第4章 3.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数的概念、图象性质及反函数，通过回顾指数函数的单调性与一一对应关系导入，以指数函数为基础引出对数函数，构建“指数函数→反函数→对数函数”的知识支架，帮助学生衔接前后内容。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过评价自测辨析对数函数概念（如判断y=log₂x²是否为对数函数），结合指数函数与对数函数的互逆关系培养推理能力，利用描点法和转化法作图象发展几何直观。分层练习（随堂达标、课后精练）助力学生巩固，教师可依托明确重难点提升教学效果。

第四章　对数运算与 对数函数 §3　对数函数 3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例，了解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 教学重点：对数函数概念的理解及函数y＝log2x的图象和性质． 教学难点：反函数的概念及性质． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　对数函数的概念 给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上、值域为(0，＋∞)的单调函数．所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作_________．习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成___________________，其中a称为底数． x＝logay y＝logax(a>0，且a≠1) 核心概念掌握 5 由定义可知，对数函数具有以下基本性质： (1)定义域是__________； (2)图象过定点________． 特别地，我们称以10为底的对数函数为___________函数，记作________；称以无理数e为底的对数函数为_________函数，记作________． (0，＋∞) (1，0) 常用对数 y＝lg x 自然对数 y＝ln x 核心概念掌握 6 知识点二　反函数 (1)指数函数y＝2x和对数函数x＝log2y刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是_____；在对数函数x＝log2y中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是___________．我们称对数函数x＝log2y是指数函数y＝2x的反函数，同时，也称指数函数y＝2x是对数函数x＝log2y的反函数． (2)习惯上，对数函数表示为______________________，指数函数表示为__________________．因此，指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数． R (0，＋∞) y＝logax(a>0，且a≠1) y＝ax(a>0，且a≠1) 核心概念掌握 7 (0，＋∞) (0，＋∞) R R 增函数 减函数 (1，0) 1 0 核心概念掌握 8 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R.(　　) (2)y＝log2x2与y＝logx3都不是对数函数．(　　) (3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　) √ × × 核心概念掌握 9 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝____． (2)对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝____． (3)函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为_________． 3 3 (1，＋∞) 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　对数函数的概念 解　(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log2x后又加1，不是对数函数． 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x；(2)y＝log6x； (3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1. 核心素养形成 12 【感悟提升】　判断函数是对数函数的条件 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1； (2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x. 核心素养形成 13 【跟踪训练】 1．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定 解析：设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝log2x. 核心素养形成 14 题型二　求函数的反函数 核心素养形成 15 【感悟提升】　反函数的求法 (1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)． (2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)． (3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域． 核心素养形成 16 【跟踪训练】 2．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(3，1)，则a＝____． 解析：函数f(x)的反函数为y＝logax，由题意，得loga3＝1，所以a＝3. 3 核心素养形成 17 题型三　作对数型函数的图象 核心素养形成 18 核心素养形成 19 【感悟提升】　作对数型函数图象的方法 (1)描点法． (2)由指数函数的图象得到对数函数的图象． (3)作函数y＝f(|x|)的图象可以先化为分段函数，再利用描点法作图，也可以用描点法只作x>0的图象，再利用偶函数的性质作出x<0的部分． (4)作函数y＝|f(x)|的图象时，先作出函数y＝f(x)的图象，然后保留函数y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可． 核心素养形成 20 【跟踪训练】 3．已知函数f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． 核心素养形成 21 题型四　对数函数单调性的简单应用 解　(1)∵y＝log2x是定义域上的增函数，且3.4＜8.5， ∴log23.4＜log28.5. (2)∵y＝log0.5x是定义域上的减函数，且1.8＜2.7， ∴log0.51.8＞log0.52.7. 比较下列各组数中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.51.8，log0.52.7. 核心素养形成 22 【感悟提升】　比较底数相同的对数值大小的思路 比较几个底数相同、真数不同的对数值的大小时，可将这几个对数值看作同一对数函数的几个函数值，然后用对数函数的单调性比较大小． 