专题突破(二) 一元二次方程与方程(组)、不等式的综合应用(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

x2=9.当x=10时，38-2x=18;当x=9时，38-2x=20 180..B款礼盒的售价不能低于150元，.y=180.答：B >19,不合题意，舍去，答：自行车车棚的长和宽分别为 款礼盒的促销价应定为180元.2.解：(1)设第一批购入甲 18m,10m;(2)不能围成面积为200m的自行车车棚.理 由如下：设AB=ym,则BC=(38-2y)m.根据题意，得 种树苗x棵，乙种树苗y棵.根据题意，得工十=250， 20z+30y=6000. y(38-2y)=200.整理，得y2-19y+100=0.△=(-19)2-4 解得：二150·答：第一托购人甲种树苗150棵，乙种树苗 ×100×1=一39<0，∴.此方程没有实数根..不能围成面 1y=100. 积为200m的自行车车棚.2.D3.解：设彩色纸带的 100棵；(2)设甲树苗的单价上涨a元.根据题意，得(20+ 宽度为xcm.根据题意，得(100-5x)(40一2x)=640×4. a)(150-号×10）+30×100×80%=6000×(1-8%). 整理，得x2-40x十144=0.解得x1=4,x2=36(不符合题 意，舍去).答：彩色纸带的宽度为4cm.4,解： 整理，得a2-10a十24=0.解得a1=4,a2=6..最后数量 (1)1cm或7cm(2)四边形PQCR的面积能为16cm. 不超过第一批甲树苗的80%，∴.150-5a≤150×80%.解得 理由如下：设AP=xcm.根据题意，得x(8一x)=16.整理， a≥6..a=6.150-5×6+100×80%=120+80=200(棵). 得x2-8x十16=0.解得x1=x2=4..PA的长为4cm 答：第二批购买树苗总共200棵.3.解：(1)设每件小商品 时，四边形PQCR的面积为16cm;四边形PQCR的面积： 的售价应定为x元.根据题意，得(60×10+20)(x 5 不能为20cm.理由如下：根据题意，得x(8-x)=20.整 40)=(60-40)×20.整理，得x2-110x+3000=0.解得 理，得x2-8x+20=0.,△=(-8)2-4×1×20=-16< x1=50,x2=60(不合题意，舍去)，答：每件小商品的售价应 0,.该方程无实数根，.四边形PQCR的面积不能为20cm. 专题突破（二）一元二次方程与方程（组）、 定为50元，(2)设该商品需打m折，根据题意，得62.5×0 不等式的综合应用 ≤50.解得m≤8.m为非负整数，∴.m的最大值为8.答： 例题导学 该商品至少需打八折销售， 【例1】解：(1)设去年椒农张大爷售出A种花椒xkg,则售 专题突破（三） 一元二次方程 出B种花椒(900一x)kg.根据题意，得6x十8(900一x)= 与分式方程的综合应用 6000.解得x=600.900一x=900一600=300.答：去年椒 例题导学 农张大爷售出A种花椒600kg,售出B种花椒300kg 【例1】解：(1)设每台B款电器的售价为x元，则每台A款 (2)根据题意，得(6-克0）×2×600+(8+务0)×(300 1 电器的售价为x元.根据题意，得200-1200-1.解得 5 5 -3a)=6000(1十606).整理，得a2-30a=0.解得a1=0 (不合题意，舍去)，a2=30.答：a的值为30，【例2】解： x=240.经检验，x=240是原分式方程的解，且符合题意。 (1)设A网店每箱“爱媛”的售价是x元，每箱“沃柑”的售 答：每台B款电器的售价为240元；(2)设每台A款电器应 价是y元.根据题意，得 /2+)=10解得=30答：A x+2y=130. 1y=50. 降价a元.根据题意，得(100-a)(100+号×20）= 网店每箱“爱媛”的售价是30元，每箱“沃柑”的售价是50 10800.整理，得a2-50a十400=0.解得a1=10,a2=40. 元；(2)设每箱“沃柑”的售价降低了a元.根据题意，得30× 要尽快减少库存，.a=40.答：每台A款电器应降价40 60%×(100+4×号)十1-606(10+4×号)50-a 元.【例2】解：(1)设学校购买绿萝的单价为x元，则购买 =4080.整理，得a2-45a十350=0.解得a1=10,a2=35. 红年的单价为一1)元，根据题意，得10×号- x “沃柑”的单价不低于“爱媛”的单价，.50-a≥30，解得 解得x=16.经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题 a≤20.∴a=10.答：每箱“沃柑”的售价降低了10元. 意.x一1=16-1=15.答：学校购买绿萝的单价为16元，红 【例3】解：(1)设第一次购进玫瑰x株，则购进“肉肉”(500 掌的单价为15元：(2)由(1)可知，学校购买绿萝的数量为 一x)株.根据题意，得5x十8(500一x)≤3160.解得x≥ 1600÷16=100(盆)，红掌的数量为900÷15=60（盆）.根 280.x为非负整数，.x的最小值为280.答：玫瑰至少购 进280株；(2)根据题意，得(280+8m)(10十m一5)十300X 据题意，得100(16+是a）+(60+a)(15+是a） (1-5%)×10-300×8=2522.整理，得m2十40m-84= 1600十900十124a.整理，得a2-8a=0.解得a1=8,a2=0 0.解得m1=2,=-42(不合题意，舍去)，答：m的值为2. (不合题意，舍去).答：a的值为8. 变式练习 变式练习 1.解：(1)设该超市9月26日A款礼盒销售了x盒，则B 1.解：(1)设甲种品牌的洗衣液每瓶的进价为x元，则乙种 款礼盒销售了(350-x)盒.根据题意，得100x十200(350一 x)=50000.解得x=200.350-x=350-200=150.答：该 品牌的洗衣液每瓶的进价为(x十10)元.根据题意，得5000 超市9月26日A款礼盒销售了200盒，B款礼盒销售了 150盒；(2)设B款礼盒的促销价定为y元.根据题意，得 =00解得x=30.经检验，z=30是原分式方程的解， 100×0.8×200×(1+50%)+y[150+5(200-y)]= 且符合题意.x十10=30十10=40.答：甲种品牌的洗衣液 69000.整理，得y2-230y十9000=0.解得y1=50,= 每瓶的进价为30元，乙种品牌的洗衣液每瓶的进价为40 参芳答案 第4页（共55页）专题突破（二） 一元二次方程与方程（组）、不等式的综合应用 A专题概述 【方法点拨】本题主要考查了一元一次方程 一元二次方程的应用题是重庆最近几 的实际应用，一元二次方程的实际应用，解 题的关键是正确理解题意，根据题意找出等 年中考试题的高频考题，解决这类问题的主 量关系，列出方程求解 要步骤：(1)梳理关键信息；(2)找等量关系 【变式练习】 或不等关系；(3)根据这个等或不等的数量 关系，列出所需的代数式，从而列出方程 1.中秋国庆双节同庆，节令商品销售非常火 (组)或不等式（组）；(4)解方程（组）或不等 爆，某超市推出了A,B两款月饼礼盒.已 知A礼盒的售价为100元/盒，B礼盒的售 式（组），求出未知数的解或解集，检验，结合 价为200元/盒，该超市9月26日销售A, 题意和实际情况进行合理的取舍 B两款礼盒共350盒，销售额为50000元. B例题导学 (1)该超市9月26日A,B款礼盒的销量 类型1①)一元二次方程与一元一次方 分别为多少盒？ 程的综合应用 (2)9月27日超市为减少库存，开展了“情 【例1】某区大力发展花椒经济，帮助农民走富 满中秋·礼迎国庆”的促销活动，A款 裕之路.去年花椒大获丰收，椒农张大爷共售 礼盒按原价打八折出售，销量在9月 出A,B两种鲜花椒900kg,A种鲜花椒的售价 26日的基础上增加了50%，老板调研 是6元/kg,B种鲜花椒的售价是8元/kg,全部 发现，B款礼盒每降价1元，日销量就 售出后总销售额为6000元. 在9月26日的基础上增加5盒，且 (1)去年椒农张大爷售出A,B两种花椒各 B款礼盒的售价不能低于150元.若 多少千克？ 