6 幂函数题型例讲&7 例析抽象函数的八种题型-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

中学生款理化架皱掉与新车1D月 三、利用幂函数的性质比较大小 幂函数题型例进 例3若a= ,6=() ,c=4,则 a,b,c的大小关系是 ■王春玲 隋国庆 解：因为幂函数y=x导在第一象限内是 般地，函数y=x°叫作幂函数，其中x 增函数，且1>>日，所以>（分）产 是自变量，α是常数。幂函数的三个性质：幂 函数在(0，十∞)上都有定义：当a>0时，幂 (传)产，所以1>a>6。又>1，故c>a>b. 函数的图像过点(1,1)和(0,0)，且在(0， 评注：当幂指数相同时，可直接利用幂函 十∞)上单调递增；当α<0时，幂函数的图像 数的单调性比较大小；当幂指数不同时，先转 过点(1,1)，且在(0，十∞)上单调递减。下面 化为相同的幂指数，再利用单调性比较大小。 就幂函数的常见题型进行举例分析。 四、利用幂函数的性质解不等式 一、幂函数的判断 例4若幂函数(x)过点(2,8)，求满足 例1已知函数y=x1,y=3x2,y= f(a一3)>f(1一a)的实数a的取值范围」 x2十2x,y=1,则幂函数的个数为( )。 解：设幂函数为f(x)=x。因为图像过 A.4B.3C.2D.1 点(2,8)，所以2=8，解得a=3,所以 解：函数y=x4为幂函数。函数y= f(x)=x3。f(x)=x3在R上为增函数，由 3x2中x2的系数是3，所以它不是幂函数。 f(a-3)>f(1-a),可得a-3>1-a,解得 函数y=x2十2x不是y=x(a是常数)的形 a>2,即实数a的取值范围是(2，十∞)。 式，所以它不是幂函数。函数y=1与y= 评注：解答本题的关键是利用幂函数的 x°=1(x≠0)不相同，所以y=1不是幂函 单调性，将已知不等式转化为自变量的大小 数。应选D。 关系求解。 评注：幂函数y=x“(a为常数)需满足： 五、幂函数性质的综合应用 指数为常数；底数为自变量；x·的系数为1。 例5已知幂函数f(x)=(2m2一6m十 二、幂函数的图像 5)xm+1为偶函数。 例2若幂函数y=∫(x)的图像过点 (1)求f(x)的解析式。 (4,2),则幂函数y=f(x)的大致图像 (2)若函数y=f(x)-2(a一1)x十1在 是( (2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围。 解：(1)由f(x)为幂函数知2m2一6m十 5=1,即m2-3m十2=0，解得m=1或m= 2。当m=1时，f(x)=x2为偶函数，符合题 B 意；当m=2时，f(x)=x8为奇函数，不符合 解：设幂函数的解析式为y=x”。因为 题意，舍去。故幂函数(x)=x。 幂函数y=f(x)的图像过点(4,2)，所以2= (2)结合(1)得y=x2-2(a-1)x+1,其 2,所以y=√反，其定义域为[0， 对称轴为x=a一1。由函数y在(2,3)上为单 4°，解得α= 调函数，可得a-12或a-1≥3，解得a≤3 十∞)，且是增函数。当0<x<1时，其图像 或a≥4，即实数a∈(-∞，3]U[4,+∞)。 在直线y=x的上方，对照选项知C正确。 评注：解答本题的关键是熟练掌握幂函 应选C。 数的图像与性质。 评注：解答本题的关键是区分y=x“中 作者单位：沈阳市回民中学 的0<a<1和a>1两种情况的幂函数图像。 (责任编辑王琼霞) 10 高一数学如阳售种与拓骨中学生最理化 例析抽象函数的八种题型 ■吴祖金 抽象函数是指没有给出具体的函数解析 f(一x)g(一x)=一f(x)g(x),所以 式或图像，只给出一些函数符号及其满足的 ∫(x)g(x)为奇函数，A错误。由 条件，如函数的定义域，解析递推式，特定点 f[g(-x)]=f[g(x)门，可得fg(x)]为 的函数值，特定的运算性质等的函数。下面 偶函数，B错误。由f(一x)一g(一x)= 举例分析常见的抽象函数的八种题型。 一f(x)一g(x),可得f(x)一g(x)为非奇 题型一：求函数的定义域 非偶函数，C错误。因为g[f(一x)]= 例1已知函数y=f(x)的定义域为 g[-f(x)]=gCf(x)],所以g[f(x)]为 [-8,1山.则函数8)=f2年的定义域 偶函数，D正确。应选D。 评注：判断函数的奇偶性，实质上是判断 是( )。 f(x)十f(x)=0(奇函数)或f(.x)一 A[号-2u-2,0 f(一x)=0(偶函数)是否成立。 题型三：判断函数的单调性 B[号0 例3（多选题）已知函数f(x)在R上 为增函数，则下列结论错误的是( )。 c(-号-2U(-2.o) 1 D.[-15,3] A.y=Tx)在R上为减函数 解：因为函数f(x)的定义域为[一8,1]， B.y=|f(x)|在R上为增函数 -8≤2x十1≤1， 所以 {x+2≠0， 解得一号≤<0，且 C.y=一x)在R上为增函数 D.y=一(x)在R上为减函数 x卡一2，所以函数g(x)的定义域为 解：对于A,令函数f(x)=x,则y= [号-2U(-2,01.应选A f(x)=x在R上不是减函数，A错误。 评注：已知函数f(x)的定义域为[a,b], 对于B,令函数f(x)=x,则y=|f(x)| 求复合函数f[g(x)]的定义域，可由不等式 |x|在R上不是增函数，B错误。对于C,令 a≤g(x)≤b解出x,即得函数f[g(x)]的 定义域 函数1)=，则y=石=一上在R 题型二：判断函数的奇偶性 上不是增函数，C错误。对于D,f(x)在R 例2已知f(x)是定义在R上的奇函 上为增函数，对任意的x1,x2∈R,设x1 数，g(x)是定义在R上的偶函数，则()。 x2,必有f(x1)<f(x2),对于y=一f(x), A,f(x)g(x)是偶函数 则y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]= B.f[g(x)]是奇函数 f(x2)一f(x1)>0,所以y=一f(x)在R上 C.f(x)一g(x)是奇函数 为减函数，D正确。应选ABC。 D.g[f(x)门是偶函数 评注：熟记函数的单调性的定义和特殊 解：由函数f(x)是定义在R上的奇函 函数的图像与性质是解题的关键。 数得f(一x)=一f(x),由函数g(x)是定义 题型四：求函数的值 在R上的偶函数得g(一x)=g(x),所以 例4已知定义在R上的奇函数f(x), 11 中学生教理化高数学202年10月 知识结构与拓展 满足f(x十4)=f(x)恒成立，且f(1)=1, 调递增，则f(一6.5)，f(一1)，f(0)的大小 则f(3)十f(4)+f(5)的值为()。 关系是」 A.-1 B.1 解：因为f(x)对于任意x∈R都有 C.2 D.0 f(x十2)=f(x),所以f(x)的周期为2，所 解：因为f(x)是R上的奇函数，且f(1) 以f(-6.5)=f(1.5),f(-1)=f(1)。因 =1,所以f(-1)=-f(1)=-1,f(0)=0。 为f(x)在区间[0,2)上单调递增，所以 依题意得f(3)=f(一1十4)=f(-1)= f(0)<f(1)<f(1.5),即f(0)<f(-1)< -f(1)=-1,f(4)=f(0+4)=f(0)=0, f(-6.5)。 f(5)=f(1+4)=f(1)=1,所以f(3)+ 评注：当自变量的取值在同一个单调区 f(4)+f(5)=-1+0+1=0。应选D。 间上时，可直接利用函数的单调性比较大小。 评注：若函数∫(x)定义域内任一自变量 题型七：解不等式 的值x满足f(x十a)=一f(x),则函数 例7设f(x)是定义在R上的增函数， f(x)的最小正周期T=2a(a>0)。 且f(xy)=f(x)十f(y),f(3)=1,则不等 题型五：求参数的取值范围 式f(x)十f(-2)>1的解集为一 例5已知定义在R上的函数∫(x)满足 解：由已知条件得f(x)十f(一2)= f(x)=f(一x),且在[0，十∞)上单调递增，不 f(一2x)。因为f(3)=1,所以不等式f(x) 等式f(a.x十3)≤f(一2)对于x∈[1,2]恒成立， 十f(-2)>1可化为f(-2x)>f(3)。 则实数a的取值范围是( )。 因为f(x)是定义在R上的增函数，所 A. B. 8-1 .5 以一21>3，解得x<一，所以所求不等式 C. 「517 L2·-2 的解集为x|x<一 2} 解：由f(x)=f(一x)知f(x)为R上的 评注：若f(x)是R上的增函数，且 偶函数，则其图像关于y轴对称。因为f(x) 在[0，+∞)上单调递增，所以f(x)在 f(x1)>f(x2),则x1>x2。 题型八：求零点的个数 (一∞，0]上单调递减。 例8已知非零函数∫(x)的定义域为 因为f(ax+3)≤f(-2)对于x∈[1,2] 恒成立，所以f(|a.x十3|)≤f(|一2|)，所以 R,函数f(x十1)为奇函数，且f(2十x)= ax+3|≤2，即-2ax+3≤2对于x∈[1， f(2-x),则y=f(x)在区间[0,2024]上至 2]恒成立，所以-号≤a<-对于x∈1， 少有个零点。 解：因为函数f(x十1)为奇函数，所以 2恒成立，即(-）<a≤(）因为 f(1)=0。因为f(2+x)=f(2-x),所以 f(x)的图像关于直线x=2对称，所以f(3) y 与y=一1均在[1,2]上为增函数， 5 =f(1)=0,所以f(x)在(0,4)上至少有2 个零点。又因为f(2十x)=f(2一x),所以 所以一 1 ≤a≤1 =-1,即-5≤a≤-1 2 f(x十4)=f(x),所以f(x)是周期为4的 应选B。 周期函数。而2024=4×506，所以f(x)在 评注：解题时，需注意由f(ax十3) 区间「0,2024]上至少有2×506=1012（个） f(一2)对于x∈[1,2]恒成立，易得错误结 零点。 论：ax十3-2或ax+32。 评注：函数的零点是函数图像与x轴的 题型六：比较大小 交点的横坐标。 例6已知(x)对于任意x∈R都有 作者单位：湖北省巴东县第一高级中学 f(x十2)=f(x),且f(.x)在区间[0,2)上单 (责任编辑王琼霞) 12