核心素养形成 23 核心素养形成 24 核心素养形成 25 (2)求使不等式log3(2x－3)<－1成立的实数x的集合． 核心素养形成 26 核心素养形成 27 核心素养形成 28 {x|－3<x<1} 核心素养形成 29 题型五　与对数函数有关的值域问题 核心素养形成 30 核心素养形成 31 核心素养形成 32 核心素养形成 33 随堂水平达标 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝loga(2x) B．y＝log22x C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x 解析：A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0，且a≠1)”的形式，只有D符合． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是y＝f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 解析：设此对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由于此对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，解得a＝2.所以此对数函数的解析式为y＝log2x.故选D. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 ＜ 随堂水平达标 1 2 3 4 5 38 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 3．函数y＝log3x(1≤x≤9)的值域为(　　) A．[0，＋∞) B．R C．(－∞，2] D．[0，2] 解析：∵函数y＝log3x在区间[1，9]上是增函数，∴log31≤log3x≤log39，∴log3x∈[0，2]． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 4．函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，9] C．(0，1) D．[9，＋∞) 解析：因为0＜x≤2，所以1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1，9]．故f(x)的反函数的定义域为(1，9]． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 二、填空题 6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝____． 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 7．已知函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则实数a的取值范围是______________． 解析：∵函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，∴a<0，且－a－1>0，故a<－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1)． (－∞，－1) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 [1，2] 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 10．已知幂函数f(x)＝(a2－a－1)xa－1(a∈R)在(0，＋∞)上是增函数． (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝loga(x＋2)－loga(x－1)，求g(x)在[2，4]上的最小值． 解：(1)因为f(x)＝(a2－a－1)xa－1是幂函数， 所以a2－a－1＝1， 解得a＝2或a＝－1. 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a－1>0，即a>1， 所以a＝2，则f(x)＝x. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 53 12．已知函数f(x)＝lg |x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的图象草图； (3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 55 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点三　对数函数y＝log2x和y＝logeq \s\do9(\f(1,2))x的图象和性质 图象和性质 y＝log2x y＝logeq \s\do9(\f(1,2))x 图象 定义域 _____________ _____________ 值域 _________ ________ 单调性 ____________ ____________ 定点 ________，即当x＝_____时，y＝_____ 　求下列函数的反函数： (1)y＝10x；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(x)； (3)y＝logeq \s\do9(\f(1,3))x；(4)y＝log7x. 解　(1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg x. (2)指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(x)，它的底数是eq \f(4,5)，它的反函数是对数函数y＝logeq \s\do7(\f(4,5))x. (3)对数函数y＝logeq \s\do7(\f(1,3))x，它的底数是eq \f(1,3)，它的反函数是指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x). (4)y＝log7x的反函数是y＝7x. 　画出对数函数y＝logeq \s\do9(\f(1,3))x和y＝log3x的图象，并说出它们的性质． 解　列表： x … eq \f(1,3) 1 3 9 … y＝logeq \s\do7(\f(1,3))x … 1 0 －1 －2 … y＝log3x … －1 0 1 2 … 用描点法画出图象． 由图象可知，对数函数y＝logeq \s\do7(\f(1,3))x的性质有：①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③过定点(1，0)；④在区间(0，＋∞)上是减函数． 对数函数y＝log3x的性质有：①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③过定点(1，0)；④在区间(0，＋∞)上是增函数． 解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log5x，x＞0，,log5（－x），x＜0.)) 列表： x … －5 －1 1 5 … y＝log5|x| … 1 0 0 1 … 描点画图象． 【跟踪训练】 4．比较下列各组数中两个值的大小： (1)logeq \s\do20(\f(1,2))1.5，logeq \s\do20(\f(1,2))1.6； (2)log21.9，log23.2. 