专题突破(二) 一元二次方程与方程(组)、不等式的综合应用(练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

专题突破（二） 一元二次方程与方程（组）、不等式的综合应用 类型① 一元二次方程与一元一次方程 类型2 一元二次方程与方程组的综合 的综合应用 应用 1.为迎接祖国第七十六个生日，重庆某花店销 2.某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决 售甲、乙两种花篮，8月份时，甲花篮的单价 定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实 比乙花篮的单价高20元，2个甲花篮与1个 验使用.第一次购买40瓶氯化钠溶液和80 瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶 乙花篮的售价和是280元. 氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元. (1)8月份，甲、乙两种花篮的销售单价分别 (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价 是多少元？ 分别为多少元： (2)已知8月份，甲、乙两种花篮分别销售了 (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校 40个和50个；9月份，国庆节即将到来， 决定再次购买这两种溶液，调查发现配 顾客对花篮需求量增大，店主决定对甲 置每瓶硫酸铜溶液的成本是α元，每瓶 种花篮进行降价促销，经市场调查，甲种 氯化钠溶液的成本是0.5a元，已知第三 花篮每降低1元，预计销量比8月份增加 次购买的硫酸铜溶液的数量比第一次购 3个；乙种花篮的销售单价不变，但其销 买的数量少5a瓶，购买的氯化钠溶液的 量相比8月份仍有所增加，预计增加的 数量是第一次的2倍，商场获利330元， 求a的值. 销量是甲种花篮增加销量的号.若预计9 月份甲、乙两种花篮的销售额是11900 元，则甲种花篮的销售单价是多少？ 3.某中学为了全面实施素质教育，切实提高人 才培养水平，促进义务教育均衡发展，大力开 展“初中综合社会实践活动”.今年上半年，九 年级的学生们都到“小周社会实践基地”参加 了为期一周的综合社会实践活动，其中最让 学生们感到刺激的活动就是“水上鹊桥”与 “室内攀岩”.为了让学生们玩得尽兴，教官们 准备组织这两项活动的比赛，已知报名参加 “水上鹊桥”与“室内攀岩”的人数共80人，其 中报名参加“室内攀岩”的人数比报名参加 “水上鹊桥”人数的一半还少10人. 第二十一章一元二次方程22 (1)报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学5.一玩具城以每个49元的价格购进某种玩具 生各有多少人？ 进行销售，并预计当售价为每个50元时，每 (2)比赛开始前，参加“水上鹊桥”的人数在报 天能售出50个玩具，且在一定范围内，当每 名人数的基础上增加了10人，人均过桥 个玩具的售价平均每提高0.5元时，每天就 时间比原计划的每人2mn少得mim:参 会少售出3个玩具， (1)若每个玩具的售价不超过60元，每天售 加“室内攀岩”的人数在报名人数的基础 出玩具的总成本不高于686元，则每个 上减少了m人，人均攀岩时间比原计划 玩具售价的取值范围是多少？ 的每人3min多1min.则两项活动完成 (2)在实际销售中，玩具城以(1)中每个玩具 的总时间比原计划增加20min,求m 的最低售价及相应的销量为基础，进一 的值， 步调整了销售方案，将每个玩具的售价 提高了a%,从而每天的销售量降低了 2a%.当每天的销售利润为147元时，求 a的值. 类型3 一元二次方程与不等式的综合应用 4.某商品原来每件的售价为60元，经过两次 降价后每件的售价为48.6元，并且每次降 价的百分率相同。 (1)求该商品每次降价的百分率； (2)若该商品每件的进价为40元，计划通过 以上两次降价的方式，将库存的该商品20 件全部售出，并且确保两次降价销售的总 利润不少于200元，那么第一次降价至少 售出多少件后，方可进行第二次降价？ 23精英新课堂·数学1九年级·上册100+200× 1=200<260(不合题意，舍去)：当x=1时， 思维拓展 21 100十200=300>260，符合题意.此时售价为4一1= 10.