第七章 数列（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念、数列的通项、等差数列、等比数列等常见考点。 第七章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知三数成等差数列，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．关于x的方程的两根的等比中项是（   ） A．2 B．1 C．或2 D．或1 3．数列中，通项公式，则的值为（    ）. A．1 B．2 C． D． 4．已知数列满足，则的前100项和为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列是首项为5，公差为3的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前n项为，，，则的值为（    ） A．2 B．0 C．3 D．4 7．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（    ） A．30 B．33 C．38 D．40 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（    ） A．日 B．日 C．日 D．日 9．下列说法正确的是（    ） A．若数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列； 10．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 11．若等比数列的前三项依次为，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 12．已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知公差不为0的等差数列的第项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为 （    ） A． B．3 C． D． 14．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 15．数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在等比数列中,,,则 . 17．在等差数列中，，且，则 ． 18．已知在等比数列中， （1）若它的首项为，公比为，则通项公式为 ； （2）若它的公比为，第项为，第项为，则通项公式为 ． 19．已知数列的前项和为，若，且，成等差数列，则 ， ． 20．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是 尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过 次截取. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和． 22．已知正项等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记的前项中最大值为，最小值为（规定：），令，求数列的前项和. 23．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求得通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 24．数列中，前项和，数列，为的前项和， (1)求； (2)求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念、数列的通项、等差数列、等比数列等常见考点。 第七章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知三数成等差数列，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】利用等差中项公式即可得解. 【详解】因为三数成等差数列， 所以，解得. 故选：D. 2．关于x的方程的两根的等比中项是（   ） A．2 B．1 C．或2 D．或1 【答案】D 【分析】先求出方程的解，再根据等比中项的性质即可求解. 【详解】因为方程的或， 设方程的两根的等比中项是， 则，解得或. 故选：D. 3．数列中，通项公式，则的值为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将代入通项公式求值即可. 【详解】已知通项公式， 则， 故选：B. 4．已知数列满足，则的前100项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合错位相减法进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列，则，即. 设的前项和为，则 两式相减，得， 所以. 故选：D 5．已知数列是首项为5，公差为3的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合等差数列通项公式可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，可得， 所以. 故选：D. 6．已知等差数列的前n项为，，，则的值为（    ） A．2 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质即可求解. 【详解】由题意得，成等差数列. 所以，解得. 故选：A. 7．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（    ） A．30 B．33 C．38 D．40 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3. 设该阶梯大教室共有排，则，整理得， 因为，所以. 故该阶梯大教室最后一排的座位数为38. 故选：C 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（    ） A．日 B．日 C．日 D．日 【答案】D 【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为，其中；驽马每日行的距离成等差数列，记为，其中．求和即可得到答案． 【详解】由题知，良马每日行的距离成等差数列，记为，且； 驽马每日行的距离成等差数列，记为，且； 设二马第日相逢，则， 即，解得. 故选：D. 9．下列说法正确的是（    ） A．若数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列； 【答案】A 【分析】根据等差数列等比数列的性质，逐个验证选项中的结论. 【详解】若数列的公差，即，所以数列是递减数列，A选项正确； 若数列的前项和，则，当时，，此时有，但，所以数列不是等比数列，B选项错误； 若数列的前项和（为常数），则，当时，，此时有，但，当时，，所以数列不一定为等差数列，C选项错误； 数列是等比数列，为前项和，当公比， 为偶数时，则均为0，不为等比数列，D选项错误. 故选：A 10．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：B 11．若等比数列的前三项依次为，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据等比数列的等比中项计算即可. 【详解】由题意知：， 解得或， 当时，前三项为，不是等比数列， 当时，前三项为，构成以的等比数列， 所以. 故选：. 12．已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式得到关于的方程，解后再求得其前三项，从而得解. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，， 即， 即，则，解得或， ∴，，或，，， ∴. 故选：A. 13．已知公差不为0的等差数列的第项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为 （    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式表示，再由等比中项的性质列式即可求解. 【详解】设等差数列公差为d，首项为，则，，， 因为依次构成一个等比数列， 由等比中项公式得：， 即，化简可得：. 所以，，作比可得公比. 故选：B. 14．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案. 【详解】依题意，数列满足，， ，所以 ，也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 15．数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推公式可判断该数列为等差数列，可得通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】由已知，， 可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， 所以， 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在等比数列中,,,则 . 【答案】 【分析】由等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】因为等比数列中,,. . 故答案为:. 17．在等差数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列中已知可得的性质，结合等差数列的前项和求解即可. 【详解】等差数列中，已知， 根据等差数列的性质可知，， 由等差数列的前项可得. 故答案为：. 18．已知在等比数列中， （1）若它的首项为，公比为，则通项公式为 ； （2）若它的公比为，第项为，第项为，则通项公式为 ． 【答案】 【分析】（1）由等比数列通项公式可直接得到结果； （2）利用等比数列通项公式可构造方程求得，由此可得通项. 【详解】（1）由等比数列通项公式可得：； （2）由题意得：，解得：，. 故答案为：；. 19．已知数列的前项和为，若，且，成等差数列，则 ， ． 【答案】 【解析】由成等差数列入手，根据与之间的关系得出数列的递推关系式，再由已知得到是首项为9，公比为的等比数列，最后求出即可． 【详解】解：因为成等差数列， 所以， 即， 即， 所以数列从第2项开始是公比为的等比数列， 由得． 因为， 所以， 所以是首项为9，公比为的等比数列， 故， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等比数列的通项以及前项和公式，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 20．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是 尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过 次截取. 【答案】 【分析】建立等比数列模型：记第天后剩余木棍的长度，则是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可解决. 【详解】记第天后剩余木棍的长度，则是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 由得，所以的最小值为. 所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是尺，要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过次截取. 故答案为：；. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，考查了等比数列的通项公式，属于基础题. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质可知成等比代入求解即可. 【详解】解：设等比数列前项和为 根据等比数列的性质可知：成等比 由等比中项性质可知： 由可得 解得： 所以这个数列的前15项和为. 22．已知正项等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记的前项中最大值为，最小值为（规定：），令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可； （2）根据得到的通项，然后利用分组求和的方法求即可. 【详解】（1）依题意，设的公比为，则， 解得或（舍去）. 所以的通项公式为. （2）因为是递增数列，所以，， 则. 所以. 23．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求得通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的公式公式易得答案； （2）根据分组求和易得答案. 【详解】（1）设是等差数列的公差为，是等比数列的公比为， 且， 所以， 所以 因为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以数列的前n项和 . 24．数列中，前项和，数列，为的前项和， (1)求； (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求解； （2）由（1）结论，可得，根据裂项相消法可求和. 【详解】（1）当时，， 当时，也符合上式， 所以； （2）由（1）知，， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $