第八章 排列组合（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 下册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要考查了计数原理、排列与组合、二项式定理等常见考点。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．甲、乙等5个同学，相约周末去电影院看电影，恰好买到了5张连座的电影票.若甲、乙两人不相邻，则不同的坐法有（    ） A．48种 B．120种 C．36种 D．72种 【答案】D 【分析】利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法. 【详解】先将除甲、乙以外的其余3人全排列，有种坐法，再将甲、乙两人插空，甲、乙两人有种坐法， 所以满足甲、乙两人不相邻的不同的坐法有（种）. 故选：D. 2．若，且，则实数的值可以为（ ） A．1或 B． C．或3 D． 【答案】A 【分析】利用赋值法可求，据此可求的值. 【详解】令可得， 即， 令，可得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得或． 故选：A. 3．王老师打算从5人中选出2人任组长和副组长，不同的选法总数是（    ） A．25 B．20 C．10 D．7 【答案】B 【分析】由排列数的公式计算即可. 【详解】因为从5人中选出2人任组长和副组长，所以方法数为. 故选:B. 4．用数字 组成三位数,各数位上的数字允许重复,则满足条件的三位数的个数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．64 【答案】C 【分析】百位可以3个数字可选,后两位数有4个数字可选,根据乘法原理,可得结论. 【详解】百位数字除有3个数字可选,十位数字有4个数字可选,个位数字有4个数字可选, 所以满足条件的三位数的个数有个. 故选:C. 5．已知从1，2，3，4，5这个数字中随机地选取个数字，则“选取的个数字之积大于5”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出从个数字中随机地选取个数字的基本事件总数，再将选取的个数字之积大于5的事件一一列举出来，求出选取的个数字之积大于5的基本事件的个数，由此能求出选取的个数字之积大于5的概率． 【详解】由题从1，2，3，4，5这个数字中随机地选取个数字基本事件综数共有种． 所选取的个数字之积大于的基本事件有共有种. 所以选取的个数字之积大于的概率为. 故选：. 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有0个阴数和1个阴数的概率，相加即可求解. 【详解】由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数， 若任取的3个数中有0个阴数，则概率为； 若任取的3个数中有1个阴数，则概率为； 故这3个数中至多有1个阴数的概率为. 故选：A. 7．已知，则（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式采用赋值法取和可求得. 【详解】因为， 取时，可得， 令，可得， 所以． 故选：D． 8．某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有（　　） A．7种 B．14种 C．21种 D．49种 【答案】D 【分析】由分类计数原理和分步计数原理即可求解. 【详解】学生进门有3＋4＝7（种）选择，同样出门也有7种选择， 由分步计数原理知，进出门的方案有7×7＝49（种）． 故选：D 9．可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数进行表示. 【详解】， 故选：D. 10．已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用展开式二项式系数和求出的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】二项式展开式的二项式系数和为，可得， 所以，二项式展开式的通项为， 令，可得，则展开式中常数项为. 故选：D. 11．若A，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据排列数的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由排列数的计算公式，可得，且， 因为，即，解得或（舍去）. 故选：C. 12．在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如下图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】由杨辉三角的性质知，第n行的数对应的是展开式的二项式系数，进而根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由杨辉三角的性质知，第n行的数对应的是展开式的二项式系数， 因为第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2， 所以，即，解得. 故选：C. 13．由数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（    ） A．2 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】根据题意，结合组合数与排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，先从1和9中选出个位上的数，再将剩下的3个数全排列， 故奇数的个数为个. 故选：B. 14．在的二项展开式中，的系数是（    ） A． B．20 C．15 D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式通项求解即可. 【详解】的展开式通项为， 令，解得， 所以的系数是. 故选：A. 15．甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（   ） A．480 B．240 C．120 D．360 【答案】B 【分析】根据题意结合排列与组合数的计算即可得解. 【详解】因为甲、乙不在丙的同侧，所以丙在甲乙中间，则三人的排法有种， 再将剩余3人插进去，因为每插一人多形成一个空，所以甲、乙不在丙同侧的排法共有（种）， 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．从0，1，2，3，4中选出3个数，组成无重复数字的三位数，则三位数共有 个． 【答案】 【分析】根据分步乘法计数原理即可解得. 【详解】由题，从0，1，2，3，4中选出3个数，组成无重复数字的三位数， 其中不能做首位，则从剩下的个数字中挑选一个做百位，共有种选法， 再从包括在内剩余的个数字中选一个做十位，共有种选法， 最后从剩余的个数字中选一个做个位，共有种选法， 故共有个符合条件的三位数. 故答案为： 17．一个袋子中有4个红球，n个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.已知取出的2个球都是红球的概率为，那么两次取到的球颜色相同的概率为 . 【答案】 【分析】根据两次取到的球都是红球的个数求出总的基本事件，进而求出n的值，再求出两次取到的都是绿球的事件即可. 【详解】设从个球不放回地随机取出2个的可能总数为， 事件A=“两次取出的都是红球”，则， 因为，所以， 又，所以，解得， 所以两次取到的都是绿球的事件共有， 所以两次取到的球颜色相同的概率为. 故答案为： 18．已知展开式的第项的二项式系数最大，且为偶数，则展开式中系数最大的项是第 项. 【答案】三/3 【分析】根据二项式系数的性质可得，即可求解开展式中系数最大的项. 【详解】由题意知，展开式的第5项的二项式系数为， 又为偶数，所以. 则， 其中正项的系数为， 有， 所以最大项的系数为，是展开式的第三项. 故答案为：三. 19．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得 ．(用组合数表示即可) 【答案】 【分析】利用二项式定理，结合已知条件，即可推出结果. 【详解】依题意， 故是展开式中的系数， 而展开式中的系数为， 所以． 故答案为：. 20．的展开式中含的项的系数为 . 【答案】960 【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解. 【详解】的展开式的通项为，故令， 可得的展开式中含的项的系数为：. 故答案为：960. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．（1）二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数． （2）已知，求的值． 【答案】（1）-2500；（2）-2 【分析】（1）由二项式系数和得到，从而得到的展开式通项公式，求出，得到答案； （2）赋值法得到，及，从而求出. 【详解】（1）由题意得，解得， 的展开式通项公式为， 令，解得，故， 故其二项展开式中的系数为 （2）中，令得，， 令得①， 令得②， ①+②得，，解得， 故 22．从6人中选取4人分别去A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，而每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人都不去A地游览．问：不同的选择方案共有多少种？ 【答案】240 【分析】根据排列和分步计数原理即可求解. 【详解】先安排A城市的游览方法，从去掉甲乙的四个人中选一个人去A城市，则有4种， 再从剩下的5个人中选取三人分别安排到B,C,D城市，此时有种， 根据分步计数原理，不同的选择方案有种， 23．已知的展开式中各项二项式系数之和为，求展开式中的常数项. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和为，列式求出的值，再表示出二项展开式的通项公式，并令的指数为0，即可求出常数项. 【详解】由的展开式中各项二项式系数之和为， 可得，解得， 则的二项展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 24．用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用，则该板报有多少种书写方案?    【答案】600 【分析】根据分步相乘计数原理求解即可. 【详解】第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法; 第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角相同，有5种不同的选法; 第三步，选理综世界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不相同，有4种不同的选法; 第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只要与理综世界不同即可，有5种不同的选法. 由分步乘法计数原理知，共有种不同的书写方案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要考查了计数原理、排列与组合、二项式定理等常见考点。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．甲、乙等5个同学，相约周末去电影院看电影，恰好买到了5张连座的电影票.若甲、乙两人不相邻，则不同的坐法有（    ） A．48种 B．120种 C．36种 D．72种 2．若，且，则实数的值可以为（ ） A．1或 B． C．或3 D． 3．王老师打算从5人中选出2人任组长和副组长，不同的选法总数是（    ） A．25 B．20 C．10 D．7 4．用数字 组成三位数,各数位上的数字允许重复,则满足条件的三位数的个数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．64 5．已知从1，2，3，4，5这个数字中随机地选取个数字，则“选取的个数字之积大于5”的概率为（    ） A． B． C． D． 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　）    A． B． C． D． 7．已知，则（　　） A． B．0 C．1 D． 8．某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有（　　） A．7种 B．14种 C．21种 D．49种 9．可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为（ ） A． B． C． D． 11．若A，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如下图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 13．由数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（    ） A．2 B．12 C．16 D．24 14．在的二项展开式中，的系数是（    ） A． B．20 C．15 D． 15．甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（   ） A．480 B．240 C．120 D．360 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．从0，1，2，3，4中选出3个数，组成无重复数字的三位数，则三位数共有 个． 17．一个袋子中有4个红球，n个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.已知取出的2个球都是红球的概率为，那么两次取到的球颜色相同的概率为 . 18．已知展开式的第项的二项式系数最大，且为偶数，则展开式中系数最大的项是第 项. 19．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得 ．(用组合数表示即可) 20．的展开式中含的项的系数为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．（1）二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数． （2）已知，求的值． 22． 从6人中选取4人分别去A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，而每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人都不去A地游览．问：不同的选择方案共有多少种？ 23． 已知的展开式中各项二项式系数之和为，求展开式中的常数项. 24．用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用，则该板报有多少种书写方案? 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