解：(1)3(2)号（(3)不存在，理由如下：过点Q作QM 3(元).答：老板需将每斤的售价定为3元」 ⊥AD,交AD于点M,则∠QMD=∠QMA=90. 能力提升 ∠QMA=∠BAM=∠B=90°，∴.四边形ABQM是矩形， 7.解：(1)设平均每月降价的百分率为x.根据题意，得 ..AM=BQ=t cm,QM=AB=3 cm,.'MP=(6-2t)cm, 16000(1-x)2=12960.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不 .PQ=PM十QM=(6-2t)2+3,,在矩形ABCD中， 合题意，舍去).答：6月到8月平均每月降价的百分率为 ∠D=90°，.△PDC为直角三角形，.PC=PD十CD= 10%;(2)预测到9月份该市的商品房成交均价不会跌破每 t+3.:PQ⊥PC,.∠QPC=90°，∴.PQ+PC2=CQ,即 平方米11500元.理由如下：12960×(1-10%)=11664 (6-2t)2+32+t2+32=(6-t)2,.2-6t+9=0.△= (元).11664>11500，∴.不会跌破每平方米11500元. (-6)2-4×2×9=36-72=-36<0,.此方程无实数根， 答：预测到9月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方 .不存在某一时刻t,使得PQ⊥PC:(4)如图， 米11500元.8.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y 根据折叠可知∠AQB=∠AQB,AB= =kx十b(k≠0).由图象知，点(2,120)，(4,140)在该函数图 象上，/2k+b=120 解得二10：y与r之间的函数 4k+b=140 1b=100. AB=3cm,BQ=B'Q=tcm,∠AB'Q=∠B=90°.，'在矩 关系式为y=10x十100；(2)根据题意，得(60一x-40)(10x 形ABCD中，AD∥BC,.∠AQB=∠PAQ,.∠AQB'= +100)=2090.整理，得x2-10x十9=0.解得x1=1,x2= /PAQ,..PA=PQ=(6-t)cm,..B'P=PQ-B'Q=6-t 9.要让顾客得到更大的实惠，x=9.答：商贸公司要想 -t=(6-2t)cm.∠ABP=180°-90°=90°，.在 获利2090元，则这种干果每千克应降价9元. Rt△AB'P中，根据勾股定理，得AB2十BP2=PA2,即32 思维拓展 +(6-2t)=(6-t)2,即t2-4t十3=0，解得t1=1,t2=3. 9.解：(1)设国庆期间，商场对A商品平均每次降价的百分 答：当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B'恰好落在 率为x.根据题意，得200(1一x)=162.解得x1=0.1= PQ边上 10%,x2=1.9(不合题意，舍去).答：国庆期间，商场对A 专题突破（二）一元二次方程与方程（组）、 商品平均每次降价的百分率是10%：(2)设这天该商场A 商品在每件150元的基础上降价y元.根据题意，得(150一 不等式的综合应用 y-120)(10+2y)=500.整理，得y2-25y十100=0.解得 1.解：(1)设8月份，乙花篮的销售单价为x元，则甲花篮的 y1=5,y2=20.又：要尽快销售完这批商品，∴.y=20.答： 销售单价为(x十20)元.根据题意，得2(x十20)十x=280. 这天该商场A商品在每件150元的基础上降价20元， 解得x=80,x十20=80十20=100.答：8月份，甲花篮的销 第3课时几何图形问题 售单价为100元，乙花篮的销售单价为80元；(2)设甲种花 基础过关 篮每个降价y元.根据题意，得(100-y)(40+3y)+80(50 1.B2.2cm,4cm3.解：设AB=xm,则BC=(50-2x)m. 根据题意，得x(50-2x)=300.整理，得x2-25x十150= +号×3)=190.整理，得y-140y+1300=0.解得 0.解得x1=10,x2=15.当x=10时，50-2x=30>25(不 y1=10,y2=130(不合题意，舍去).∴.甲种花篮每个降价 合题意，舍去)：当x=15时，50-2x=20<25(符合题意). 10元，∴.100-10=90（元）.答：甲种花篮的销售单价是90 答：当AB的长为15m,BC的长为20m时，可使矩形花园 元.2.