A滑 A.2 B.3 C.4 D.5 到点E,他滑行的最短路线长为 m. 7.学科融合光的反射小丽在物理实验课上利 用“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原 理.如图，她用激光笔从量角器左边边缘点C (第3题图)》 (第4题图) 处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平 13 数学八年级上册北师大版 面镜)反射后，反射光线落在右边光屏BE上 (2)求∠BCD的度数 的点D处（点B也在量角器的边缘上，点O 为量角器的中心，A,O,B三点共线，CA⊥ AB,BE⊥AB).小丽在实验中记录的数据如 下：AC=8cm,AB=16cm.依据记录的数据， 求量角器的半径OB的长. 11台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆 心，在周围上百千米的范围内形成极端气 候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心 沿东西方向由点A向点B行驶，已知点C 为一海港，且点C与点A,B之间的距离分 别为AC=300km,BC=400km.已知AB= 500km,以台风中心为圆心、周围250km 以内为受影响区域 (1)海港C受台风影响吗？为什么？ 考点2直角三角形的判定及应用 (2)若台风的速度为20km/h,则台风影响 8.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组 海港C持续的时间有多长？ 成直角三角形的一组是 ( ) A.1.5,2,3 B.2,4,6 C.8,10,12 D.7,24,25 9.新趋势数学文化勾股数是指能成为直角三 角形三条边长的三个正整数，世界上第一次 给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九 章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小 于c,a=司m-7c-2m+m是大于1 1 的奇数，则b=.(用含m的式子表示) 10.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边 长都为1. (1)求四边形ABCD的面积； 提示 请完戒易精小测（一）汇第一章] 第-章勾股定理14参考答案 8,解：不能通过.理由如下：如图，在OC上取点F,使OF-号×1.6 15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm),所以BB=BC-BC=15-6=9(dm).答：滑 块B向左滑动的距离为9dm 第一章勾股定理 O.8m,过点F作EF⊥CD于点F,交半圆于点E,交AB于点M,连接 11.解：(1)能(2)能.乙组设计方案：在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF-4cm OE,则OE-1m,MF-AD-2.3m.在Rt△OEF中，由勾股定理，得 1探索勾股定理 再测量E℉的长度.若EF=5m,则边BC乘直于边AB,否则就不垂直.（答案不唯一） EF=OE-OF=12-0.8=0.62,所以EF=0.6m.所以EM=EF 第1课时认识句股定理 专题特训勾设定理与面积问题【回归敦材·期末热点】 十MF-0.6十2.3=2.9(m).因为2.9<3，所以不能通过该工厂大门. 1.D2.D3.C4.8 1,解：连接AC,在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB+BC=8+6=100,所以 2一定是直角三角形妈 5.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=AB形一BD=102一62=64，所以AD=8. AC=10m.因为AC+CD=102+24=676,AD=676,所以AC+CD=AD.所以 在Rt△ACD中，DC=AC-AD=17-82=225,所以CD=15.所以BC=BD+CD 1.C2.A3.直角4.直角三角形 5.解：(1)503218(2)以AB,BC,AC三条线段为边能构成直角三角形.理由如 △ACD是直角三角形，且∠ACD=90.所以SN#D=Sam一SAm=之AC·CD =6+15=21. 下：因为AC+BC-18+32=50,AB-50,所以AC+BC=AB,所以以AB,BC, 6.C【变式题】C AC三条线段为边能构成直角三角形. 之AB·BC=×10×24-号×8×6=96(m).答：这块地的面积为96m 7.解：因为∠BAD=90°，所以BD=AD+AB=4+32=25.因为∠CBD=90°，所以 6.解：(1)在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB十AD=+3=25,所以BD= 2.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB+BC=3+4=25,所以 CD=BD+BC=25十5-50，所以正方形DCEF的面积为50， 5.