3.1.1 第2课时 函数的表示方法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

第2课时　函数的表示方法 知识目标 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．　2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．　3.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．　4.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题. 素养目标 通过函数表示的图象法，培养直观想象素养；通过函数解析式的求法，培养数学运算素养；利用函数解决实际问题，培养数学建模素养. 给出下列三个对应关系： (1)x，y∈R，y＝4x－1； (2)存款利率y与存期x对应关系： 存期x个月 3 6 12 24 36 利率y 0.011 0.013 0.015 0.021 0.0275 (3)李明购买2B铅笔费用与铅笔支数的关系如图所示． 问题1.结合初中所学，它们分别是用什么形式表达两个变量x，y之间的对应关系的？它们是否都是函数关系？ 提示：分别用解析式、列表、图象表示对应关系；都是函数关系． 问题2.是否任意的函数关系都可以用解析法表示？ 提示：不是． 知识点一　函数的表示方法 常用的函数的表示方法有三种：列表法、图象法和解析法，具体如下． 列表法 图象法 解析法(公式法) 定义 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法. 用“图形”表示函数的方法. 在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的方法. 优点 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 能直观、形象地表示出函数值的变化情况. 通过解析式可求出任意一个自变量所对应的函数值，且便于研究函数的性质. 缺点 列表法只能表示自变量取值为有限个的函数，且从表中很难看出函数的性质. 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大. 用解析式表示函数时容易漏掉定义域，而且对于一些实际问题，很难找到它的解析式. [微提醒] 由列表法和图象法的概念可知，函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y. 知识点二　函数的图象 1．函数的图象 一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即 F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}． 学生用书↓第72页 2．函数图象的作法 (1)函数图象的特征 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． (2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域) (3)利用常见函数图象作出所求函数的图象． 知识点三　分段函数 1．分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一平面直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意接点处点的虚实，保证不重不漏． [微提醒] 1．分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用那个区间上的解析式来进行计算． 3．写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集． 1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 答案：C 解析：由题意设y＝(k≠0)，由题意知1＝，所以k＝2，所以y＝.故选C. 2．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于(　　) x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 A．3 B．2 C．1 D．4 答案：C 解析：由表中数据可得f(3)＝4，故f(f(3))＝f(4)＝1.故选C. 3．已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　) A．－ B．2 C．11 D．4 答案：D 解析：因为f(x)＝所以f(1)＝12＋2＝3， 所以f(f(1))＝f(3)＝3＋1＝4.故选D. 4．已知f(x)＋2f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝(　　) A．－3x＋ B．－3x C．－3x＋1 D．－x＋ 答案：A解析：由f(x)＋2f(－x)＝3x＋1， 得f(－x)＋2f(x)＝－3x＋1，所以解得f(x)＝－3x＋.故选A. 5．若函数f(x)＝则f(f(－1))＝__________，函数f(x)的值域为__________． 答案：　[1，＋∞) 解析：由题意，得f(f(－1))＝f[(－1－1)2]＝f(4)＝4＋＝，当x≤0，f(x)＝(x－1)2≥1，此时最小值为1；当x>0时，f(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，取等号，此时最小值为2，综上，函数f(x)的值域为[1，＋∞). 题型一　函数的表示方法 例1　(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) (2)已知函数f(x)按下表给出，满足f[f(x)]>f(3)的x的值为________． 学生用书↓第73页 x 1 2 3 f(x) 2 3 1 点拨：(1)由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律． (2)观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较． 答案：(1)D　(2)3或1 解析：(1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. (2)由表格可知f(3)＝1， 故f[f(x)]>f(3)即为f[f(x)]>1. 所以f(x)＝1或f(x)＝2，所以x＝3或1. 理解函数的表示法应关注三点 1．列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． 2．判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． 3．