第二章 平面向量（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示等常见考点。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在中，已知，，，则x的值为（    ） A．1或 B．或3 C．或 D．1或3 【答案】D 【分析】利用向量的加法求，再由得，列式可求得. 【详解】由题意得， 因为， 所以，即， 解得或. 故选：D. 2．已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的概念，逐项分析即可. 【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A选项错误； 对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B选项错误； 对于C，向量，为单位向量，则，C选项正确； 对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D选项错误. 故选：C. 3．下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断. 【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线， A.向量是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误； B.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误； C.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误； D.不存在实数，使，所以向量不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确. 故选：D 4．在中，D是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的加减法运算即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得， 所以. 故选：A． 5．已知向量，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量数量积公式分别计算，再利用向量数量积的分配律将展开，即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以， 即， 故选：D. 6．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用模长公式求出，再用夹角公式即可得到答案. 【详解】由模长公式， 由夹角公式， 故选：A. 7．向量，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标的线性运算以及向量夹角的坐标运算进行求解即可. 【详解】由题意得，， 所以， 所以， 所以的值是. 故选：C. 8．下列叙述正确的是（    ） A．单位向量是相等向量 B．零向量没有方向 C．两个相反向量的和为0 D．相等的两个向量共线 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念即可求解. 【详解】由向量的定义，单位向量是模为1的向量，相等向量不仅模相等，还要方向相同，故A错误； 零向量是模为0，方向任意的，故B错误； 相反向量是模相等，方向相反的向量，和为零向量，故C错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，相等向量不仅模相等，还要方向相同，故相等向量共线，故D正确. 故选：D. 9．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有平面向量的内积及运算法则进行化简即可得解. 【详解】根据题意有， 解得或（舍）， 故选：. 10．已知平面向量满足，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，不妨设，，，根据内积的坐标表示，可得，，再利用模的坐标表示及不等式的性质可求解. 【详解】由题意，不妨设，，， ，，则， ， ，，即的最小值为. 故选：D 11．已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，再利用投影数量的定义可求得结果. 【详解】因为，则，， 则，可得， 所以，在方向上的投影. 故选：D. 12．在中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对已知条件进行翻译可知为中点,根据题意即可求解. 【详解】在中，因为，所以为的中点， 又因为，所以为线段的靠近的三等分点， 所以． 故选:D． 13．已知向量，若，则（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，求出参数m的值，结合向量线性运算的坐标表示及模的计算，即可求解. 【详解】因为向量， 所以，解得， 所以，， 所以． 故选：B. 14．已知向量，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算，代数求解即可. 【详解】因为向量， 所以， 又因为，所以， 即， 解得：， 故选：D. 15．已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 【答案】A 【分析】将条件等式两边平方，两式相减化简即得. 【详解】由两边分别平方可得：① 又由两边分别平方可得：② 由①②得：，即. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，则 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】. 故答案为：. 17．已知，且的夹角为钝角，则实数的范围 【答案】 【分析】由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线， ，，，解得且， 因此，实数的取值范围是且， 故答案为：且. 【方法点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角. 18．与向量共线的一个单位向量的坐标是 . 【答案】或 【分析】先求出向量的模，与向量共线的单位向量为，计算即可. 【详解】因为，， 所以与向量共线的单位向量为， 所以向量共线的一个单位向量的坐标是或. 故答案为：或. 19．已知平面向量与的夹角为，，，则 ；若平行四边形满足，，则平行四边形的面积为 . 【答案】 1 【分析】由结合已知条件可求出；先求出和，然后利用面积公式可求出平行四边形的面积. 【详解】因为平面向量与的夹角为，，， 所以， ，， ， 所以， 因为， 所以， 所以平行四边形的面积为， 故答案为：1；. 20．已知向量与的夹角为，且，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】与的夹角为锐角，利用这两向量数量积大于且不共线列不等式即可求解. 【详解】根据题意，若与的夹角为锐角， 则有且和不共线， 即， 即 解可得：或， 又由和不共线，则有，即 综上可得，的取值范围是 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在中，M，N分别是OA，OB的中点．设，，试用，表示，，并比较与的长度和方向．    【答案】答案见解析 【分析】平面向量的加法运算和平面向量的数乘运算即可求解. 【详解】． ， 故与方向相同，且． 22．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由可知，两向量的夹角为或，利用向量内积的定义结合已知条件即可求解. （2）根据向量内积的运算律即可求解. （3）由向量垂直则内积为零结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，； 所以，. （2）由题意可知， 若，则， 所以， 则. （3）由与垂直可得，即； 若，则， 即，得，解得， 所以当时，. 23．已知，，，求.    【答案】 【分析】根据向量内积的定义和向量模的计算公式即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 则. 24．已知，且， (1)求实数n的值； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再根据两向量平行易得答案； （2）根据两向量平行易得答案。 【详解】（1）因为已知，且， 所以， 因为， 所以， 解得； （2）因为已知， 所以，， 因为，所以， 解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示等常见考点。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在中，已知，，，则x的值为（    ） A．1或 B．或3 C．或 D．1或3 2．已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．在中，D是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，则（      ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 7．向量，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．下列叙述正确的是（    ） A．单位向量是相等向量 B．零向量没有方向 C．两个相反向量的和为0 D．相等的两个向量共线 9．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知平面向量满足，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 12．在中，，则（ ） A． B． C． D． 13．已知向量，若，则（   ） A． B．5 C． D． 14．已知向量，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 15．已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，则 17．已知，且的夹角为钝角，则实数的范围 18．与向量共线的一个单位向量的坐标是 . 19．已知平面向量与的夹角为，，，则 ；若平行四边形满足，，则平行四边形的面积为 . 20．已知向量与的夹角为，且，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在中，M，N分别是OA，OB的中点．设，，试用，表示，，并比较与的长度和方向．    22．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 23．已知，，，求.    24．已知，且， (1)求实数n的值； (2)若，求实数m的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $