21.3 实际问题与一元二次方程(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

之：(2)由题意，得x十x=2(m-1),=m.:1十 (2)第四个月进馆288×(1十0.2)≈346（人次），第五个月 进馆288×(1+0.2)≈415（人次）.：400<415，故到第五 1=一2，十=一2，即2m二2=-2.化简，得m+m m2 个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力.【例2】 解：(1)(20+2x)(40-x)（2)根据题意，得(20十 -1=0解得m=5“<分m=12 2 2 2x)(40-x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1= 变式练习 20,x2=10.,要扩大销售量，∴x=20.答：每件衬衫降价 1.C2.03.-24.B5.解：(1)由△=(-3)2-4k≥0， 20元时，平均每天盈利1200元；(3)不可能.理由如下：令 得≤号：(2)由(1)可知k的最大整数值为2.由2-3x+ (20十2x)(40-x)=2000.整理，得x2一30x十600=0.△= (一30)2-4×600=-1500<0，此方程无实数根，故不可 2=0,解得x=1,x2=2.一元二次方程(m-1)x2十x十 能做到平均每天盈利2000元. m一3=0与方程x2一3x十k=0有一个相同的根，∴.当x= 变式练习 1是相同的根时，m一1十1十m一3=0，解得m=多：当x 1.B2.解：(1)设利润的年平均增长率为x.根据题意，得 3(x十1)2=4.32，解得x1=一2.2（不符合题意，舍去），x2 2是相同的根时，4(m-1)十2十m一3=0，解得m=1,又 =0.2=20%.答：利润的年平均增长率为20%；(2)4.32× “m一1≠0，m=1舍去.综上所述，m的值为号.6，解： (0.2十1)=5.184<6.答：该企业2024年的利润不能超过 (1)△=(-2)2-4×(-3m2)=4十12mm2.:12m2≥0，.4十 6亿元.3.A4.解：(1)设每次下降的百分率为x.根据 12m>0,∴.该方程总有两个不相等的实数根；(2)方程 题意，得40(1-x)2=32.4.解得x1=0.1=10%,x2=1.9 的两个实数根分别为α，B,·由根与系数的关系可知，α十3 (不合题意，舍去).答：每次下降的百分率为10%：(2)设每 =2,a8=-3m2.a+28=5,…a=5-2g,.5-29+B=2, 件商品应降价y元.根据题意，得(40-30一)(4×0十 解得β=3..a=5-2×3=-1,.-3m2=-1×3=-3, 解得m=土1. 48=510,解得y=1.5,y2=2.5,为尽快减少库存， 21.3实际问题与一元二次方程 y=2.5.答：每件商品应降价2.5元 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 第3课时几何图形问题 知识梳理 知识梳理 3.(1)10a+b(2)100x+10y+x(3)n-1,n+1 1.(2)平移割补 例题导学 例题导学 【例1】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.根 【例1】解：(1)设鸡场垂直于墙的一边长为xm.根据题意， 据题意，得1+x十x(1十x)=81,即(1十x)2=81.解得x1 得x(33-2x十2)=150.整理，得2x2-35x+150=0.解得 =8,x2=一10（不合题意，舍去）.同理可得，经过三轮感染 后，有(1十x)3台电脑被感染，则(1十x)3=93=729>700. x=10,=号当x=10时，3-2x+2=15,当x=号 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；经过三轮感 时，33一2x十2=20>18，不合题意，舍去.答：鸡场的长为 染后，被感染的电脑会超过700台，【例2】解：设共有x 15m,宽为10m:(2)鸡场的面积不可能达到200m.理由 人参加这次聚会，根据题意，得宁（红-）=210.解得x= 如下：设鸡场垂直于墙的一边长为ym.则y(33一2y十2) =200.整理，得2y2-35y十200=0.△=(-35)2-4×2 21,x2=一20（不合题意，舍去）.答：共有21人参加这次聚 ×200=-375<0,∴.此方程没有实数根，.鸡场的面积不 会，【例3】解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字 可能达到200m,【例2】解：设道路的宽应为xm.根据 为(x-3).根据题意，得x2=10(x一3)十x.整理，得x2 题意，得(32-2x)(20-x)=570.整理，得x2-36x十35= 11x十30=0，解得x1=6,x2=5.当x=6时，x-3=3:当x 0.解得x1=1,2=35(不合题意，舍去).答：道路的宽应为 =5时，x一3=2.答：这个两位数是36或25. 