1.2.1 命题与量词-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦命题与常用逻辑用语，系统讲解命题概念、全称量词与存在量词的含义及命题构成，通过实例判断语句是否为命题衔接集合知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解前后知识脉络。 其亮点在于以题型分类（命题判断、量词命题辨析、真假判断、参数范围求解）和感悟提升总结方法，结合数学抽象（概念形成）与逻辑推理（真假判断、参数问题论证），如通过矩形对角线、素数是否奇数等实例教学，学生能提升抽象与推理素养，教师可借助分层练习（基础到拔高）高效开展教学。

第一章　集合与常用逻辑用语 1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 (教师独具内容) 课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题的构成以及全称量词命题和存在量词命题真假的判断． 教学难点：对全称量词命题与存在量词命题真假的判断． 核心素养：1.通过学习全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题这些概念培养数学抽象素养.2.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　命题及相关概念 ________________________就是命题，而且，_______________称为真命题，________________称为假命题． 知识点二　全称量词与全称量词命题 (1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为__________，用符号“___”表示．含有全称量词的命题，称为_______________． (2)全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可简记为∀x∈M，r(x)． [说明]　有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”． 可供真假判断的陈述语句 判断为真的语句 判断为假的语句 全称量词 全称量词命题 ∀ 核心概念掌握 5 知识点三　存在量词与存在量词命题 (1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为__________，用符号“_____”表示．含有存在量词的命题，称为______________． (2)存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，可简记为∃x∈M，s(x)． 存在量词 ∃ 存在量词命题 核心概念掌握 6 1．(存在量词命题的判断)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是_______，该量词是________量词．(填“全称”或“存在”) 2．(全称量词命题的判断)“负数没有平方根”是____________命题．(填“全称量词”或“存在量词”) 3．(利用含有量词命题的真假求参数的取值范围)若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________． 有些 存在 全称量词 (－∞，3] 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型一　命题及命题真假的判断 解析　A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C中不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假． (1)下列语句为命题的是(　　) A．x－1＝0 B．2＋3＝8 C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树 核心素养形成 9 (2)(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．若x＋y>0，则x>0且y>0 B．矩形的对角线相等 C．若m≥1，则m＋3＜4的解集是R D．若a＋7是无理数，则a是无理数 解析　对于A，当x＝－1，y＝2时，有x＋y>0，但x<0，y>0，故A为假命题；对于B，矩形的对角线相等是真命题；对于C，若m≥1，则m＋3<4的解集是∅，故C为假命题；对于D，若a＋7是无理数，则a是无理数，是真命题．故选BD. 核心素养形成 10 【感悟提升】　 1．判断一个语句是不是命题的三个关键点 (1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)命题的语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 2．判断一个命题真假的方法 判断一个命题为真命题，应进行严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可． 核心素养形成 11 【跟踪训练】　 1．下列语句为命题的是______，为真命题的是_____，为假命题的是____．（填序号) ①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？ ③22024是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}中的元素； ⑤作△ABC≌△A′B′C′. 解析：①是陈述句，且能判断真假，故其为命题，又0既不是正数也不是负数，所以其为假命题；②不是陈述句，故其不是命题；③不能断定真假，故其不是命题；④是陈述句，且能判断真假，故其为命题，易知其为真命题；⑤不是陈述句，故其不是命题． ①④ ④ ① 核心素养形成 12 题型二　全称量词命题与存在量词命题的判断 核心素养形成 13 核心素养形成 14 【感悟提升】　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就肯定不是全称量词命题或存在量词命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题． (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 核心素养形成 15 【跟踪训练】　 2．判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形都是正方形； (3)有些素数的和仍是素数； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． 解：(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改写为：所有的矩形都是正方形，故为全称量词命题． (3)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． (4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． 核心素养形成 16 判断下列命题的真假： (1)∃x∈Z，x3＋2<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 题型三　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 核心素养形成 17 解　(1)因为－2∈Z，且(－2)3＋2＝－6<1， 所以“∃x∈Z，x3＋2<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 核心素养形成 18 【感悟提升】　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x0的存在性，若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题． 核心素养形成 19 【跟踪训练】　 3．(1)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x＋1>0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析：对于A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不符合题意；对于B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不符合题意；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C符合题意；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不符合题意．故选C. 核心素养形成 20 (2)(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 解析：当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B错误，C，D正确．故选CD. 核心素养形成 21 题型四　利用含有量词命题的真假求参数的取值范围 解　∵∀x∈[1，2]，x2－m≥0成立， ∴x2－m≥0在x∈[1，2]上恒成立． 又y＝x2－m在[1，2]上的最小值为1－m， ∴1－m≥0，解得m≤1. ∴实数m的取值范围是(－∞，1]． 已知命题“∀x∈[1，2]，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围． 核心素养形成 22 [条件探究]　若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：∵∃x∈[1，2]，x2－m≥0成立， ∴x2－m≥0在x∈[1，2]上有解． 又函数y＝x2在[1，2]上的最大值为22＝4， ∴4－m≥0，即m≤4. ∴实数m的取值范围是(－∞，4]． 核心素养形成 23 【感悟提升】　应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． (2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 核心素养形成 24 【跟踪训练】　 4．(1)是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由． 解：不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可． 故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4. 核心素养形成 25 (2)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求实数m的取值范围． 解：不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5. 令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin. 又t＝(x－1)2＋4，所以tmin＝4，所以m>4. 所以实数m的取值范围是(4，＋∞)． 核心素养形成 26 随堂水平达标 1．下列语句中命题的个数为(　　) ①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①④是命题，②③不是命题．故选C. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 2．下列命题中，是存在量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘0都等于0 B．自然数都是正整数 C．对任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．一定存在没有最大值的二次函数 解析：D是存在量词命题． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 3．(多选)下列命题中，是全称量词命题的是(　　) A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．对任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0 解析：A中含有存在量词，是存在量词命题；B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；C可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；D是全称量词命题．故选BCD. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 4．(多选)下列命题中，是存在量词命题且是假命题的是(　　) A．∃x∈R，|x|＋2≤0 B．存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立 C．每个二次函数的图象都与x轴相交 D．∃x∈R，x2＝x 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 5．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：∵对任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8，即实数a的取值范围是(－∞，8]． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 命题的 判断　 全称量词命题的 判断 存在量词命题的 判断 命题真假的 判断　 全称量词命题及其真假的 判断 全称量词命题、存在量词命题真假的判断 全称量词命题、存在量词命题的符号表示及其真假的判断 全称量词命题的符号表示 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 全称量词命题、存在量词命题及其真假的判断 利用全称量词命题的真假求参数范围 全称量词命题、存在量词命题及其真假的判断 全称量词命题、存在量词命题的符号表示及其真假的判断 命题的 判断　 全称量词命题、存在量词命题真假的判断 利用存在量词命题的真假求参数范围 利用全称量词命题的真假求参数范围 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 一、单选题 1．下列语句中，命题的个数是(　　) ①空集是任何集合的子集；②求证9是无理数；③若x∈R，则x2－x＋1＝0；④面积相等的三角形是全等三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①③④是命题，②不是命题．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 2．给出下列命题： ①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除以0，都等于0. 其中全称量词命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 3．下列命题是存在量词命题的是(　　) A．等腰三角形是锐角三角形 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 解析：A，B，D中的命题都是全称量词命题，C中的命题是存在量词命题．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 4．下列四个命题中为假命题的是(　　) A．若x>1，则x2>1 B．梯形不是平行四边形 C．全等三角形的面积相等 D．x2＋xy－y2≥0 解析：对于A，若x>1，则x2>1，故A是真命题；对于B，梯形是四边形，但不是平行四边形，故B是真命题；对于C，全等三角形的面积一定相等，故C是真命题；对于D，当x＝0，y＝2时，x2＋xy－y2＝－4<0，故D是假命题．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 5．下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x3>0 B．∀x，y∈R，x2＋y2>0 C．∀x∈Q，x2∈Q D．∃x∈Z，x2>1 解析：首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x3＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 7．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，B＝{x|x>3}，则下列命题为真命题的是(　　) A．∃m∈A，m∉B B．∃m∈B，m∉A C．∀m∈A，m∈B D．∀m∈B，m∈A 解析：因为A＝{y|y＝x2＋2}＝{y|y≥2}，B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以A，D为真命题，B，C为假命题．故选AD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 三、填空题 8．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为______________． 解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0. ∀x≤0，x3≤0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 9．给出下列命题： ①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°. 其中，既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号) 解析： ①②③都是全称量词命题，且都为真命题，④⑤⑥都是存在量词命题，但其中只有④⑤是真命题． ①②③ ④⑤ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 10．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是____________． 解：由题意可得a<x2＋2x，又因为当x∈R时，x2＋2x＝x2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1≥－1，所以当p为真命题时，实数a的取值范围是(－∞，－1)． (－∞，－1) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 四、解答题 11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假． (1)存在x，使得x－2≤0； (2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)三角形的两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 解：(1)存在量词命题．因为当x＝2时，x－2＝0，所以存在量词命题“存在x，使得x－2≤0”是真命题． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 (2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题． (3)全称量词命题．由三角形的三边关系可知全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题． (4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　) A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 15．已知命题p：“∃x∈[－1，1]，2x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”，若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围． 解：若命题p为真命题，即∃x∈[－1，1]，a≤2x2， 即a小于等于2x2的最大值， 所以a≤2； 若命题q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋2－a＝0有实根， 所以Δ＝4－4×1×(2－a)≥0， 解得a≥1. 因为命题p和命题q都是真命题， 所以实数a的取值范围为[1，2]． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 16．若函数y＝ax2＋2ax＋3＋a，且∀x∈R，y≥0恒成立，求实数a的取值范围． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 　　　　　　　　　　　　　 R (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2(a＋b－1)； (4)存在整数x，使得eq \r(x2)＝x. 解　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是全称量词命题，表示为∀a，b∈R，a2＋b2≥2(a＋b－1)． (4)是存在量词命题，表示为∃x∈Z，eq \r(x2)＝x. 解析：对于A，∵∀x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，∴不存在x∈R，使|x|＋2≤0.故该命题为存在量词命题且是假命题；对于B，∵x2＋x＋8＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(31,4)>0，∴该命题为存在量词命题且是假命题；对于C，该命题是全称量词命题且是假命题，如存在二次函数y＝x2＋x＋1的图象与x轴不相交；对于D，该命题是存在量词命题且是真命题，如当x＝0或1时，x2＝x均成立．故选AB. (－∞，8] 二、多选题 6．下列说法错误的是(　　) A．对所有的正实数t，有eq \r(t)<t B．存在实数x，使x2－3x－4＝0 C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0 D．对任意实数x，|x＋1|≤1且x2>4 解析：对于A，当t＝eq \f(1,4)时，eq \r(t)>t，所以A错误；对于B，由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，所以B正确；对于C，由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C错误；对于D，当x＝0时，不成立，所以D错误．故选ACD. 12．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断命题的真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；真命题． (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题． 如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个． (3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10；真命题． (4)∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数；真命题． 14．(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R，|x|＋1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0 C．∃x∈R，eq \f(1,x)<1 D．∃x∈R，5x－3＝2 解析：对于A，因为x∈R，所以|x|＋1>0，故A是真命题；对于B，因为x∈N＋，所以当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2>0矛盾，故B是假命题；对于C，当x>1时，eq \f(1,x)<1，故C是真命题；对于D，当x＝1时，5x－3＝2，故D是真命题． 解：若a＝0，则y＝3>0，符合题意； 若a≠0，则y＝ax2＋2ax＋3＋a是二次函数， ax2＋2ax＋3＋a≥0恒成立， 只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,（2a）2－4a（3＋a）≤0，)) 解得a>0. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥0}． $