解：(1)∵y＝logeq \s\do7(\f(1,2))x在(0，＋∞)上单调递减，1.5<1.6，∴logeq \s\do7(\f(1,2))1.5>logeq \s\do7(\f(1,2))1.6. (2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 1．9<3.2， ∴log21.9<log23.2. 　(1)求使不等式logeq \s\do9(\f(1,2))(2x＋3)<logeq \s\do9(\f(1,2))(5x－6)成立的实数x的集合． 解　因为函数y＝logeq \s\do7(\f(1,2))x在定义域(0，＋∞)上是减函数， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3>5x－6，))解得eq \f(6,5)<x<3. 故使不等式logeq \s\do7(\f(1,2)) (2x＋3)<logeq \s\do7(\f(1,2))(5x－6)成立的实数x的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)<x<3)))). 解　由log3(2x－3)<－1可得log3(2x－3)<log3eq \f(1,3). 因为函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,2x－3<\f(1,3)，))解得eq \f(3,2)<x<eq \f(5,3). 故使不等式log3(2x－3)<－1成立的实数x的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x<\f(5,3))))). 【感悟提升】　两类对数不等式的解法 (1)形如logeq \s\do9(\f(1,2))f(x)<logeq \s\do9(\f(1,2))g(x)的不等式． 利用函数y＝logeq \s\do9(\f(1,2))x在定义域(0，＋∞)上是减函数可得f(x)>g(x)>0，然后解不等式可得解集． (2)形如log3f(x)<b的不等式可变形为log3f(x)<b＝log33b. 利用函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数可得0<f(x)<3b，然后解不等式可得解集． 【跟踪训练】 5．(1)已知log3(3x)<log3(x＋1)，则x的取值集合为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,2))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2))))) 解析：因为函数y＝log3x是(0，＋∞)上的增函数，所以原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x>0，,x＋1>0，,3x<x＋1，))解得0<x<eq \f(1,2). (2)使不等式logeq \s\do9(\f(1,2))(x＋3)>－2成立的实数x的集合是______________． 解析：由不等式logeq \s\do7(\f(1,2))(x＋3)>－2可得logeq \s\do7(\f(1,2))(x＋3)>logeq \s\do7(\f(1,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2).因为函数y＝logeq \s\do9(\f(1,2))x在定义域(0，＋∞)上是减函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3>0，,x＋3<\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(-2)，))解得－3<x<1.故使不等式logeq \s\do7(\f(1,2))(x＋3)>－2成立的实数x的集合是{x|－3<x<1}． 　求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝logeq \s\do7(\f(1,2))(3＋2x－x2)． 解　(1)∵x2＋4≥4， ∴log2(x2＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u＝3＋2x－x2， 则u＝－(x－1)2＋4≤4. ∵u＞0，∴0＜u≤4. 又y＝logeq \s\do7(\f(1,2))u在(0，＋∞)上为减函数， ∴logeq \s\do7(\f(1,2))u≥－2. ∴y＝logeq \s\do7(\f(1,2))(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． 【感悟提升】　求对数型函数的最值与值域问题的思路 (1)充分利用函数的单调性，若用换元法求解，则要注意中间变量的取值范围． (2)y＝logaf(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＝2或\f(1,2)))型函数值域的求法 ①分解成y＝logat，t＝f(x)两个函数； ②根据定义域求t的取值范围； ③利用y＝logat的单调性求解． 【跟踪训练】 6．已知f(x)＝(logeq \s\do9(\f(1,2))x)2－3logeq \s\do9(\f(1,2))x，x∈[2，4]．试求f(x)的最大值与最小值． 解：令t＝logeq \s\do7(\f(1,2))x，则y＝t2－3t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)， ∵2≤x≤4， ∴logeq \s\do7(\f(1,2))4≤logeq \s\do7(\f(1,2))x≤logeq \s\do7(\f(1,2))2，即－2≤t≤－1. 可知y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)在[－2，－1]上单调递减． ∴当t＝－2时，y取得最大值，为10；当t＝－1时，y取得最小值，为4. 故f(x)的最大值为10，最小值为4. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B.eq \f(1,2x) C．logeq \s\do9(\f(1,2))x D．2x-2 3．若对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log4x B．y＝logeq \s\do9(\f(1,4))x C．y＝logeq \s\do9(\f(1,2))x D．y＝log2x 4．比较两个数的大小：logeq \s\do9(\f(1,3))2_____logeq \s\do9(\f(1,5))2(填“＞”“＜”或“＝”)． 解析：∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(1,5)＜eq \f(1,3)＜1，∴log2eq \f(1,5)＜log2eq \f(1,3)＜0，∴eq \f(1,log2\f(1,5))＞eq \f(1,log2\f(1,3)).又logeq \s\do7(\f(1,3))2＝eq \f(1,log2\f(1,3))，logeq \s\do7(\f(1,5))2＝eq \f(1,log2\f(1,5))，∴logeq \s\do7(\f(1,3))2＜logeq \s\do7(\f(1,5))2. 5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝logeq \s\do7(\f(1,2))(－x＋1)． (1)求f(0)，f(1)； (2)求函数f(x)的解析式． 解：(1)∵当x≤0时，f(x)＝logeq \s\do7(\f(1,2))(－x＋1)， ∴f(0)＝0.又函数f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(1)＝f(－1)＝logeq \s\do7(\f(1,2))[－(－1)＋1]＝logeq \s\do7(\f(1,2))2＝－1，即f(1)＝－1. (2)令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝logeq \s\do7(\f(1,2))(x＋1)＝f(x)， ∴x>0时，f(x)＝logeq \s\do7(\f(1,2))(x＋1)． ∴函数f(x)的解析式为 f(x)＝1,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log（x＋1），x＞0，,logeq \s\do7(\f(1,2))（－x＋1），x≤0.)) 一、选择题 1．下列函数，是对数函数的是(　　) A．y＝lg 10x B．y＝log3x2 C．y＝ln x D．y＝logeq \s\do7(\f(1,3))(x－1) 解析：由对数函数的定义，得y＝logax(a＞0，且a≠1)是对数函数，由此得到，y＝lg 10x，y＝log3x2，y＝logeq \s\do7(\f(1,3))(x－1)都不是对数函数，y＝ln x是对数函数．所以C正确． 2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,log2x，x>0，))那么feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))))的值为(　　) A．27 B．eq \f(1,27) C．－27 D．－eq \f(1,27) 解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝log2eq \f(1,8)＝log22－3＝－3，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))))＝f(－3)＝3－3＝eq \f(1,27). 5．已知函数f(x)＝log2x，其中|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B．[2，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[2，＋∞) 解析：因为|f(x)|≥1，所以log2x≥1或log2x≤－1.由于y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，故x≥2或x≤eq \f(1,2).所以实数x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)． 解析：由对数函数的定义可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－4a－5＝0，,a＞0，,a≠1，))解得a＝5. 8．已知函数f(x)＝|logeq \s\do7(\f(1,2))x|的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))，值域为[0，1]，则m的取值范围为________． 解析：作出函数f(x)＝|logeq \s\do7(\f(1,2))x|的图象(如图)可知，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知，1≤m≤2. 三、解答题 9．写出下列函数的反函数． (1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq \s\up12(x)；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))eq \s\up12(x)；(3)y＝log1.2x；(4)y＝ln x. 解：(1)因为指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq \s\up12(x)的底数是eq \f(5,2)，所以它的反函数是对数函数y＝logeq \s\do7(\f(5,2))x. (2)因为指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))eq \s\up12(x)的底数是eq \f(π,3)，所以它的反函数是对数函数y＝logeq \s\do11(\f(π,3))x. (3)因为对数函数y＝log1.2x＝logeq \s\do7(\f(6,5))x的底数是eq \f(6,5)，所以它的反函数是指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq \s\up12(x). (4)因为对数函数y＝ln x的底数是e，所以它的反函数是指数函数y＝ex. (2)由(1)得a＝2，所以g(x)＝log2(x＋2)－log2(x－1)＝log2eq \f(x＋2,x－1)＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x－1))). 令t＝1＋eq \f(3,x－1)，当x∈[2，4]时，t＝1＋eq \f(3,x－1)单调递减． 又函数y＝log2t在其定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可得g(x)在[2，4]上单调递减， 所以g(x)min＝g(4)＝log22＝1. 11．已知函数f(x)＝log2eq \f(x,4)·log2eq \f(x,2).当x∈[2，8]时，求函数f(x)的值域． 解：因为f(x)＝log2eq \f(x,4)·log2eq \f(x,2)＝(log2x－2)(log2x－1)， 由对数函数的单调性可知，当x∈[2，8]时，log2x∈[1，3]， 令log2x＝t，t∈[1，3]，即可得g(t)＝(t－2)(t－1)＝t2－3t＋2，t∈[1，3]， 可知g(t)＝t2－3t＋2的图象开口向上，对称轴为直线t＝eq \f(3,2)， 由二次函数的性质可知，当t＝eq \f(3,2)时，g(t)min＝－eq \f(1,4)，当t＝3时，g(t)max＝2， 所以当x∈[2，8]时，函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)). (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示． (3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg eq \f(|x1|,|x2|)＝lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2))). 因为x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 所以|x1|＞|x2|＞0.所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＞1. 所以lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＞0.所以f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． $