精品解析：陕西省咸阳市乾县晨光中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年晨光中学高三第二次月考 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合是小于5的正整数}，，则元素个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件和事件满足：，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于y轴对称 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则___________. 13. 记数列的前n项和为，若，且，则___________． 14. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 16. 已知函数的图象过原点. （1）求的值及的最小正周期； （2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值. 17. 已知函数与的图像都过点，且在点处有公共切线． （1）求的表达式； （2）过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． （1）若，，求向量夹角的余弦值； （2）若向量共线． （ⅰ）求证：是直角三角形； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年晨光中学高三第二次月考 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合是小于5的正整数}，，则元素个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】化简两个集合，再根据交集的定义运算求出. 【详解】由题意可知，，或， 则，则元素个数为. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：， 故解集为：， 故选：D. 4. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 5. 已知事件和事件满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据概率的加法公式求出，再利用条件概率公式计算求解． 【详解】， ， ． 故选：D． 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性，借助基本不等式比较大小. 【详解】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于y轴对称 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求得或，进而有或，结合幂函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由是幂函数，则， 所以或，故或，A错， 所以或，B对， 显然、都是偶函数，C对， 由，而，故，D对. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用周期公式计算；选项B，代入看是否满足对称轴方程；选项C，通过解不等式确定的范围，结合正弦函数单调性判断；选项D，先求出的表达式，再代入值判断是否为零点. 【详解】选项A，的最小正周期为，所以A正确； 选项B，因为，所以的图象关于直线对称，所以B正确； 选项C，由，可得，则在上单调递增，所以C正确； 选项D，，，所以D不正确. 故选：ABC. 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可. 【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得，故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则，故D正确． 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数导数的定义，求出指定导数值即可. 【详解】由题意得，， 则，可知； 故答案为：1. 13. 记数列的前n项和为，若，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，利用递推关系得是以为首项，2为公比的等比数列，由此得表达式，进而结合即可得解. 【详解】由题意，所以，解得， 当时，， 所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 又因为，所以. 故答案为：. 14. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由“局部奇函数”的定义可知，存在，使得，结合基本不等式可求出实数的最小值. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，存在，使得，即， 可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； 【小问2详解】 由中线向量可得：， 则， 所以. 16. 已知函数的图象过原点. （1）求的值及的最小正周期； （2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数图象过原点求得，然后利用三角恒等变换化简函数，利用周期公式求解周期； （2）先利用换元法求解函数的单调递增区间，利用子集关系建立不等式求解即可. 【小问1详解】 由得.所以 . 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 由（），得（）. 所以的单调递增区间为（）. 因为在区间上单调递增，且，此时， 所以，故的最大值为. 17. 已知函数与的图像都过点，且在点处有公共切线． （1）求的表达式； （2）过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用两个函数有公共点，以及导数的几何意义，列式求解； （2）首先设切点，再结合导数的几何意义，即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，得，， 则，， ， 又在点处有公切线，故可得， 即，得，那么 所以， 【小问2详解】 由（1）知，，， 设切点， 则切线的斜率为， 即，又点在第三象限内，故解得， 即. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． （1）若，，求向量夹角的余弦值； （2）若向量共线． （ⅰ）求证：是直角三角形； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ） 若向量共线，且，， 则，即， 可得， 则， 因为，则，可知，， 可得，即，可得， 且，则，可得， 则，所以是直角三角形； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合向量的坐标运算求夹角的余弦值； （2）（ⅰ）由向量平行可得，利用三角恒等变换可得，进而分析证明；（ⅱ）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，换元，根据正弦函数、二次函数的性质求取值范围. 【小问1详解】 若，，则，， 可得，，， 则， 所以向量夹角的余弦值为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知：， 由正弦定理得： ， 令， 因为，则，， 可得，且， 则， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 可知在区间内单调递增，且，， 可得，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $