1.1.1 第1课时 集合的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合 1.1.1　集合及其表示方法 第1课时　集合的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.在具体情境中，了解空集的含义． 教学重点：1.集合的概念.2.元素与集合的关系.3.集合中元素的特性． 教学难点：1.对空集含义的理解.2.应用集合中元素的特性解决问题． 核心素养：1.通过对集合、元素、有限集、无限集等概念的学习培养数学抽象素养.2.通过应用集合中元素的特性解决问题培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　集合与元素的定义 (1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个_____(有时简称为____)． (2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的____． (3)表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示______，用英文小写字母a，b，c，…表示集合的_____． [说明]　(1)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义． (2)组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素． 集合 集 元素 集合 元素 核心概念掌握 5 知识点二　元素与集合的关系 (1)“属于”：如果a是集合A的元素，就记作_____，读作“_______”． (2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作______，读作“___________”． 知识点三　空集 一般地，我们把不含任何元素的集合称为______，记作____． 知识点四　集合中元素的三个特性 (1)_______ ：集合的元素必须是确定的，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来． (2)________：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素． (3)_______ ：集合中的元素可以任意排列． a∈A a属于A a∉A a不属于A 空集 ∅ 确定性 互异性 无序性 核心概念掌握 6 知识点五　集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素_________，就称这两个集合相等，记作______． [想一想]　由－1，4，5构成的集合与由64，－1，125的立方根构成的集合是否相等？ 完全相同 A＝B 提示：相等．因为构成这两个集合的元素完全相同，所以这两个集合相等． 核心概念掌握 7 (2)空集可以看成包含___个元素的集合，所以空集是_____集． 知识点七　几种常见的数集及表示符号 有限 无限 0 有限 名称 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ____ ___或____ ______ _____ ____ N N＋ Z Q R N* 核心概念掌握 8 ∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∈ 3 核心概念掌握 9 核心素养形成 下列所给的对象能构成集合的是________． ①所有的正三角形； ②高一数学必修第一册课本上的所有难题； ③某校高一年级的全体女生； ④平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点； ⑤参加某运动会的年轻运动员． 题型一　集合的概念 解析　①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；②不能构成集合．因为“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；③能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”；④能构成集合．其中的元素是“到原点的距离等于1的点”；⑤不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合． ①③④ 核心素养形成 11 【感悟提升】　判断一组对象能否构成集合的方法 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，a3，…，an均不相同)能否构成集合的过程如下： 核心素养形成 12 核心素养形成 13 题型二　元素与集合的关系 核心素养形成 14 0，3，4，5 核心素养形成 15 【感悟提升】　判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件． 核心素养形成 16 ∉ ∈ ∉ ∉ ∈ ∉ 核心素养形成 17 (2)已知集合A中的元素满足2x＋a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为____________． －4<a≤－2 核心素养形成 18 题型三　集合中元素的特性及应用 解　(1)由－3∈A且a2＋1≥1， 可知a－3＝－3或2a－1＝－3， 当a－3＝－3时，a＝0； 当2a－1＝－3时，a＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． 故a＝0或－1. 　 已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若－3∈A，求a的值； (2)若x2∈B，求实数x的值． 核心素养形成 19 (2)因为x2∈B， 所以x2＝0或x2＝1或x2＝x， 则x＝0或x＝1或x＝－1， 由集合元素的互异性，知x≠0，x≠1， 故x＝－1. 核心素养形成 20 【感悟提升】　利用集合中元素的互异性求参数 (1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． (2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 核心素养形成 21 【跟踪训练】　 3．已知集合A包含三个元素：a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值． 核心素养形成 22 题型四　集合相等 　 已知集合A含有三个元素1，a，b，集合B含有三个元素a，a2，ab，若A＝B，求a2025＋b2024的值． 核心素养形成 23 【感悟提升】　集合相等的应用方法 根据两个集合相等求集合的待定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立方程(组)，要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要将方程(组)的解代入原集合检验，对不符合题意的解要舍去． 核心素养形成 24 核心素养形成 25 题型五　集合的分类 解　(1)能构成集合，是无限集． (2)小于18的素数是2，3，5，7，11，13，17.只有2是偶数，其余的都是奇数，所以能构成集合，是有限集． 核心素养形成 26 核心素养形成 27 【感悟提升】　判断集合分类的方法 判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数． 【跟踪训练】　 5．指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集还是无限集． (1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数． 核心素养形成 28 核心素养形成 29 随堂水平达标 1．下列所给的对象不能组成集合的是(　　) A．英文26个字母 B．二元一次方程x＋y＝1的解 C．我们班年龄较小的同学 D．亚洲的所有国家 解析： C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 2．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a的值为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：集合A中含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A.当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，∴a＝2符合题意；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，∴a＝4符合题意；当a＝6∈A时，6－a＝0∉A.综上所述，a＝2或4.故选B. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．集合N与集合N＋是同一个集合 B．集合N中的元素都是集合Z中的元素 C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素 D．集合Q中的元素都是集合R中的元素 解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A，C中的说法不正确，B，D中的说法正确．故选BD. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 4．设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝____，y＝________． 1 0 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 5．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a＝________． 0或1 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 集合的定义　 集合中元素的特性——求元素个数 元素与几种常见数集的关系 由元素与集合的关系求参 数值 集合中元素的特性——分类讨论求元素 个数 有限集的定义 集合中元素的意义、元素与集合的关系——直接法 空集的定义　 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 由元素的个数求参数 由集合相等求参数　 元素与集合的关系——推 理法 集合中元素的特性、元素与集合的关系的应用 集合中元素特性的应用　　 集合的新定义问题——求元素个数 集合中元素的特性——分类讨论求元素个数 集合的新定义问题——证明问题 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 一、单选题 1．现有以下说法，其中正确的是(　　) ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③我校所有聪明的学生构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 解析：对于①，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；对于②，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；对于③，“聪明的学生”的标准不明确，所以不能构成集合，故③错误；对于④，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 2．2023年杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”．若这三个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：由集合中元素的互异性知，两个“琮”相同，去掉一个，两个“莲”相同，去掉一个，两个“宸”相同，去掉一个，所以集合M中有3个元素．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 4．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的所有解组成的集合，且2∈A，则实数a的值为(　　) A．－5 B．－4 C．4 D．5 解析：因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 解析：方程x2－6x－16＝0的根为－2，8；大于0且小于5的实数有无穷多个；小于22的素数为2，3，5，7，11，13，17，19；倒数等于它本身的实数为±1.故选ACD. 二、多选题 6．下列给出的对象构成的集合是有限集的是(　　) A．方程x2－6x－16＝0的根 B．大于0且小于5的实数 C．小于22的素数 D．倒数等于它本身的实数 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 7．集合A中的元素y满足y＝x2＋1，集合B中的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列元素与集合的关系中正确的是(　　) A．2∈A B．(1，2)∈A C．2∈B D．(3，10)∈B 解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为(x，y)，是点集，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.故选AD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 三、填空题 8．下列集合中，是空集的是________(填序号)． ①集合A中的元素是大于8且小于5的实数； ②集合B中的元素是方程|x|＋1＝0在R内的根； ③集合C中只有一个元素0； ④集合D中有0个元素． 解析： 因为满足大于8且小于5的实数不存在，故集合A是空集；因为方程|x|＋1＝0在R内无根，故集合B是空集；因为空集是不含任何元素的集合，故集合C不是空集，集合D是空集． ①②④ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 9．已知集合P中有三个元素，且集合P中的元素x满足x∈N，2<x<a，则整数a＝________． 解析：∵x∈N，2<x<a，且集合P中有三个元素，∴易知整数a＝6. 6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 1 －2 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 12．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求元素x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值． 解：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0且x≠3. (2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2. 由于方程x2－2x＋2＝0无实数解， 所以x＝－2. 由(1)，知x＝－2满足条件． 故x＝－2. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 13．若集合M中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：因为a，b，c是集合M中的三个元素，所以a，b，c互不相等．又a，b，c是△ABC的三边长，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 14．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________． 解：若a∈P，b∈Q，则a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P＋Q中有8个元素． 8 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点六　集合的分类 eq \a\vs4\al\co1(（1）集合) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(_______集：含有有限个元素的集合,_______集：含有无限个元素的集合)) 1．(集合的概念)下列所给的对象能组成集合的是(　　) A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 2．(元素与集合的关系)用适当的符号(∈，∉)填空． 0_____∅，0_____{0}，0_____N，－2_____N＋，eq \f(1,3)_____Z，eq \r(2)_____Q，π_____R. 3．(集合中元素的三个特性)已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________． 【跟踪训练】　 1．判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)大于3的所有自然数组成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1，0.5，eq \f(3,2)，eq \f(1,2)组成的集合含有四个元素； (4)周长为10 cm的三角形组成一个集合． 解：(1)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确． (2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误． (3)中由于0.5＝eq \f(1,2)，所以1，0.5，eq \f(3,2)，eq \f(1,2)组成的集合含有三个元素，故错误． (4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确． ①eq \r(7)∈R；②eq \r(3)∉Q；③－2∈N；④|－4|∉N＋. A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵eq \r(7)是实数，eq \r(3)是无理数，∴①②正确；∵N表示自然数集，而－2不是自然数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确.∴正确的共有2个． (2)集合A中的元素x满足eq \f(6,6－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为____________． 解析　∵eq \f(6,6－x)∈N，x∈N，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(6,6－x)≥0，,x≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－x>0，,x≥0，))∴0≤x<6，∴x＝0，1，2，3，4，5.当x分别为0，3，4，5时，eq \f(6,6－x)相应的值分别为1，2，3，6，也是自然数，故集合A中的元素为0，3，4，5. 【跟踪训练】　 2．