解：(1)设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分 的面积为300m.4.25.16.解：(1)设道路的宽度为 xm.根据题意，得(40一x)(30-x)=1064.整理，得x2一 别为x元，y元.根据题意，得0x十80)=50，解得 20x+30y=200. 70x十136=0.解得x1=2,x2=68(不合题意，舍去).答：道 x=2.5, 路的宽度为2m;(2)设道路的宽度为ym.根据题意，得 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为 y=5. (40-2)(30-2)=令×30X40.整理，得y2-35y十150 2.5元，5元；(2)根据题意，得(5-a)(80-5a)十2×40(2.5 -0.5a)=330.整理，得a2-29a十54=0.解得a1=2,a2= =0,解得y=5,2=30(不合题意，舍去).答：道路的宽度 27.a<5,a=2.答：a的值为2.3.解：(1)设报名参加 为5m.7.2或4 “水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各有x人、y人.根据题 能力提升 x十y=80, 8.C9.解：(1)39-3xx(39-3x)(2)当a=20时， 意，得 1 答：报名参加“水上鹊 所围成的展览区总面积为126m,.根据题意，得x(39 y之x-10.解得/=60， 1y=20. 3x)=126,整理，得x2-13x十42=0.解得x=6,或x=7. 桥”与“室内攀岩”的学生各有60人、20人；(2)根据题意， 当x=6时，39一3x=21>20,不合题意，舍去；当x=7时， 39一3x=1820,符合题意.∴.BC的长为18m;(3)不能. 得(60+10m(2-号）)+4(20-m)=60X2+20X3+20. 理由如下：根据题意，得x(39一3x)=150,整理，得x2一 整理，得m2-2=0.解得m1=2,m2=0(不合题意，舍 13x十50=0.△=(-13)2-4×50=-31<0，.方程无 去).答：m的值为2.4.解：(1)设该商品每次降价的百分 实数解，..不能围成总面积为150m的展览区. 率为x.根据题意，得60(1-x)2=48.6,解得x1=0.1= 参芳答案 第25页（共55页） 10%,x2=1.9(不合题意，舍去).答：该商品每次降价的百： 子装所获利润为(10500÷105)×(130一105)=2500（元）， 分率是10%；(2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售 2024年销售“幸福牌”亲子装所获利润为[9400÷(105 出(20一a)件.根据题意，得[60×(1-10%)一40]a十(48.6 11)]×[130-(105-11)]=3600(元).设年增长率是. -40)X(20-a)≥200.解得a≥5 品“a为非负整数，a 根据题意，得2500(m十1)=3600.解得m=号=20%， 的最小值是6.答：第一次降价至少售出6件后，方可进行 m2=- 第二次降价.5.解：(1)设每个玩具的售价为x元.根据 号（不合题意，合去）.答：年增长率是20%。 x60, 第二十一章整合与提升 题意，得 49(50-3×。50)≤686. 解得56≤x60.答： 高频考点突破 0.5 1.A2.B3.C4.45.解：(1)移项，得x2一2x=49.配 每个玩具售价的取值范围是56≤x≤60；(2)由(1)知每个 方，得x2一2x+12=49十12，(x-1)2=50.由此可得x-1 玩具的最低售价为56元，对应销售量为50-3×56-50 =士5√2，x1=1十5√2，x2=1-5√2；(2)a=1,b=-7,c= 0.5 14(个).根据题意，得[56(1十a%)一49]×14×(1-2a%) -1.△=b2-4ac=(-7)2-4×1×(-1)=53>0.方程有 =147,令t=a%,整理，得322-121十1=0.解得4= 1 两个不等的实数根x=一b士Y-4a:-二(-7)土V因 2a 2×1 h=日，即a%=子，或a%-日a=25,或a=12.5, -7±屈，即=十屈，=7二屈：(3)移项整理， 2 2 2 专题突破（三）一元二次方程与 得2(y十5)2-(y十5)(y-5)=0.