1m. 【例3】解：(1)2tcm(5-t)cm(2)由题意，得(5 变式练习 t)2+(2t)2=52.解得t1=0,t2=2.故当t=0或2时，PQ的 1.B2.1+x十x2=5773.D4.55.D6.解：设十 长度等于5cm:(3)存在t的值，使得五边形APQCD的面 位数字为x,则个位数字为x十3.根据题意，得10x十x十3 积等于26cm.矩形ABCD的面积是6X5=30(cm2).要 =(x十3)2-2.整理，得x2-5x十4=0.解得x1=1,x=4. 使得五边形APQCD的面积等于26cm,则△PBQ的面积 当x=1时，x十3=4，当x=4时，x十3=7.答：这个两位数 为14或47. 为30-26=4(cm),号×2×(6-t)=4,解得t=4, 第2课时平均变化率与销售问题 =1.当t=4时，2t=8>6,不合题意，舍去；当t=1时，2t= 例题导学 2<6,符合题意..此时t的值为1. 【例1】解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x,根据题意， 变式练习 得200(1十x)=288.解得x1=0.2=20%,=-2.2(不 1.解：(1)设AB=xm,则BC=(38一2x)m.根据题意，得 合题意，舍去).答：进馆人数的月平均增长率为20%；： x(38-2x)=180.整理，得x2-19x+90=0.解得x1=10, 参考答案第3页（共55页） x2=9.当x=10时，38-2x=18;当x=9时，38-2x=20 180..B款礼盒的售价不能低于150元，.y=180.答：B >19,不合题意，舍去，答：自行车车棚的长和宽分别为 款礼盒的促销价应定为180元.2.解：(1)设第一批购入甲 18m,10m;(2)不能围成面积为200m的自行车车棚.理 由如下：设AB=ym,则BC=(38-2y)m.根据题意，得 种树苗x棵，乙种树苗y棵.根据题意，得工十=250， 20z+30y=6000. y(38-2y)=200.整理，得y2-19y+100=0.△=(-19)2-4 解得：二150·答：第一托购人甲种树苗150棵，乙种树苗 ×100×1=一39<0，∴.此方程没有实数根..不能围成面 1y=100. 积为200m的自行车车棚.2.D3.解：设彩色纸带的 100棵；(2)设甲树苗的单价上涨a元.根据题意，得(20+ 宽度为xcm.根据题意，得(100-5x)(40一2x)=640×4. a)(150-号×10）+30×100×80%=6000×(1-8%). 整理，得x2-40x十144=0.解得x1=4,x2=36(不符合题 意，舍去).答：彩色纸带的宽度为4cm.4,解： 整理，得a2-10a十24=0.解得a1=4,a2=6..最后数量 (1)1cm或7cm(2)四边形PQCR的面积能为16cm. 不超过第一批甲树苗的80%，∴.150-5a≤150×80%.解得 理由如下：设AP=xcm.根据题意，得x(8一x)=16.整理， a≥6..a=6.150-5×6+100×80%=120+80=200(棵). 得x2-8x十16=0.解得x1=x2=4..PA的长为4cm 答：第二批购买树苗总共200棵.3.解：(1)设每件小商品 时，四边形PQCR的面积为16cm;四边形PQCR的面积： 的售价应定为x元.根据题意，得(60×10+20)(x 5 不能为20cm.理由如下：根据题意，得x(8-x)=20.整 40)=(60-40)×20.整理，得x2-110x+3000=0.解得 理，得x2-8x+20=0.,△=(-8)2-4×1×20=-16< x1=50,x2=60(不合题意，舍去)，答：每件小商品的售价应 0,.该方程无实数根，.四边形PQCR的面积不能为20cm. 专题突破（二）一元二次方程与方程（组）、 定为50元，(2)设该商品需打m折，根据题意，得62.5×0 不等式的综合应用 ≤50.解得m≤8.m为非负整数，∴.m的最大值为8.答： 例题导学 该商品至少需打八折销售， 【例1】解：(1)设去年椒农张大爷售出A种花椒xkg,则售 专题突破（三） 一元二次方程 出B种花椒(900一x)kg.根据题意，得6x十8(900一x)= 与分式方程的综合应用 6000.解得x=600.900一x=900一600=300.答：去年椒 例题导学 农张大爷售出A种花椒600kg,售出B种花椒300kg 【例1】解：(1)设每台B款电器的售价为x元，则每台A款 (2)根据题意，得(6-克0）×2×600+(8+务0)×(300 1 电器的售价为x元.根据题意，得200-1200-1.解得 5 5 -3a)=6000(1十606).整理，得a2-30a=0.解得a1=0 (不合题意，舍去)，a2=30.答：a的值为30，【例2】解： x=240.经检验，x=240是原分式方程的解，且符合题意。 (1)设A网店每箱“爱媛”的售价是x元，每箱“沃柑”的售 答：每台B款电器的售价为240元；(2)设每台A款电器应 价是y元.根据题意，得 /2+)=10解得=30答：A x+2y=130. 1y=50. 降价a元.