函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 对点练1.购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域． 解：解析法：y与x(x∈{1，2，3，4})之间的函数关系为： y＝2x，x∈{1，2，3，4}． 列表法，y与x(x∈{1，2，3，4})之间的函数关系为： x 1 2 3 4 y 2 4 6 8 图象法，y与x(x∈{1，2，3，4})之间的函数关系如下： 函数的值域为{2，4，6，8}． 题型二　求函数的解析式 例2　根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知f ＝，求f(x)； (2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)． 点拨：(1)换元法：设＝t.注意新元的范围． (2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c. 解：(1)设t＝，则x＝(t≠0)， 代入f ＝，得f(t)＝＝， 故f(x)＝(x≠0且x≠±1)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3， 所以解得 所以，f(x)＝－x2＋x－3. 函数解析式的求法 1．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． 2．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． 3．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． 4．解方程法：已知f(x)与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 对点练2.根据下列条件，求函数f(x)的解析式： (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17； (2)已知函数f(x)满足条件2f(x)＋f ＝3x对任意不为零的实数x恒成立． 解：(1)设一次函数为f(x)＝kx＋b(k≠0)， 因为3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17， 所以3f(x＋1)－2f(x－1)＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝kx＋b＋5k＝2x＋17， 所以解得 所以f(x)＝2x＋7. (2)将x＝代入等式2f(x)＋f ＝3x，得2f ＋f(x)＝， 联立 即 解得f(x)＝2x－(x≠0)． 题型三　求分段函数的函数值 例3　(1)设f(x)＝则f ＝(　　) A． B． C．－ D． 学生用书↓第74页 (2)已知f(n)＝则f(8)＝________． 点拨：判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． 答案：(1)B　(2)7 解析：(1)因为f ＝－2＝－， 所以f ＝f ＝＝.故选B. (2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，即f(8)＝f(f(13))．因为13>10，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，故f(8)＝f(10)＝10－3＝7. 1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． 2．像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． 3．已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解． 对点练3.已知f(x)＝ (1)若f(a)＝4，且a>0，求实数a的值； (2)求f 的值． 解：(1)当0<a<2时，由f(a)＝2a＋1＝4，得a＝， 当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4得a＝或－(舍去)， 故a＝或a＝. (2)由题意f(x)＝ 得f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝2×＋1＝2. 题型四　函数图象 例4　函数y＝＋x的大致图象是(　　) 点拨：思路一　确定定义域→用特殊点验证 思路二　确定定义域→将函数写成分段函数的形式→确定函数图象 答案：C 解析：方法一　易得函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，排除A，B；当x＝－1时，y＝－2，选项D中的图象不符合，排除D.故选C. 方法二　函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，依据绝对值的定义可得y＝，易知选项C对应的图象正确． 解决函数图象识别问题的方法 解决函数图象识别问题的基本方法是排除法，即根据函数的定义域确定图象所在的范围；根据特殊点确定图象的位置，特殊点一般为图象与坐标轴的交点、图象的最高(低)点等． 对点练4.画出下列函数的图象： (1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)； (2)f(x)＝|x＋2|. 解：(1)f(x)＝[x]＝函数图象如图①所示． 图① 图② (2)f(x)＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图②所示. 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) 答案：D 解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}．故选D. 2．如果f ＝，则当x≠0，1时，f(x)等于(　　) A． B． C． D．－1 答案：B 解析：令＝t，则x＝，代入f ＝，则有f(t)＝＝，所以f(x)＝.故选B.3.函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) 答案：B 解析：将y＝|x|的图象向右平移一个单位，选项B适合．故选B. 4．已知f(x)＝则f(－1)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 解析：由题意可知f(－1)＝f(f(－1＋2))＝f(f(1))，而f(1)＝f(f(3))＝f(4)＝5，所以f(－1)＝f(5)＝6.故选C. 课时测评17　函数的表示方法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，入园人数最多的时段是(　　) A．13时～14时 B．16时～17时 C．18时～19时 D．19时～20时 答案：B 解析：结合函数的图象可知，在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，图象变化最快的为16到17时之间，所以入园人数最多的时段是16时～17时．故选B. 2．已知f(x－1)＝，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝1＋x 答案：C 解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝＝，所以f(x)＝.故选C. 3．已知函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A． B．3 C． D． 答案：C 解析：已知函数f(x)＝ 则f(3)＝，所以f(f(3))＝f ＝＋1＝.故选C. 4．下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 答案：C 解析：因为当x<0时，二次函数y＝x2是减函数，所以排除D，因为当x≥0时，一次函数y＝x－1是增函数，所以排除A，又当x＝0时，y＝－1，所以排除B.故选C. 5．已知函数f(x)＝则f(－1)＋f(1)＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案：A 解析：因为函数f(x)＝所以f(－1)＝(－1)2＝1，f(1)＝2×1－1＝1，所以f(－1)＋f(1)＝1＋1＝2.故选A. 6．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出． x 4 5 6 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 4 5 4 则g(f(5))＝__________；f(g(2))＝__________． 答案：4　3 解析：f(5)＝3，所以g(f(5))＝g(3)＝4；g(2)＝5，所以f(g(2))＝f(5)＝3. 7．若函数f(x)满足f(x＋3)＝，则f(x)在[1，＋∞)上的值域为__________；若f(f(x))＝，则实数x的值为__________． 答案：(1，2]　1 解析：因为f(x＋3)＝＝1＋，所以f(x)＝1＋.当x≥1时，1<f(x)≤2，所以f(x)在[1，＋∞)上的值域为(1，2]，因为f(f(x))＝，所以f(x)＝2，即1＋＝2，所以x＝1. 8．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝_________________________________________. 答案： 解析：因为f(x)－f(－x)＝2x， 所以 得两式相加得f(2)＝4，f(2)＝. 9．(10分)已知函数f(x)＝ (1)求f(－4)、f(3)、f(f(－2))的值；(4分) (2)若f(a)＝10，求a的值．(6分) 解：(1)因为f(x)＝ 所以f(－4)＝－4＋2＝－2，f(3)＝2×3＝6， f(－2)＝－2＋2＝0， 所以f(f(－2))＝f(0)＝02＝0. (2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2＝10，得a＝8，不符合题意； 当－1<a<2时，f(a)＝a2＝10，得a＝±，不符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a＝10，得a＝5，符合题意， 所以a＝5. 10．(10分)(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式；(4分) (2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)的解析式．(6分) 解：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)． (2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又因为f(f(x))＝4x－1， 所以a2x＋ab＋b＝4x－1. 所以解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. 11．(5分)已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)－4x]＝5恒成立，则f(2)等于(　　) A．1 B．3 C．7 D．9 答案：D 解析：因为函数f(x)是一次函数，且f[f(x)－4x]＝5恒成立，令f(x)－4x＝t，则f(x)＝4x＋t，所以f(t)＝4t＋t＝5，解得t＝1，所以f(x)＝4x＋1，f(2)＝2×4＋1＝9.故选D. 12．(5分)已知函数f(x)的图象是如图所示的曲线段OAB，其中O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)，则f ＝________，函数g(x)＝f(x)－的图象与x轴交点的个数为________． 答案：2　2 解析：由题图得f(3)＝1，所以f ＝f(1)＝2.令g(x)＝f(x)－＝0，所以f(x)＝.观察函数f(x)的图象可以得到f(x)＝有两个解，所以g(x)＝f(x)－的图象与x轴交点的个数为2. 13．(10分)作出下列函数的图象： (1)y＝－x＋1，x∈Z；(3分) (2)y＝2x2－4x－3，0≤x<3；(3分) (3)y＝|1－x|.(4分) 解：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图①所示． (2)由于0≤x<3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图②. (3)因为y＝|1－x|＝故其图象是由两条射线组成的折线，如图③. 　　 14．(20分)某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；(8分) (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？(12分) 解：(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， g(x)＝ (2)①12≤x≤20时，令6x＝90，解得x＝15， 即当12≤x＜15时，f(x)＜g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15＜x≤20时，f(x)＞g(x)． ②当20＜x≤30时，f(x)＞g(x)， 故当12≤x＜15时，选A俱乐部合算， 当x＝15时，两家俱乐部一样合算， 当15＜x≤30时，选B俱乐部合算． 学生用书↓第75页 学科网（北京）股份有限公司 $