第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知直线和平面，下面说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 2．在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 3．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 4．在正方体中，异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 5．给出下列语句： ①一个平面长3m，宽2m； ②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合； ③空间图形是由空间的点、线、面所构成的． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．设是直线，是平面，则能推出的条件是（ ） A．存在一条直线，， B．存在一条直线，， C．存在一个平面，， D．存在一个平面，， 7．已知直线和平面，则下列命题中，真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知一条直线和平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．在正方体中，直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 10．三条直线交于一点，可以确定平面的个数为（    ） A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．6个 11．从平面外一点P引与平面相交的直线，使P到交点的距离等于1，这样的直线可以作（    ） A．无数条 B．1条 C．0条 D．以上都有可能 12．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 14．下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一平面的两个平面垂直 B．垂直于同一平面的两条直线垂直 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 15．已知两条不同的直线，与两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，，则直线与是异面直线 D．若，，，则直线与是异面直线 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知直线，平面，，，，那么与平面的关系用符号语言表示是 17．如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则三棱锥的体积为 ．    18．在棱长为1的正方体中，对角线与所成角的正弦值为 . 19．在正四棱柱中，与底面所成角的余弦值为，则该四棱柱的体积为 ；异面直线与所成角的余弦值为 ． 20．空间两个平面最多将空间分成 部分.（填数字） 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知正三棱锥底面边长为4，D为上一点，若棱锥D-ABC的体积为，求： (1)CD的长； (2)截面DAB与底面ABC所成二面角的大小． 22．在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，F是棱AD上的一点，E是棱的中点. (1)如图1，若F是棱AD的中点，求异面直线OE和所成角的余弦值； (2)如图2，若延长EO与的延长线相交于点G，求线段的长度. 23．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 24．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套新疆专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知直线和平面，下面说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理，和空间中直线与平面的关系逐个分析即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误；    对于B，若，，则或，故B错误；    对于C，若，，，则，故C正确；    对于D，若，，则，a与b相交，或a与b异面，故D错误，    故选：C． 2．在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案. 【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交， 则a与b可能平行，也可能是异面直线， 故选：D 3．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项． 【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误． 对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误． 对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确． 对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面．所以D选项错误． 故选：C 【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题． 4．在正方体中，异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与直线平行的直线，即可得到异面直线所成角为，根据正方形结构特征求解即可. 【详解】如图所示， 在正方体中，， 所以异面直线与所成角即与所成角， 在正方形中，. 故选：B. 5．给出下列语句： ①一个平面长3m，宽2m； ②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合； ③空间图形是由空间的点、线、面所构成的． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间内平面的定义以及空间内点、线、面的关系，判断三个语句的真假即可求解. 【详解】①平面是可以无限延伸的，则一个平面长，宽的说法错误； ②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合，该说法是正确的； ③点、线、面都是空间中的元素，故空间图形是由空间的点、线、面所构成的，该说法正确． 综上可得：正确说法的个数是2个． 故选：B. 6．设是直线，是平面，则能推出的条件是（ ） A．存在一条直线，， B．存在一条直线，， C．存在一个平面，， D．存在一个平面，， 【答案】C 【分析】根据各选项中的条件，结合线面平行的判定，可以由判断ABD，利用面面平行性质判断C作答. 【详解】对于A，若，可以满足，，此时不成立，A错误； 对于B，若，满足，也满足，此时不成立，B错误； 对于C，由面面平行的性质知：若，，则，C正确； 对于D，若，满足，且垂直于与的交线，也满足，此时不成立，D错误. 故选：C 7．已知直线和平面，则下列命题中，真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举例说明判断AB；利用线面平行的判定定理判断C；利用面面平行的性质、线面垂直的性质判定推理判断D. 【详解】对于A，“若，则”是假命题，如长方体上底面矩形相邻两边互相 垂直，而这两边都与下底面平行，A不是； 对于B，由，令，当时，满足，此时， 即“若，则”是假命题，B不是； 对于C，由，要，必须有的条件，“若，则”是假命题，C不是； 对于D，因为，所以，D是. 故选：D 8．已知一条直线和平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与平面所成角的定义即可得解. 【详解】过直线上一点作平面的垂线，连接直线与垂足，直线与这条连线的夹角即为直线与平面所成的角， 当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为， 当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为， 当直线与平面不满足上述两种情况时，直线与平面所成的角在和之间， 综上，. 