(2)△BCD是直角三角形.理由如下：由(1)，知BD=25.所以BD+CD=25+12 AC=5m.因为AC+AD=5+12=169,CD=169,所以AC+AD=CD,所以 8.B9.C10.17 =169.因为BC=169,所以BD十CD-BC.所以△BCD是直角三角形. 11.解：(1)24(2)设a=3x,则b=4工，在Rt△ABC中，由勾殷定理，得a十=2，所 △ADC是直角三角形，且∠CAD-9O.所以Snam-Sac十Sae-号AB·BC 以(3x)十(4x)2一40，解得x-8(负值已金去).所以a-24,b-32. 7.C8.5,12,13(答案不唯一)9.C10.12011.4812.(19,180,181) 12.解：设BD=x,则CD=14一x.在R1△ABD中，由勾股定理，得AD=AB-BD= 13.解：△AEF为直角三角形.理由如下：因为DF=-CD,所以CF=子CD.因为四边 +号AD·AC=号×3×4+号×12×5=36(m).答：这块绿化地的面积是36m. 15-x.在R1△ACD中，由勾股定理，得AD=AC一CD=13一(14一x),所以15 3.644.865.66.20267.B 形ABCD为正方形，且边长为4a,所以AB=BC=CD=AD=4a,∠B=∠C=∠D 一x2-132-(14-x)2,解得x=9.所以AD=152-9=144.所以AD=12.所以Sac 专题特训勾投定理中的方程思想【回归数材·通性通法】 90,所以CF-a,DF=3a,因为E是BC的中点，所以BE=CE-2BC=2a,在R△ABE 1.解：设OA=OB-x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺， =2BC·AD=84. 中，由勾股定理，得A=AB+BE=(4a)2+(2a)2=202.在Rt△EFC中，由勾股定 OE=OA一EA=(x一4)尺.在Rt△OEB中，由勾股定现，得OB=OE十EB,即x= 13.解：(1)因为四边形ABCD是“垂美四边形”，所以AC⊥BD,所以△ABO是直角三 理，得EF-CE+CF■(2a)十a2-5a2.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF=AD (x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索0B的长为14.5尺. 角形.在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB-AO+BO-2十3=13.同理，得BC- 十DF=(4a)F十(3a)2=25a',所以AE+EF=AF,所以△AEF为直角三角形. 2约3号425.66号【变式题127.10 B0+C0=3+4=25,CD=C0+D0=4+5=41,AD=A0+D0=2+5 14.解：(1)④没有说明D,C,B三点在同一条直线上(2)证明如下：作CMLAC,垂 =29.(2)由(1)，得BC+AD=(BO+CO)+(A0+D0)=(B0+AO)+(CO+ 问题解决策略反思 足为C,在CM上截取CD=BC,连接AD.因为∠ACD=90°，所以AC+CD=AD DO)=AB+CD.因为AB=6,CD-10,所以BC+AD-62+102=136.(3)“垂美 【趣味陈情境引入】解：如图，作点B关于直线1的对称点B',连接AB,与直线（交于点 因为AC+BC=AB,CD=BC,所以AD=AB.所以AD=AB.在△ACD和△ACB 网边形”的两组对边的平方和相等。 C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和最短 DC-BC. 第2球时验证句股定理及其简单应用 中，《AC=AC,所以△ACD≌△ACB(SSS).所以∠ACB=∠ACD=90°.所以△ACB 1.解：1)B(2)因为Snsm-受AD+BC)·AB-壹(a+a+b)-20+是 AD=AB, 是直角三角形。 15.24 之8+ab=2e2十ab.所以c+=已 3勾股定理的应用 【提出问题】解：如图，作点B关于点E的对称点B”,连接AB矿”，与直线1交于点P,则点 1.符合2.90°3.①③4.C P就是新的饮马处，此时所走的路程之和最短， 2.C3.D 5.解：设折断处离地面的高度为x尺.由勾股定理，得2十6-(18一x)2,解得x-8. 4.解，因为每一块地砖的长度为20cm,所以AB=(20×4)2+(20×3)2=802+602= 答：折断处离地面的高度为8尺， 1002,BC=(20×5)1+(20×12)1=1002+240=2602,所以AB=100cm.BC 6.解：(1)在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=AO+OB=2+1.5=6.25,所以 260cm.所以AB+BC=100+260=360(cm).答：鸽子吃完小朋友洒在点B,C处的鸟 AB=2.5m.答：梯子的长为2.5m(2)由题意，得CD=AO+0.4=2.4m,BC=AB= 食，最少需要走360cm. 2.5m在R:△BCD中，由勾股定理，得BD-BC一CD-2.5一2.4-0.49.所以 5.D BD=0.7m,所以(OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m). 【一模多变】1.1302.53.134.17 6.解：(1)在R△AB0中，由勾股定理，得AB=A0十B行=20+152=252，所以AB 【拓展变式】10 =25cm.(2)由题意，得A'0=A0-AA'=20-13=7(cm),A'B=AB=25cm.在 7.158.5 【方法运用】1.202.53.254.100 R△A'OB中，由勾股定理，得A'B1=A'O+B矿O,所以25=7+BO.所以BO= 9.解，该车架符合设计要求，理由如下，在Rt△BCD中，BD=BC心一CD=732一552= 第一章归纳与提升 24cm,所以BB=B'O-BO=24-15=9(em),所以BB的长为9cm 2304.因为AB+BD=642+2304=6400,AD=6400,所以AB+BD=AD.所 思维导图梳理 7.解：(1)(a+b)4×2b+c2a+=2(2)图②中大正方形的面积为(a+b2, 以△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°，所以∠ABD=∠BDC,所以AB∥CD,所以 a2+形=2a2十B=2正整数 该车架符合设计要求. 核心考点突破 两个小正方形的面积之和为(a十6)2一4×2ab一a2+:图①中小正方形的面积为(a 10,解：(I)设AB=xdm,则BC=(16一x)dm,在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+ 1.B2.D3.A4.B5.156.25 7.解：因为CA⊥AB,所以∠CAO=90°.设OB=OC=xcm,则AO=AB-OB=(16 +b)一4×之ab=a2+:=2,所以图②中两个小正方形的面积之和等于图①中小正 BC=AB,所以82+(16一x)产-x2,解得x=10.所以AB=10dm.所以绳子的总长度 为AB+AC=10+8=18(dm).(2)若物体C升高7dm,则此时AB=10+7=17(dm) x)em.在R△ACO中，AC+OA3=OC,所以82+(16-x)3=2,解得x=10,所以 方形的面积，用关系式可表示为a2+=, 在R1△AB'C中，由勾股定理，得BC=AB一AC-17-82=225,所以BC= OB=OC=10cm.所以量角器的半径OB的长为10cm 1 2 3 8.D9.m 12.A13.D14.-115.6 7.解：(1)原式-10.(2)原式=-0.5可=-0,5.(3)原式=-16.(4)原式-- 10解：(1)Sx路sm=7X5-号×2×4-号×1×2-7×3×4-1X3-号×1×7= 16.解：(1)原式=√64+36=√100-10.(2)原式-0.2+101=0.2+0.1-0.3. 要.（②）连接BD.曲勾股定理，得CD=+2=5,BC=公+4=20，BD=+4 17.解：(1)在Rt△ABC中，AB=8m,AC=10m,根据勾股定理，得BC=√AC一AB √()-寺 =6m,答：此时风军离地面的高度BC为6m,(2)在Rt△ABM中，AB=8m,BM-BC 8.B9.B10.A11.D12.213.(1)-3(2)-2 25,所以CD+BC=BD.所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90 十CM=15m,根据勾股定理，得AM=√BM+AB=1?m,17一10=7(m).答1引线 11,解：(1)海港C受台风影响.理由如下：过点C作CD⊥AB AC的长度应加长7m 14.第，02-1要r==是(2-3=8x-3=派3=2.=5 于点D.因为AC+BC=300+400=250000,AB= 18.解：(1)1234(2)n(3)原式=w√+3+5+7++(2×5-1)=51 15.解：(1)因为3a+1的平方根为士4,2b+6=2,所以3a+1=4,2b+6=2,解得e 250000,所以AC+BC=AB.所以△ABC是直角三角形， 大单元整合练利用勾投定理在数轴上表示实数【回归教材·落实课标】 且∠ACB=90,所以Saac=AC·BC=2CD·AB所以ED -5:b-1.所以5a+26的立方根为5X5+2X-3.(2)因为a-5:6-1,所以。的 任务活动1：解：如图，点E和点F即为所求. CD=AC:BC=240km.因为240<250，所以海港C受台风影响.(2)如图，当EC=FC 算术平方根为√石-名 AB =250km时，台风正好形响海港C.在Rt△CDE中，DE=CE一CD=4900,所以 16,解：由题意，0号”-86x,5R=36x,即P-27,R-8头所以r一沉-3(cm, DE-70km所以EF-2DE-140km.140+20-7(h).答：台风影响海港C持续的时 -5-4-3-2-1012345 间为7h. R-√厚-号(cm.答：烧杯内部的底面半轻R为号cm,铁球的半径r为3cm 任务活动2：解：由题意，得EF=DE=CD=BC=AB=1.所以在R:△ABC中，AC= 第二章实数 17.D【解析】0成1或-10成1或-11或2或02或6或0 √AB干BC=√E.