要使得9月27日超市的销售额达到 (2)今年花椒又获得丰收，张大爷借助某直 69000元，则B款礼盒的促销价应定 播平台销售鲜花椒，A种鲜花椒让利销 为多少元？ 售，其单价比去年下降了5a元，B种鲜 花椒的单价比去年上涨了a元，结果 A种鲜花椒的销量是去年的2倍，B种 鲜花椒的销量比去年减少了3akg,总销 售额比去年增加了60%，求a的值 ·22· 类型2 一元二次方程与方程组的综 【变式练习】 合应用 2.野火烧不尽，春风吹又生.今年三月，校团 【例2】忠县柑橘品种主要包括爱媛、沃柑、金 委组织师生开展“汇聚青年力量·重建绿 秋砂糖橘等.A网店仅将“爱媛”和“沃柑”装 色山林”缙云山植树活动，购入了第一批 箱售卖，张老师买了2箱“爱媛”，1箱“沃 树苗，经了解，购买甲、乙两种树苗共250 柑”，支付了110元；王老师买了1箱“爱 棵，两种树苗的单价分别为20元和30 媛”，2箱“沃柑”，支付了130元 元，共用去资金6000元 (1)问A网店每箱“爱媛”和“沃柑”的售价分 (1)第一批购入甲、乙两种树苗各多少棵？ 别是多少元？ (2)恰逢植树节在周末，有更多的师生参 (2)A网店经市场调查，按以上售价，两种柑 加到植树活动中来，校团委购入第二 橘每天共能销售100箱，但若一箱“沃 批树苗时发现甲树苗供不应求，单价 柑”的售价每降低2元，则每天两种柑橘 有所上涨，校团委决定，购入甲树苗 的销售总量将增加4箱.所以，该店决定 时，若甲树苗单价每上涨2元，购入数 对“沃柑”降价销售，“爱媛”价格不变.降 量就比第一批甲树苗的数量减少10 价销售后的第一天统计，销售总量中有 棵（最后数量不超过第一批甲树苗的 60%是“爱媛”，且总销售金额为4080 80%),购入乙树苗单价与第一批相 元.若降价后，“沃柑”的单价还是不低于 同，数量是第一批乙树苗的80%，最终 “爱媛”的单价，则每箱“沃柑”的售价降 花费的总资金比第一批减少了8%，则 低了多少元？ 第二批购买树苗总共多少棵？ 【方法点拨】本题考查了二元一次方程组的应 用以及一元二次方程的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出二元一次方程组， ·23· 类型3 一元二次方程与不等式的综 【变式练习】 合应用 3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商 【例3】随着近期我国不断走向转型化进程以 对一款成本价为40元的小商品进行直播 及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为 销售，如果按每件60元销售，每天可卖出 在校大学生的一种职业选择.在校大学生依 20件.通过市场调查发现，每件小商品售 依准备创业，计划在校门口卖植物，第一次 价每降低5元，日销售量增加10件， 购进了玫瑰花和某种多肉植物“肉肉”共500 (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售 株，玫瑰每株进价5元，售价10元；“肉肉” 完该款商品，则每件小商品的售价应 每株进价8元，售价10元. 定为多少元？ (1)由于启动资金有限，第一次购进植物的 (2)小明的线下实体商店也销售同款小商 金额不得超过3160元，则玫瑰至少购进 品，标价为每件62.5元.为提高市场 多少株？ 竞争力，促进线下销售，小明决定对该 (2)第一批植物赶上情人节，销量非常好，依 商品实行打折销售，使其销售价格不 依准备再购进一批，第二批的玫瑰和“肉 超过(1)中的售价，则该商品至少需打 肉”的进价不变.玫瑰的进货量在(1)的 几折销售？ 最少进货量的基础上增加了8株，售价 比第一次提高了m元；“肉肉”的售价和 第一次相同，进货量为300株，但是由于 “肉肉”的耐热性不强，导致有5%“肉肉” 在销售之前已经损坏，无法销售.结果第 二批销售完后依依获利2522元.求m 的值、 【方法点拨】本题芳查了一元二次方程的应 用以及一元一次不等式的应用，解题的关键 是：(1)找准不等关系，列出一元一次不等 式；(2)找准等量关系，列出一元二次方程. ·24·