根据题意，得(100-a)(100+号×20）= 网店每箱“爱媛”的售价是30元，每箱“沃柑”的售价是50 10800.整理，得a2-50a十400=0.解得a1=10,a2=40. 元；(2)设每箱“沃柑”的售价降低了a元.根据题意，得30× 要尽快减少库存，.a=40.答：每台A款电器应降价40 60%×(100+4×号)十1-606(10+4×号)50-a 元.【例2】解：(1)设学校购买绿萝的单价为x元，则购买 =4080.整理，得a2-45a十350=0.解得a1=10,a2=35. 红年的单价为一1)元，根据题意，得10×号- x “沃柑”的单价不低于“爱媛”的单价，.50-a≥30，解得 解得x=16.经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题 a≤20.∴a=10.答：每箱“沃柑”的售价降低了10元. 意.x一1=16-1=15.答：学校购买绿萝的单价为16元，红 【例3】解：(1)设第一次购进玫瑰x株，则购进“肉肉”(500 掌的单价为15元：(2)由(1)可知，学校购买绿萝的数量为 一x)株.根据题意，得5x十8(500一x)≤3160.解得x≥ 1600÷16=100(盆)，红掌的数量为900÷15=60（盆）.根 280.x为非负整数，.x的最小值为280.答：玫瑰至少购 进280株；(2)根据题意，得(280+8m)(10十m一5)十300X 据题意，得100(16+是a）+(60+a)(15+是a） (1-5%)×10-300×8=2522.整理，得m2十40m-84= 1600十900十124a.整理，得a2-8a=0.解得a1=8,a2=0 0.解得m1=2,=-42(不合题意，舍去)，答：m的值为2. (不合题意，舍去).答：a的值为8. 变式练习 变式练习 1.解：(1)设该超市9月26日A款礼盒销售了x盒，则B 1.解：(1)设甲种品牌的洗衣液每瓶的进价为x元，则乙种 款礼盒销售了(350-x)盒.根据题意，得100x十200(350一 x)=50000.解得x=200.350-x=350-200=150.答：该 品牌的洗衣液每瓶的进价为(x十10)元.根据题意，得5000 超市9月26日A款礼盒销售了200盒，B款礼盒销售了 150盒；(2)设B款礼盒的促销价定为y元.根据题意，得 =00解得x=30.经检验，z=30是原分式方程的解， 100×0.8×200×(1+50%)+y[150+5(200-y)]= 且符合题意.x十10=30十10=40.答：甲种品牌的洗衣液 69000.整理，得y2-230y十9000=0.解得y1=50,= 每瓶的进价为30元，乙种品牌的洗衣液每瓶的进价为40 参芳答案 第4页（共55页）21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 A知识梳理 B例题导学 1.传播问题 知识点1 传播问题 传染源消失：a.x"=b. 【例1】某种电脑病毒传播非常快，如果一台 传染源不消失：a(1十x)”=b. 电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台 2.单、双循环比赛和握手问题 电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感 (1)单循环比赛问题：若有n支队伍参赛， 染几台电脑？若病毒得不到有效控制，按照 则共有n(n-1)场比赛； 这样的传播速度，经过三轮感染后，被感染 (2)双循环比赛问题（互赠礼物、互相留 的电脑会不会超过700台？ 言、两者有来有回问题)：若有n支队 【方法点拨】列方程解应用题的关键在于弄 伍参赛，则共有n(n一1)场比赛： 清题目中的数量关系.“传播”问题一般由基 (3)握手问题：若有n人与会，则共握手 数往外分，审题的关键在于第二轮（次）是在 第一轮（次）的基础之上发生变化的，解出方 2(n-1)次. 程后，还要考虑所得的根是否符合实际 3.数字问题 意义 (1)一个两位数，十位数字为a,个位数字 为b,则这个两位数表示为 (2)一个三位数，百位数字为x,十位数字 为y,个位数字为之，则这个三位数表 示为 (3)连续的三个整数，若中间一个数为， 则其余的两个数分别为 4.列一元二次方程解应用题的一般步骤 可归结为六个字：审、设、列、解、验、答， (1)“审”是指审清题意，明确各量之间 的关系； (2)“设”是指设未知数； (3)“列”就是列方程； 【变式练习】 (4)“解”就是解方程； 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有49 (5)“验”就是检验方程的解是否符合实际 人患了流感.设每轮传染中平均一个人传 意义； 染了x人，则x的值为 ( (6)“答”是指写出答案并作答 A.5 B.6 C.7 D.8 ·15· 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每 知识点3数字问题 个支干又长出同样数目的小分支.若主 【例3】一个两位数，个位数字比十位数字大 干、支干和小分支的总数是57，设每个支 3,且个位数字的平方刚好等于这个两位数， 干长出小分支的个数为x,则依题意可列 则这个两位数是多少？ 方程为 ,解得x= 【方法点拨】设个位数字为x,那么十位数字 知识点2 循环问题 是(x一3)，然后根据题意列出方程求解 【例2】在某次聚会上，每两人都握了一次手， 即可. 所有人共握手210次，共有多少人参加这次 聚会？ 【方法点拨】设共有x人，每个人都与另外的 人握手一次，则每个人握手(x一1)次，但需 注意每两人只能握手一次，根据题意列出方 程求解即可. 【变式练习】 5.有两个连续整数，它们的平方和为25，则 这两个数是 ( A.3,4 B.-3,-4 【变式练习】 C.-3,4 D.3,4或-3，-4 3.九(3)班学生毕业时，每个同学都要给其 6.有一个两位数比它的个位数字的平方小 他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学 2,个位数字比十位数字大3，求这个两 生共写了930份留言.如果全班有x名学 位数. 生，那么根据题意，列出方程为 ( A.x(。-1D=930 B.x(x+1D=930 2 C.x(x+1)=930 D.x(x-1)=930 4.为增强学生身体素质，提高学生足球运动 竞技水平.某市开展“健身杯”足球比赛， 赛制为单循环形式（每两个队之间赛一 场)，现计划一共安排10场比赛，则应邀 请 个足球队参赛， ·16· 第2课时 平均变化率与销售问题 A知识梳理 【变式练习】 1.平均增长率中的数量关系 1.学校连续三年组织学生参加义务植树 若增长的基数为a,平均每次增长率为x, 活动，第一年共植树400棵，第三年共 则第一次增长后的数量为a(1十x),第二 植树625棵.设该校的植树棵数的年平 次增长是以a(1+x)为基数的，增长率也 均增长率为x,根据题意，下列方程正 为x,故第二次增长后的数量为a(1+ 确的是 x)2.当问题变为下降（或减产）率为x时， A.625(1-x)2=400 第二次减少后的数量则为a(1一x)2. B.400(1+x)2=625 2.销售问题中的公式 C.625.x2=400 (1)利润=售价一进价； D.400x2=625 (2)利润率=利润 ×100%; 2.受益于国家支持新能源汽车的发展，某地 进价 某汽车零部件生产企业的利润逐年提高， (3)售价=进价×(1十利润率)； 据统计，2021年利润为3亿元，2023年利 (4)总利润=每件利润×销售量=总收入 总支出. 润为4.32亿元. (1)求该企业从2021年到2023年利润的 B例题导学 年平均增长率； 知识点① 增长（下降）率问题 (2)若2024年保持前两年利润的年平均 【例1】某校为响应全民阅读活动，利用工作 增长率不变，该企业2024年的利润能 日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一 否超过6亿元？为什么？ 个月进馆200人次，此后进馆人次逐月增 加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆 人次的月平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力 不得超过400人次，若进馆人次的月平 均增长率不变，到第几个月时，进馆人数 将超过学校图书馆的接纳能力？请说明 理由. ·17· 知识点2营销中的利润问题 【变式练习】 【例2】一款衬衫每件进价为80元，销售价为 3.将进货价格为35元的商品按单价40元 120元时，每天可售出20件，为了扩大销售 售出时，能卖出200个.已知该商品单价 每上涨1元，其销售量就减少5个.设这 量，增加利润，商店决定采取适当的降价措 种商品的单价上涨x元时，可获得1870 施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1 元的利润，则下列方程正确的是( 元，那么平均可多售出2件， A.(x+40-35)(200-5x)=1870 (1)设每件衬衫降价x元时，每天可销售 B.(.x-40)(200-5.x)=1870 件，每件盈利 元；（用 C.(x-35)(200-5x)=1870 含x的代数式表示) D.(x+40-35)(200-10x)=1870 (2)每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利 4.某商场一种商品的进价为每件30元，售 1200元？ (3)要想平均每天盈利2000元，可能做到 价为每件40元，每天可以销售48件，为 尽快减少库存，商场决定降价促销 吗？请说明理由. (1)若该商品连续两次下调相同的百分率 【方法点拨】(1)由销售量=原销售量+因价 格下降而增加的数量，每件利润=实际售价 后售价降至每件32.4元，求每次下降 一进价，列式即可；(2)总利润=每件利润X 的百分率； 销售数量，列方程求解可得；(3)根据(2)中 (2)经调查，如果该商品每降价0.5元，每 相等关系列方程，判断方程有无实数根及实 天可多销售4件，那么每天要想获得 数根是否符合实际即可. 510元的利润，每件商品应降价多 少元？ ·18· 第3课时 几何图形问题 A知识梳理 【变式练习】 1.几何图形面积问题 1.如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简 (1)规则几何图形面积问题：利用对应图 易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后 形的面积计算公式建立一元二次方程 墙（可利用的墙长为19m),另外三边利 的数学模型； 用学校现有总长38m的铁栏围成. (2)不规则几何图形面积问题：利用 D 或 的方法，将不规则几何图形 B 面积问题转化为规则几何图形面积的 (1)若围成的面积为180m,试求出自行 和或差求解， 车车棚的长和宽； 2.几何运动变化问题 (2)能围成面积为200m的自行车车棚 几何运动变化问题，是用“静”的方法来处 吗？如果能，请你给出设计方案；如果 理“动”的问题，即在静态图形中，找出已 不能，请说明理由. 知量与未知量之间的关系， B例题导学 知识点1)规则图形的面积问题 【例1】如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的 一边靠墙，墙对面有一个2m宽的门，另三边 用竹篱笆围成，篱笆总长33m. (1)若墙长为18m,要围成面积为150m2的 鸡场，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)鸡场的面积可能达到200m2吗？请说 明理由. 【方法点拨】(1)若鸡场面积为150m,求鸡 场的长和宽，关键是用一个未知数表示出长 和宽，并注意门的宽度和未知数要符合题 意；(2)先设鸡场的宽为ym,得出长，再根 据面积公式列出方程，计算出△的值，即可 得出答案 18m ·19 知识点2边框与甬道问题 【变式练习】 【例2】如图，在长为32m、宽为20m的矩形 2.如图，某校团委准备在艺术节期间举办学 耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向， 生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、 一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分 宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相 等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面 成大小不等的六块作为试验田，要使试验田 的面积为570m,问道路的宽应为多少？ 的面积相等.若设彩纸的宽度为xcm,根 据题意可列方程为 粥 【方法点拨】本题的等量关系为：试验田的面 A.(30+x)(20+x)=600 积=试验田的长×宽.注意长与宽需减去对 B.(30+2x)(20+2x)=600 应道路的宽度，同时求出的结果要符合实际 C.(30-2x)(20-2x)=1200 情况. D.(30+2x)(20+2x)=1200 3.传统文化四大发明造纸术、印刷术、指南针 和火药是中国古代四大发明.这些发明对 人类文明发展产生了深远的影响.某校科 技节活动中，计划在如图所示的长 100cm,宽40cm的展板上展出介绍四大 发明的海报，每幅海报的面积均为 640cm2.若展板外沿与海报之间、相邻海 报之间均贴有宽度为xcm的彩色纸带， 求彩色纸带的宽度 100cm 术 仰刷术 40 cm ·20· 知识点3动态几何问题 【变式练习】 【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=5cm, 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终 BC=8cm.一动点P从点A出发沿AB 向点B移动，过点P作PR∥BC,PQ∥ 点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开 AC分别交AC,BC于点R,Q, 始沿边BC向终点C以2cm/s的速度运 (1)当PA= 时，四边形PQCR 动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发， 的面积为7cm; 当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运 (2)四边形PQCR的面积能否为16cm? 动时间为ts. ,PB= 能否为20cm?如果能，求出PA的 (1)填空：BQ= 长；如果不能，请说明理由. (均用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm？若存在，请求出此 时t的值；若不存在，请说明理由 BQ→ 【方法点拨】动点问题要弄清楚运动的起、始 位置，运动的路径、速度和运动的时间，把运 动的路程用速度、时间表示出来，建立关系 式求解即可 ·21·