同理得AD=√AC+CD=√，AE=√AD+DE-2,AF= 1认识实数 第4课时估算及用计算碧开方 √AE+EF=√5.由题意知AP=AF=√5.所以点P表示的数是一5， 1.B2.B3.C4.7无理数 1.D2.B3.3(答案不唯一) 任务活动3：都：(1)如图，点P即为所求，(2)5-1 5.解：有理数有0,3.14，了，一2，一是，2027.无理数有x,2.1010010001…(相邻两个 4.解：把a=8,b=9代人E=√a+b,得E=√+9=√73.因为8<73<9，所以8 <√3<9，所以该微观粒子的能量E的值为√73，它介于整数8和9之间. 1之间的0的个数逐次加1.正实数有3.14，号，2027,2.10101001-（相邻两个 -43-2-101234 5.C6.> 1之间的0的个数逐次加1). 任务语动4：解：(1W2一√2(2)①如图③所示.②如图④，点A表示数一0.5，点B 7.解：(1)(/35)2=35,62-36.因为35<36，所以√35<6.(2)(/一26)1=-26， 6.C7.D8.(1)88(2)±69.B10.B 表示数-3+√5.所以-0.5>一3+√5. (-3)1=-27.因为-26>-27，所以/26>-3. 11.解：一1一3=一3，十(+2)=2，在数轴上表示如图所示.由数轴可知，一4<-一3 8.D9.(1)-5.29(2)0,68(3)10.81 <-3<0<+(+2)<元 10.解：(1)-16≈-2.52，-5≈-2.24.因为-2.52<-2.24，所以-6<-5 (2)√13+2≈5.02，√128≈5.04.因为5.02<5.04，所以√13+W2<V128. -4--3 30 图③ 图④ 方2 11.B12.C 第2课时平方根 12.D13.C14.x-1或-π-1 1.D2.C3.-525【变式题】(1)-8(2)2 13.解：因为正方形卡片的面积为64cm,所以正方形卡片的边长为8cm.设长方形封 15.(1)②④(2)④0(3)①③0⑦(4)①②D8④(5)④⑤圆 4.解：(1)由于（士11）2=121，因此121的平方根是±11，即士√12T=士11.(2)由于 皮的长为3缸cm,宽为2xcm.由题意，得3r·2x=132,解得x=√22（负值已舍去）.所 16.解：(1)(2)如图所示.（答案不唯一） 以长方形封皮的长为3√22m,宽为2√22cm.因为4<√22<5，所以8<2√22< (土号）广-要.闲此号的平方根是士号，即士√昏=±号，(3)曲于（土0.6=0.36， 10.所拟正方形卡片在不折叠的情况下能全部装进长方形封皮中. 因此0.36的平方根是士0.6，即士√0.36=±0.6.(4)（一13）2-169.由于（士13）2 14.解：(1)7(2)设52=7+x,其中0x<1,所以（√52）2=(7+x),即52=49十2 169,因此（一13）2的平方根是士13，即士√（一13）下=±13.(5)21的平方根是±√2. ×7x+x2.当2<1时，可忽略2，得5249+14x,解得xs0.21.所以√/52≈7.21. 2-1012134 5.A6.D (3)11,73137.59,所以实际而积误差为137,59-137=0.59(m2). (第17题图) 7解，(92=42=亭=士号(2)x+1=士0.1=-1.1度-0.9 专题特训实数大小比较的常用方法【落实课标·教材延伸】 (第16题图) 1,A2.C3.A 17.解：(1)17无理数(2)如图所示.（答案不唯一）(3)如图，点A即为所求 8.解：不正确.正确的解答过程如下：由题意，得3x一2=x十2或3x一2=一(x十2) 4.解：在数轴上表示如图所示，一8<-<0<(-<E 2平方根与立方根 ①当3x一2=x+2时，解得x=2.所以(3x-2)=4=16.所以这个数为16.②当3r 第1课时算术平方根 2=一(x十2)时，解得x=0,此时3x一2=一-2<0，不符合题意，舍去，综上所述，这个数 1.A2.B3.C4.0(答案不唯一）5.1 为16. 第3课时立方根 6.解：1)因为=49，所以49的算术平方根是7，即V丽-1.(2)因为（号）一奇，所 5.解：(1)因为35<36，所以√35<√36，即√35<6.(2)因为-3=一27，-26> 1.C2B3.B4.C -27,所以一26>一27，即25>-3.(3)因为2.52=6.25,6.25<7，所以 以后的算术平方根是号，即√哥-号.（3)因为0,3-0,09，所以0，.09的算术平方根 5.解：(1)因为（一4）2=一64，所以一64的立方根为一4，即√一6=一4，(2)因为 √6,25<7，即2.5<7.所以-2.5>-√7. 是0.3，即√/0.0g=0.3.(4)0的算术平方根是0.(5)6的算术平方根是√6. (停）广-罗所以罗的立方根为号即√罗-号(3因为0.1-0,01，所以0.01 6解：10>②-0<20厅3-是-，周为6-36>19，所以 7.C8.D9.B10.5 的立方根为0,1，即0.00T=01,(4)9的立方根为. 11.解：将R=5,1=1,Q=45代人Q=尸R1,得×5×1=45，即P=9.所以1=√F=3.6.A <6,所以-6<0.所以6<0，所以西3<是四9厘-是 2 2 4 5 —6—