故选：B. 9．在正方体中，直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合正方体的性质，可得，即可得为直线与直线所成的角，结合正方体中，,继而求解. 【详解】 如图，连接，则， 所以为直线与直线所成的角， 因为正方体中，, 所以是等边三角形， 所以， 即直线与直线所成的角为. 故选：C. 10．三条直线交于一点，可以确定平面的个数为（    ） A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．6个 【答案】C 【分析】利用平面的基本性质可判断. 【详解】如图，直线与确定平面，若直线在平面内，则三条直线交于一点可确定一个平面； 如图，直线与确定平面，若直线不在平面内，则三条直线交于一点可确定三个平面； 综上三条直线交于一点，可以确定1个或3个平面. 故选：C. 11．从平面外一点P引与平面相交的直线，使P到交点的距离等于1，这样的直线可以作（    ） A．无数条 B．1条 C．0条 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】将题目转化为点与面的距离问题，分距离大于1，距离等于1，距离小于1讨论即可得解. 【详解】当点与面的距离小于1时，有无数条这样的直线，使点与交点的距离等于1； 当点与面的距离等于1时，有且仅有一条这样的直线，使点与交点的距离等于1； 当点与面的距离大于1时，不存在这样的直线，使点与交点的距离等于1； 综上，这样的直线可以作无数条，1条，0条. 故选：D. 12．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质判断AB选项，根据面面垂直的性质判断C选项，根据面面垂直的判定定理判定D选项即可求解. 【详解】若，也有可能是，故A错误； 若，也有可能与相交，平行于两平面的交线，故B错误； 若，也有可能与相交，故C错误； 根据面面垂直的判定定理：一个平面上的一条直线垂直另一个平面，则两平面垂直， 若，则，故D正确. 故选：D. 13．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】    如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故选：B. 14．下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一平面的两个平面垂直 B．垂直于同一平面的两条直线垂直 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据空间中线面位置关系即可解得. 【详解】选项AC：垂直于同一平面的两个平面位置关系可能为平行、垂直或相交，AC错误. 选项BD：根据线面垂直定理，垂直于同一平面的两条直线互相平行，D正确，B错误. 故选：D 15．已知两条不同的直线，与两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，，则直线与是异面直线 D．若，，，则直线与是异面直线 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理，面面平行性质定理，面面垂直的判定定理逐个判断即可. 【详解】若，，则与平行或异面，A错； 若且，则内有垂直于的直线，故，B正确； 若，，则直线与是相交，平行或异面直线，C错； 若，，，则直线与平行或异面，D错. 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知直线，平面，，，，那么与平面的关系用符号语言表示是 【答案】 【分析】先判断直线与平面的位置关系，再用符号表示即可得解. 【详解】∵，，∴. 故答案为：. 17．如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则三棱锥的体积为 ．    【答案】 【分析】根据正方体几何特征,得出线面垂直,最后等体积法转化求三棱锥的体积 【详解】平面,点R到面的距离等于点C到面的距离,, 等体积转化 故答案为：. 18．在棱长为1的正方体中，对角线与所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】先通过线线平行确定对角线与所成角，再利用直角三角形的三角函数求解即可. 【详解】在正方体中， 与平行且相等，且， 则与所成的角为. 在中，，， ， ∴. 故答案为：. 19．在正四棱柱中，与底面所成角的余弦值为，则该四棱柱的体积为 ；异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 2 【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积；利用平移直线，转化为与所成角. 【详解】解：如图可知：， ， 正四棱柱的体积等于 ∵， ∴与所成角即为所求角，记为， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 20．空间两个平面最多将空间分成 部分.（填数字） 【答案】4 【分析】当两个平面相交时可得答案. 【详解】当两个平面相交时，可讲空间分成最多的部分，分成4部分. 故答案为：4. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知正三棱锥底面边长为4，D为上一点，若棱锥D-ABC的体积为，求： (1)CD的长； (2)截面DAB与底面ABC所成二面角的大小． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据棱锥的体积与底面面积即可求解. （2）得到二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）正三棱锥底面边长为4，棱锥D-ABC的体积为 ∴，且， ∴． （2） 取AB中点O，连接DO和CO，因为， ∴， ∴为所求二面角的平面角， 在中，，， ∴， ∴， 即截面DAB与底面ABC所成二面角的大小为. 22．在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，F是棱AD上的一点，E是棱的中点. (1)如图1，若F是棱AD的中点，求异面直线OE和所成角的余弦值； (2)如图2，若延长EO与的延长线相交于点G，求线段的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先证，所以为异面直线与OE所成的角或其补角，根据题意运算求解；（2）根据线面的性质分析可得且，结合题意运算求解. 【详解】（1）连接OF，取的中点，连接OM，ME， 因为O，F，M分别为，，的中点，所以，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与OE所成的角或其补角， 在中，易求，，， 则，所以， 所以， 即异面直线OE与所成角的余弦值为. （2）因为，且平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面平面，所以， 因为，且为AC的中点，所以，所以， 所以， 即线段的长度为. 23．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交. 【分析】根据线面位置关系的定义可判断. 【详解】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交. （2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交. （3）因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行. （4）因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交. 24．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 【答案】(1)均为. (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）在直角三角形中应用勾股定理求解. 【详解】（1）因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为在平面内，所以， 所以直线和直线，直线和直线所成的角均为. （2）因为，，，所以在直角三角形中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $