第3章 函数 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版）

第三章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 函数的定义域 函数的值域　 已知分段函数的函数值求参数值 分段函数的实际应用 函数图象——由图辨式 利用二次函数的图象求函 数值 抽象函数求值 利用函数的奇偶性、单调性与对称性比较大小 函数单调性的判断　 奇函数的性质及应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 嵌套函数零点个数问题　　 分段函数的实际应用 分段函数的奇偶性与单调性的应用 函数的最值　 求函数值、函数单调性的判断与证明 函数的奇偶性、单调性与最值的综合 二次函数零点的求解及应用 函数的奇偶性与单调性的综合应用 分段函数的实际应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 时间：120分钟　　　满分：150分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 2．函数f(x)＝x2－4x＋1，x∈[2，5]的值域是(　　) A．[1，6] B．[－3，1] C．[－3，6] D．[－3，＋∞) 解析：因为f(x)＝(x－2)2－3，函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，又f(2)＝－3，f(5)＝6，所以f(x)＝x2－4x＋1，x∈[2，5]的值域是[－3，6]． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 解析：当a>0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4.因此实数a＝－4或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： ①如果不超过200元，则不给予优惠； ②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠； ③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款(　　) A．413.7元 B．513.7元 C．548.7元 D．546.6元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 解析：因为168<200×0.9＝180，所以第一次购物原价为168元，因为200×0.9＝180<423<500×0.9＝450，所以第二次购物原价为423÷0.9＝470元，两次购物原价的和为168＋470＝638元，若合一次付款，应付500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 解析：由题图知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除A，D；对于C，当x＝0时，f(0)＝－1，与图象不符，排除C.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 6．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝(　　) A．56 B．112 C．0 D．38 解析：由二次函数图象的性质，得当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝112. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值为－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值为1 C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数 D．若x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，f(x)＝－x2＋x 解析：f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，所以A正确；f(x)的图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，所以B正确，C不正确；对于D，当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x，所以D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 11．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．方程f(g(x))＝0有且仅有6个实根 B．方程g(f(x))＝0有且仅有4个实根 C．方程f(f(x))＝0有且仅有5个实根 D．方程g(g(x))＝0有且仅有5个实根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 解析：对于A，满足f(x)＝0的x值在区间[－2，2]上有三个，把这三个看作g(x)对应的y值，则当g(x)等于这三个值中的每个时，都有两个值与之对应，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个实根，A正确；对于B，满足g(x)＝0的x值在区间[－2，2]上有两个，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(0，1)上，把这两个看作f(x)对应的y值，则当f(x)等于这两个值时，在区间(－2，－1)上只有一个x值与之对应，在区间(0，1)上有三个x值与之对应，故方程g(f(x))＝0有且仅有4个实根，B正确；对于C，满足f(x)＝0的x值在区间[－2，2]上有三个，把这三个再看作f(x)对应的y值，在区间(－2，－1)上只有一个x值与之对应，在区间(1，2)上也只有一个x值与之对应，而f(x)＝0所对应的x值有三个，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个实根，C正确；对于D，由同样的方法可知方程g(g(x))＝0有且仅有4个实根，D错误．故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现一零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品________千克． 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 －1 (1，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 14．对任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 16．(本小题满分15分)定义在R上的偶函数f(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－x2＋4x－1. (1)求函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式； (2)求函数f(x)在[－2，3]上的最大值和最小值． 解：(1)当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝－x2－4x－1， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)＝－x2－4x－1，x∈(0，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)． (1)若a＝－1，求函数f(x)的零点； (2)若函数f(x)在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1， 令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1. 所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 　　　　　　　　　　　　　 R 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝eq \f(\r(x－1),x－2)的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．[1，2) D．[1，2)∪(2，＋∞) 解析：根据题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥1且x≠2. 3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0，,x2，x>0.))若f(a)＝4，则实数a＝(　　) A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(　　) A．f(x)＝eq \f(1,|x－1|) B．f(x)＝eq \f(1,||x|－1|) C．f(x)＝eq \f(1,x2－1) D．f(x)＝eq \f(1,x2＋1) 7．已知定义域为R的函数f(x)满足f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈R)，且f(x)>0，若f(1)＝eq \f(1,2)，则f(－2)＝(　　) A．2 B．4 C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4) 解析：令a＝b＝0，得f(0)＝1，再令b＝－a，则f(a)f(－a)＝f(0)＝1，∴f(－a)＝eq \f(1,f（a）)，又f(2)＝f(1)f(1)＝[f(1)]2＝eq \f(1,4)，∴f(－2)＝eq \f(1,f（2）)＝4. 8．二次函数f(x)＝ax2＋2a(a≠0)是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，g(3)的大小关系为(　　) A．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0)<g(3) B．g(0)<geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(3) C．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(3)<g(0) D．g(3)<geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0) 解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,－a＝－a2，))解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2，所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(0)＝g(2)．又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(2)<g(3)，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0)<g(3)． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列四个函数中，在(－∞，0]上为减函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝eq \f(1,x) 解析：对于A，f(x)＝x2－2x的单调递减区间为(－∞，1]，故A符合题意；对于B，f(x)＝2x2的单调递减区间为(－∞，0]，故B符合题意；对于C，f(x)＝x＋1在R上是增函数，故C不符合题意；对于D，f(x)＝eq \f(1,x)中x≠0，故D不符合题意．故选AB. 解析：由题意可得批发这种商品所需费用y(单位：元)与数 量Q(单位：千克)之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(37Q，0<Q≤10，,32Q，10<Q≤50，,30Q，50<Q≤100，,27Q，100<Q≤150，,25Q，Q>150，)) 从而易得30×50<2700<30×100，故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故最多可购买这种商品eq \f(2700,30)＝90千克． 13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,ax2＋bx，x<0))为奇函数，则a－b＝________；若f(x)在区间[－1，m－2]上单调递增，则实数m的取值范围为________． 解析：当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x，所以a＝1，b＝2，所以a－b＝－1.f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，))由二次函数图象的特征，知f(x)在[－1，1]上单调递增，若函数f(x)在区间[－1，m－2]上单调递增，则[－1，m－2]⊆[－1，1]，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2>－1，,m－2≤1，))解得1<m≤3，所以实数m的取值范围是(1，3]． 解析：不妨设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，当2－x2>x，即－2<x<1时，h(x)＝x.当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.故h(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，－2<x<1，,2－x2，x≥1或x≤－2.))其图象如图中实线部分，当x≤－2或x≥1时，为抛物线的一部分，当－2<x<1时，为线段．由图象可知，当x＝1时，h(x)取最大值1.所以min{f(x)，g(x)}的最大值为1. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝2x－eq \f(a,x)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明． 解：(1)因为f(x)＝2x－eq \f(a,x)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－2a＝3，解得a＝－1. (2)由(1)得f(x)＝2x＋eq \f(1,x)，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．证明如下： 设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(1,x2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1＋\f(1,x1))) ＝2(x2－x1)＋eq \f(x1－x2,x1x2)＝(x2－x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x1x2)))， 由x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，知x2－x1>0，x1x2>1，eq \f(1,x1x2)<1， 所以2－eq \f(1,x1x2)>0，所以f(x2)－f(x1)>0， 故函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增． (2)因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－4x－1，x>0，,－x2＋4x－1，x≤0，)) f(x)在[－2，0]上单调递增，在(0，3]上单调递减， 所以f(x)max＝f(0)＝－1， f(x)min＝min{f(－2)，f(3)}＝－22， 即函数f(x)在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22. (2)①当a＝0时，f(x)＝2x－2，由2x－2＝0得x＝1，符合题意； ②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a＋2,a)))， 则x1＝1，x2＝－eq \f(a＋2,a)， 由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点， 则－eq \f(a＋2,a)≥1或－eq \f(a＋2,a)≤0，解得－1≤a<0或a≤－2， 综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0]． 18．(本小题满分17分)函数f(x)＝eq \f(ax－b,9－x2)是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(1)＝eq \f(1,8). (1)求f(x)的解析式； (2)判断并证明f(x)的单调性； (3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0. 解：(1)因为函数f(x)＝eq \f(ax－b,9－x2)是定义在(－3，3)上的奇函数，所以f(0)＝0， 又f(1)＝eq \f(1,8)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝\f(0－b,9－0)＝0，,f（1）＝\f(a－b,9－1)＝\f(1,8)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))故f(x)＝eq \f(x,9－x2). (2)f(x)＝eq \f(x,9－x2)是定义在(－3，3)上的增函数．证明如下： 任取x1，x2∈(－3，3)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝2,1)eq \f(x1,9－x) －2,2)eq \f(x2,9－x) ＝2,1)eq \f(（9＋x1x2）（x1－x2）,（9－x）（9－xeq \o\al(2,2)）) ， 因为－3<x1<x2<3， 所以9＋x1x2>0，x1－x2<0，9－xeq \o\al(2,1)＞0，9－xeq \o\al(2,2)>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x)＝eq \f(x,9－x2)是定义在(－3，3)上的增函数． (3)因为f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，所以－f(t)＝f(－t)， 则f(t－1)＋f(t)<0⇔f(t－1)<－f(t)⇔f(t－1)<f(－t)， 又因为f(x)是定义在(－3，3)上的增函数， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t－1<－t，,－3<t－1<3，,－3<－t<3，,－3<t<3，))解得－2<t<eq \f(1,2). 19． (本小题满分17分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)(单位：万元)．在年产量不足8万件时，W(x)＝eq \f(1,3)x2＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq \f(100,x)－38.每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意，得 当0<x<8时，L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq \f(1,3)x2＋4x－3. 当x≥8时，L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))). 所以L(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.)) (2)当0<x<8时，L(x)＝－eq \f(1,3)(x－6)2＋9， 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9. 当x≥8时，L(x)＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq \r(x·\f(100,x))＝35－20＝15. 此时，当且仅当x＝eq \f(100,x)，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元． 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． $