因式分解，得(y十5)[2(y 分式方程的综合应用 +5)-(y-5)]=0,(y+5)(y+15)=0.于是得y十5=0， 1,解：(1)设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份x元， 或y+15=0,y=-5,2=-15.6.C7.D8.-1 则第二次购进毛肚的进价为每份(x一5)元.根据题意，得 9.3010.解：(1)-1(2)对于方程x2一(2m-3)x十m 15000=12000.解得x=25.经检验，x=25是原方程的 -4m-5=0,△=[-(2m-3)]2-4(m2-4-5)=4m十 x x-5 29.该方程为“快乐方程”，.4m十29为完全平方数，又 解，且符合题意.答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每 5m22,∴.49<4m十29117..4m十29=64或81或 份25元；(2)设降价元，该店毛肚每日销售额为15000 10.当4m十29=64时，解得m=空当m十29=81时，解 元，则降价后每份毛肚的实际售价为(40一m)元，每日销量 为(480+2m)份.根据题意，得(40一)(480+2)= 得m=13.当4m十29=100时，解得m=只.：m为整数， 15000.整理，得m2十200m-2100=0.解得m1=10,= .m=13..原方程为x2-23x十112=0，其根为x1=7,x2 一210（不合题意，舍去）.40-m=40-10=30.答：降价后 =16,符合题意.其“快乐数”为F(1,一23,112)= 每份毛肚的实际售价为30元.2.解：(1)设敖丙手办的单 4×1×112-(-23)2-=_81 价为x元，则哪吒手办的单价为1.3x元.根据题意，得 4×1 Γ4.1L,1十x十x2=73 2210-1000=14.解得x=50.经检验，x=50是原方程的 12.解：(1)设每件甲款羊毛衫的进价为x元，则每件乙款羊 1.3x 解，且符合题意.1.3x=1.3X50=65(元).答：哪吒手办的 毛衫的进价为(x十40)元.根据题意，得s0地=士.解 单价为65元，敖丙手办的单价为50元：(2)由(1)可得计划 得x=320.经检验，x=320是原方程的解，且符合题意.x 购买教丙手办10=20（个），哪E手办20+14=34（个）。 十40=320十40=360.答：每件甲款羊毛衫的进价为320 元，每件乙款羊毛衫的进价为360元；(2)设每件甲款羊毛 根据题意，得(65一3m)(34十2m)+(50一m)(20+2)= 衫的售价为m元.根据题意，得（一320）[30十2(370 2210十1000十100.解得m=1,m2=0(不合题意，舍去). m)]十15×(420-360)=3000.整理，得m2-705n十 答：m的值为1,3.解：(1)设甲队计划x天到达目的地， 124250=0,解得1=355，m2=350,为更大程度让利顾 则乙队计划(x一2)天到达目的地，根据题意，得1200=号 客，∴.m=350.答：每件甲款羊毛衫的售价为350元时，商 家日盈利可达到3000元. x2.解得x=6.经检验，x=6是原方程的解，且符合题 常考题型演练 意.x-2=6-2=4.答：甲队计划6天到达目的地，乙队计 1.C2.D3.C4.500(1-x)2=4055.解：(1)p1 划4天到达目的地：(2)根据题意，得135×4×(8+m)十 (300-30m)×6×(8十m)=18720.整理，得2-5m=0. (2):m十=p,x=1,+1=4十2== 解得m1=5,m2=0(不合题意，舍去)，答：m的值为5， :关于x的一元二次方程x2一px十1=0(p为常数)有两 4.解：(1)设2022年每套“幸福牌”亲子装的进价为x元，则 个不相等的实数根x和x2,x-px1十1=0，·x一p十 2024年每套“幸福牌”亲子装的进价为(x一11)元.根据题 0,即，士三p:3)由根雪系数的关系，得十 公 意，得0500=9400.解得x=105.经检验，x=105是原 p,x1x2=1.x7十x=2p十1，.(xm十x2)2-2x1x2=2p 分式方程的解，且符合题意.答：2022年每套“幸福牌”亲子 十1，∴.p2-2=2p+1,解得1=3，p2=-1.当p=3时，4 装的进价为105元：(2)由(1)可得2022年销售“幸福牌”亲：=p2-4=32-4=9-4=5>0.当p=-1时，4=p2-4= 参考答案第26页（共55页）