18 函数的概念与性质及应用中的易错问题剖析&19 函数性质中的新定义问题揭秘”-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

高一数学描腰费有中学生最理化 函数的概念与性质及应用中的易错问题剖析 ■吴丽娜 易错一：求具体函数定义域忽略讨论最 正解：已知函数y=f(x)的定义域为 高项系数是否为0 [-1,2),则-1≤x十2<2，解得一3≤x<0, x-1 例1若函数f(x)= 所以函数y=∫(x+2)的定义域为[一3,0)。 /m.x2+2mx+4 应选C。 的定义域为R,则实数m的取值范围是 易错三：使用换元法忽略新元的取值范围 错解：因为函数f(x)的定义域为R,所 例3已知f(√E一1)=x一2√，则 以不等式mx2十2m.x十4>0的解集为R,所 f(x)的解析式为()。 m>0, 以 解得0<m<4,所以 A.f(x)=x2-1 △=4m2-16m<0, B.f(x)=x2+1(x≥-1) 实数m∈(0,4)。 C.f(x)=x2-1(x≥-1) 剖析：错解漏掉了最高项系数为0的情 D.f(x)=x2+1 况。在解一元二次不等式时，需要特别注意 错解：令t=√x一1，换元后要注意t≥ 最高项系数的取值情况。 一1。若忽略新元的取值范围，则容易错选A。 正解：因为函数f(x)的定义域为R,所 剖析：利用换元法求函数解析式，要注意 以不等式m.x2十2mx十4>0的解集为R。 函数的定义域。 当m=0时，可得4>0，显然不等式的解 集为R;当m<0时，二次函数y=mx2十 正解：令t=√一1，即√元=t+1,则t≥ 2m.x十4的图像开口向下，函数值y不恒大 -1。因为f(√x-1)=x-2√x=(√x 于0，即解集不可能为R;当m>0时，二次函 1)21,所以f(t)=t2一1，t≥一1，即函数 数y=mx2十2max十4的图像开口向上，由 f(.x)=x2-1(x≥-1)。应选C。 不等式的解集为R,可得二次函数与x轴没 易错四：根据函数奇偶性求解析式时忽 有交点，所以△=4m2一16m<0,即m(m 视变量“x”的取值范围 4)<0,解得0<m<4。 例4已知f(x)为奇函数，且当x≥0 综上可得，实数m的取值范围为[0,4)。 时，f(x)=e1,则当x<0时，函数f(x) 易错二：对复合函数定义域理解不当致错 例2已知函数y=f(x)的定义域为 错解：当x≥0时，f(-x)=ex一1。因 [一1,2)，则函数y=f(x十2)的定义域为 为f(x)为奇函数，即f(一x)=一f(x),所 (）。 以函数f(x)=一e十1。 A.[-3,0] B.[1,4) 剖析：错解求出的是当x<0时的解析 C.[-3,0) D.(1,4] 式，要注意表示函数时，变量“x”的取值范围。 错解：因为函数y=∫(x)的定义域为 正解：设x<0,则一x>0,所以f(一x) [-1,2),即一1≤x<2,所以1≤x十2<4，所 =e一1。因为f(x)为奇函数，即f(一x) 以函数y=f(x+2)的定义域为[1,4)。应 =-f(x),所以-f(x)=ex一1，故当x<0 选B。 时，函数f(.x)=一e十1。 剖析：错解在于将函数y=f(x)中的 作者单位：广西壮族自治区桂林市首附 “x”与函数y=(x十2)中的“x”当成同一个 实验中学 量，同时没有理解函数定义域的定义的含义。 (责任编辑王琼霞) 35 创新题追根溯源 中学生数理化高数学2025年10月 揭秘二：满足特殊关系的函数借助区间 图数性质中的 上的单调性求解 例2已知函数y=F(x)与y=f(x)的 新定义问题“揭秒” 定义域为R,若对任意区间[u,v]二R,存在 p∈[u,v]且g∈[u,v],使得f(p) ■李赛花 揭秘一：新定义函数依据新定义和函数 F(u)-F(o)≤f(q),则y=f(x)是y= u-v 的奇偶性、单调性求解 F(x)的生成函数。 例1定义在R上的函数f(x)满足： (1)求证：f(x)=2x是F(x)=x”一3的 ①对任意x1,x2(x1≠x2),都有(x1一x2)· 生成函数。 [f(x1)一f(x2)]<0;②对任意x,都有 (2)若f(x)=x2十2是y=F(x)的生成 f(a十x)十f(a一x)=2b,则称函数∫(x)是 函数，判断并证明y=F(x)的单调性。 以(a,b)为中心的“中心捺函数”。已知函数 证明：(1)由生成函数的定义，判断是否 y=f(x一1)是以(1,0)为中心的“中心捺函 满足f(D)≤F)二F(）≤f(g)即可。 数”，若f(n一mn)+f(2m2一2mn)≥0，则 m 一的取值范围为一。 Vu,u∈R,且u<u,可得F(u)-F() m u-v 解：对任意x1,x2(x1≠x2),都有(x1一 =(w2-3)-(w-3)=42-02 =u十v。由 x)[f(x1)-f(x)]<0,则f(x)在R上单调 u<v,可得2u<u十v<2u,则3p=u,f(p) 递诚。y=f(x一1)的图像向左平移1个单位 =2u,3q=u,f(q)=2u,满足f(p)≤ 长度得到∫(x)的图像。因为函数y= f(x一1)是以(1,0)为中心的“中心捺函数”，所 F(u)-F(u)≤f(g),所以f(x)=2x是 以函数f(x)是以(0,0)为中心的“中心捺函 F(x)=x”一3的生成函数。 数”，则f(x)十f(一x)=0,所以函数f(x)是 奇函数且在R上单调递减。因为f(n (2)由题意得p+2≤Fu二F()≤ u-v mm)十f(2m-2mn)≥0，即f(n2-mm)≥ q°+2。由(q2+2)(u-)<0,可得F(u)< -f(2m2-2mm)=f(2mn-2m2),所以n2 F(),结合单调函数的定义即得结果。 mn2mm-2m2,即n2-3mn+2m20。 因为f(x)=x2十2是y=F(x)的生成 若m=0,则n'≤0，即n=0,这时m 函数，所以对任意区间[u,v]三R,了p∈[u, 没有意义；若n=0,则2m2≤0，即m=0,这 ]且g∈[u,o],使得f(p)≤F(u)-F(u) 时m十n没有意义。所以m≠0且n≠0。 时n ≤f(g),即D+2≤F(u)-F(m)≤g+2. U 由n2一3mn十2m”≤0两边同除以m2得 由uv,即u-v<0,可得(q十2)(u一v)≤ (偏)广-3·”+2=（份-偏-2）≤0.解 F(u)-F()≤(p2十2)(u-v)。因为(p2十 2)(u-v)<0,所以F(u)-F(v)<0,即 得1≤”≤2，所以2≤1十品<3，所以m什n m F(u)F(v),所以函数y=F(x)在R上单 调递增。 1大n 评析：解答本题的关键是理解“生成函 数”的性质，在快速理解新定义的基础上，解 评析：本题依据函数的新定义，合理转化 决新问题。 为函数单调性和对称性的应用，再根据函数 作者单位：福建省晋江市季延中学 的奇偶性和单调性解不等式求得结果。 (责任编辑王琼霞) 36