(1)用符号“∈”或“∉”填空． ①0________N＋；②1________N； ③1.5________Z；④2eq \r(2)________Q； ⑤4＋eq \r(5)________R；⑥若x2＋1＝0，则x_____R. 解析：①∵0不是正整数，∴0∉N＋.②∵1是自然数，∴1∈N.③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5∉Z.④∵2eq \r(2)是无理数，∴2eq \r(2)∉Q.⑤∵4＋eq \r(5)是无理数，无理数是实数，∴4＋eq \r(5)∈R.⑥∵满足x2＋1＝0的实数不存在，∴x为非实数，∴x∉R. 解析：∵1∉A，2∈A，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×1＋a≤0，,2×2＋a>0，))解得－4<a≤－2. 解：因为A包含三个元素a－2，2a2＋5a，12， 且－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3， 解得a＝－1或a＝－eq \f(3,2). 当a＝－1时，A中三个元素为－3，－3，12，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当a＝－eq \f(3,2)时，A中三个元素为－eq \f(7,2)，－3，12，满足题意． 综上，a＝－eq \f(3,2).　 解　由A＝B，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,ab＝b))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b，,ab＝1.)) 解方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b∈R))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，)) 由集合元素的互异性，知a≠1. 所以a＝－1，b＝0，故a2025＋b2024＝－1. 【跟踪训练】　 4．设a，b∈R，集合A中含有0，b，eq \f(b,a)三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D．不确定 解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，所以eq \f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以a＋2b＝1. (1)非负奇数； (2)小于18的既是奇数又是素数的数； (3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点； (4)在实数范围内方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的所有解； (5)在实数范围内方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))的解． (3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集． (4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集. (5)因为x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，所以方程无实根，由此可知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))无解，能构成集合，是空集，故是有限集． 解：(1)中的对象能组成集合，它是一个有限集． (2)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (3)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (4)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (5)中的对象能组成集合，它是一个空集，故是有限集． (6)中的对象能组成集合，它是一个有限集． 解析：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝x2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＝x2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))又当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，所以x＝1，y＝0. 解析：∵a∈A且3a∈A，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<6，,3a<6，))解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1. 3．给出下列关系：①eq \f(1,3)∈R；②eq \r(5)∈Q；③－3∉Z；④－eq \r(3)∉N，其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：eq \f(1,3)是实数，①正确；eq \r(5)是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－eq \r(3)是无理数，④正确．故选B. 5．由实数x，－x，|x|，eq \r(x2)，－eq \r(3,x3)组成的集合，最多含有(　　) A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素 D．5个元素 解析：eq \r(x2)＝|x|，－eq \r(3,x3)＝－x.当x＝0时，它们均为0；当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中最多含有2个元素． 10．已知集合A中含有三个元素a，0，－1，集合B中含有三个元素c＋b，eq \f(1,a＋b)，1，且A＝B，则a＝________，b＝________，c＝________． 解析：因为A＝B，eq \f(1,a＋b)≠0，所以a＝1，c＋b＝0，eq \f(1,a＋b)＝－1，所以b＝－2，c＝2. 四、解答题 11．集合A是由形如m＋eq \r(3)n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－eq \r(3)，b＝eq \f(1,3－\r(3))，c＝(1－2eq \r(3))2与集合A的关系． 解：因为a＝－eq \r(3)＝0＋(－1)×eq \r(3)，而0∈Z，－1∈Z，所以a∈A； 因为b＝eq \f(1,3－\r(3))＝eq \f(3＋\r(3),（3－\r(3)）（3＋\r(3)）)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),6)，而eq \f(1,2)∉Z，eq \f(1,6)∉Z，所以b∉A；因为c＝(1－2eq \r(3))2＝13＋(－4)×eq \r(3)，而13∈Z，－4∈Z，所以c∈A. 15．已知x，y为非零实数，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(xy,|xy|)的值所组成的集合是M，求集合M中的元素． 解：①当x，y均为正数时，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(xy,|xy|)的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(xy,|xy|)的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(xy,|xy|)的值为－1.所以集合M中的元素是－1，3. 16．设实数集S是满足下面两个条件的集合：①1∉S；②若a∈S，则eq \f(1,1－a)∈S. (1)求证：若a∈S，则1－eq \f(1,a)∈S； (2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合S中至少有三个不同的元素． 解：(1)证明：∵1∉S，∴0∉S，即a≠0. 由a∈S，则eq \f(1,1－a)∈S，得eq \f(1,1－\f(1,1－a))∈S， 即eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(1－a,1－a－1)＝1－eq \f(1,a)∈S. 故若a∈S，则1－eq \f(1,a)∈S. (2)由2∈S，知eq \f(1,1－2)＝－1∈S； 由－1∈S，知eq \f(1,1－（－1）)＝eq \f(1,2)∈S， 当eq \f(1,2)∈S时，eq \f(1,1－\f(1,2))＝2∈S， 因此当2∈S时，S中必含有－1和eq \f(1,2). (3)证明：由(1)，知a∈S，eq \f(1,1－a)∈S，1－eq \f(1,a)∈S. 下证a，eq \f(1,1－a)，1－eq \f(1,a)互不相等． ①若a＝eq \f(1,1－a)，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴a≠eq \f(1,1－a)； ②若a＝1－eq \f(1,a)，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴a≠1－eq \f(1,a)； ③若eq \f(1,1－a)＝1－eq \f(1,a)，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴eq \f(1,1－a)≠1－eq \f(1,a). 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素． $