1.2矩形的性质与判定 举一反三 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】矩形的性质 7 【题型2】矩形的性质与坐标系 9 【题型3】直角三角形斜边上中线的性质 11 【题型4】矩形的判定 14 【题型5】矩形的性质与判定 17 【题型6】矩形与动点问题 19 【题型7】矩形与折叠问题 21 【题型8】矩形的应用 24 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2025春•潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且BC=8，AC=6，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】由勾股定理求出AB的长，由直角三角形斜边上中线的性质，即可得到CD的长． 【解答】解：∵BC=8，AC=6，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∵CD是斜边AB的中线， ∴CD=AB=5． 故选：A． 2.（2025春•荔湾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=20，则CD的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴CD=AB， ∵AB=20， ∴CD=10． 故选：D． 【知识点2】矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质     ①平行四边形的性质矩形都具有；     ②角：矩形的四个角都是直角；     ③边：邻边垂直；     ④对角线：矩形的对角线相等；     ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 1.（2025春•曲沃县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ADB=40°，则∠AOB的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，证出OA=OB，得出∠OAB=∠ABO，再由三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABO， ∵∠ADB=40°， ∴∠ABO=50°， ∴∠AOB=180°-2×50°=80°， 故选：C． 【知识点3】矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 1.（2024春•广陵区校级期中）如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件使得▱ABCD是矩形（　　） A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐项判断即可求解． 【解答】解：A、若添加AB=AC，无法得到▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、若添加AC⊥BD，无法得到▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； C、若添加AB=BC，无法得到▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； D、若添加AC=BD，根据平行四边形的对角线相等，可得到▱ABCD是矩形，故本选项符合题意； 故选：D． 2.（2024秋•龙海区校级月考）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：_____使得▱ABCD是矩形．（　　） A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=CD D．AC=BD 【答案】D 【分析】根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形即可作出判断． 【解答】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加AC=BD，使得▱ABCD是矩形；其它选项的条件都不能使得▱ABCD是矩形； 故选：D． 【知识点4】矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 1.（2011•绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：   1．矩形的四个角都是直角   2．矩形的对角线相等   3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等   4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线所在的直线）．   5．对边平行且相等   6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可． 【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误； B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误； C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误； D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确． 故选：D． 2.（2024春•金凤区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，P为BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF垂直于AC于F，则EF的最小值为（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可． 【解答】解：连接AP， ∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF=AP， 要使EF最小，只要AP最小即可， 当AP⊥BC时，此时AP最小， 在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=8，AB=6，由勾股定理得：BC==10， 由三角形面积公式得：×8×6=×10×AP， ∴AP=4.8， 即EF=4.8， 故选：C． 【题型1】矩形的性质 【典型例题】如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】如图，过点D作DE∥a， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－60°＝30°， ∵a∥b，DE∥a，∴DE∥a∥b，∴∠4＝∠3＝30°，∠2＝∠5，∴∠2＝90°－30°＝60°. 故选：C. 【举一反三1】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为(　　) A.2 B.3 C.23 D.4 【答案】A 【解析】在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4， ∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OA＝AC＝2. 【举一反三2】如图，矩形ABCD对角线AC＝10，BC＝6，则图中四个小矩形的周长和为__________． 【答案】28 【解析】由勾股定理得AB＝＝＝8，将四个小矩形的所有上边平移至AB边，所有下边平移至CD边，所有左边平移至AD边，所有右边平移至BC边，则四个小矩形的周长之和＝2(AB＋BC)＝2×(6＋8)＝28. 【举一反三3】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度． 【答案】15 【解析】如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，∠CAD＝∠ADB＝30°，∴∠E＝∠DAE， 又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，∴∠E＋∠E＝30°，即∠E＝15°. 【举一反三4】如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，F为AB上的点，且DE＝AF，EF＝EC，连接FC. 求证：(1)∠AFE＝∠DEC； (2)△CEF为直角三角形． 【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°， 在Rt△AFE和Rt△DEC中，∵EF=EC，AF=DE，∴Rt△AFE≌Rt△DEC(HL)， ∴∠AFE＝∠DEC. (2)由(1)知，∠AFE＝∠DEC， ∵∠AFE＋∠AEF＝90°，∴∠DEC＋∠AEF＝90°，∴∠CEF＝180°－(∠DEC＋∠AEF)＝90°， ∴△CEF为直角三角形． 【题型2】矩形的性质与坐标系 【典型例题】如图，在长方形OABC中，AB＝4，BC＝2，点A在y轴上，点C在x轴上，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A. B.﹣ C.2 D.﹣2 【答案】B 【解析】在矩形OABC中，AB＝4，BC＝2，∴点B的坐标为（4，﹣2）， ∵正比例函数y＝kx的图象经过点B，∴4k＝﹣2， ∴k＝﹣. 【举一反三1】一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点坐标是（　　） A.（﹣2，﹣2） B.（3，2） C.（3，3） D.（2，3） 【答案】B 【解析】过（﹣1，2），（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线， 交点为（3，2），即第四个顶点坐标为（3，2）． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为(　　) A.(0，－) B.(0，－) C.(0，－) D.(0，－) 【答案】B 【解析】由折叠的性质可知，∠B′AC＝∠BAC， ∵四边形OABC为矩形，∴OC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠B′AC＝∠DCA，∴AD＝CD， 设OD＝x，则DC＝6－x， 在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＋OD2＝AD2，即9＋x2＝(6－x)2，解得x＝， ∴点D的坐标为(0，－). 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴的正半轴和负半轴上．若BO＝DO＝4，∠ABO＝60°，则点C的坐标为（　　） A. B.（﹣2，﹣2） C. D. 【答案】D 【解析】过C作CE⊥y轴于E，∴∠BEC＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，BO＝DO＝4，∴∠ABC＝90°，BD＝8， ∵∠ABO＝60°，∴∠CBE＝30°， ∵∠BCD＝90°，∴CD＝BD＝4，BC＝CD＝4， ∵∠CBE＝30°，∠CEB＝90°，∴CE＝BC＝2，BE＝CE＝6，∴OE＝2， ∵点C在第三象限，∴点C（﹣2，﹣2）. 【题型3】直角三角形斜边上中线的性质 【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF为(　　) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm 【答案】A 【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝2×5＝10 (cm)， ∵E，F分别是BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝×10＝5 (cm). 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点F，BF＝2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.下列结论中：①∠A＝67.5°；②DF＝AD；③BE＝2BG；④DH⊥BC，正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝22.5°， ∵BE⊥AC，∴∠A＝67.5°，故①正确； ∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∠DBF＋∠A＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD， 在△BDF与△CDA中，∵∠DBF=∠ACD，BD=CD，∠BDF=∠CDA，∴△BDF≌△CDA(ASA)，∴AD＝DF，故②正确； ∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB， ∴在△ABE与△CBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，∠AEB=∠CEB=90°，∴△ABE≌△CBE(ASA)， ∴AE＝CE＝AC，∴BE⊥AC， ∵∠ABC=45°，CD⊥AB，H是BC边的中点，∴DH⊥BC，故④正确； ∴DH不平行于AC，∵BH＝CH，∴BG≠EG，∴BE≠2BG，故③错误. 【举一反三2】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∠BDE＝32°，则∠DEB＝__________. 【答案】116° 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝BE＝AC，∴∠DBE＝∠BDE＝32°， ∴∠DEB＝180°－32°×2＝116°. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、点B(0，1＋t)、点C(0，1－t)(t＞0)，点P在以D(3，3)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是__________． 【答案】－1 【解析】如图，连接AP，AD， ∵点A(0，1)、点B(0，1＋t)、C(0，1－t)(t＞0)，∴AB＝(1＋t)－1＝t，AC＝1－(1－t)＝t， ∴AB＝AC， ∵∠BPC＝90°，∴AP＝BC＝AB＝t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小， ∴点P在AD上， ∵A(0，1)，D(3，3)，∴AD＝＝， ∴t的最小值是AP＝AD－PD＝－1. 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，试说明： (1)MD＝MB； (2)MN⊥BD. 【答案】证明：(1)∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC， ∴DM＝BM. (2)由(1)可知DM＝BM， ∵N是BD的中点，∴MN⊥BD. 【举一反三5】在△ABC中，点D在边AC上，BD＝BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点． (1)求证：EF＝BC； (2)过点C作CG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△BCG是等腰三角形． 【答案】证明：(1)∵BD＝BA，E是AD的中点，∴BE⊥AD，∴△EBC为直角三角形． ∵F是BC的中点，∴EF＝BC. (2)∵CG∥EF，∴∠G＝∠FEB， ∵EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠G＝∠CBE，∴GC＝BC， ∴△BCG是等腰三角形． 【题型4】矩形的判定 【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(　　) A.AB＝CD B.OA＝OC，OB＝OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】B 【解析】A.由AB＝DC，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误； B．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故正确； C．由AC⊥BD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误； D．由AB∥CD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误． 【举一反三1】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是(　　) A.AB＝CD B.AC＝BD C.∠A＝∠D D.∠A＝∠B 【答案】D 【解析】条件为∠A＝∠B， 理由：∵∠B＝∠C，∠A＝∠B，∴∠A＝∠C， ∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∴∠D＋∠A＝180°，∴AB∥DC， ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB∥DC，∴∠B＋∠C＝180°， ∵∠B＝∠C，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形， 即选项D能推出四边形ABCD是矩形，选项A，B，C都不能推出四边形ABCD是矩形. 【举一反三2】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O，请添加一个条件____________________，可得平行四边形ABCD是矩形． 【答案】AC＝BD(答案不唯一) 【解析】若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD(对角线相等的平行四边形是矩形)，∠ABC＝90°等(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，答案不唯一，合理即可. 【举一反三3】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是______________________________． 【答案】AC＝BD (答案不唯一) 【解析】因为在四边形ABCD中，AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACD， 因为∠BAD＝∠DCB，所以∠DAC＝∠BCA，所以AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形， 要判断平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等． 【举一反三4】如图，已知E，F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE＝DF，∠AEC＝90°.求证：四边形AECF为矩形． 【答案】证明：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF，∴OE＝OF. ∵OA＝OC，∴AECF是平行四边形； ∵∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF为矩形． 【举一反三5】如图，在▱ABCD中，E，F为边BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE. (1)求证：△ABF≌△DCE； (2)四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD， ∵BE＝CF，∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中，AB=CD，AF=DE，BF=CE， ∴△ABF≌△DCE. (2)四边形ABCD是矩形. 理由：∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C， ∵在平行四边形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. 【题型5】矩形的性质与判定 【典型例题】过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF.若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为(　　) A.2 B. C.32 D.3 【答案】A 【解析】∵矩形对边AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC， ∵O是AC的中点，∴AO＝CO， 在△AOF和△COE中，∠ACB=∠DAC，AO=CO，∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE(ASA)，∴OE＝OF， 又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形， ∵∠DCF＝30°，∴∠ECF＝90°－30°＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CF， ∵AB＝，∴CD＝AB＝， ∵∠DCF＝30°，∴设DF＝x，则CF＝2x，根据勾股定理得x2+()2＝(2x)2，解得x＝1(负值已舍），CF＝2x＝2， ∴EF＝2. 【举一反三1】下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线相等且互相平分 D.矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】C 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 【答案】AD＝AB 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°. ∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°. 又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形． 如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB， 又∵AE＝AF，∴AD＝AB. 【举一反三3】如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H. (1)求证：△PHC≌△CFP； (2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系． 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC. ∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF＝∠PCH. ∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF＝∠CPH. 在△PHC和△CFP中，∵∠CPF=∠PCH，PC=CP，∠PCF=∠CPH，∴△PHC≌△CFP(ASA)． (2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠B＝90°. 又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形． ∵EF∥AB，HG∥BC，四边形ABCD为矩形，∴四边形AEPG和四边形PHCF也是矩形， ∴S△ACD＝S△ABC，S△PHC＝S△PCF，S△AEP＝S△APG，∴S△ACD－S△PHC－S△AEP＝S△ABC－S△PCF－S△APG， 即S矩形PEDH＝S矩形PFBG. 【题型6】矩形与动点问题 【典型例题】如图，在长方形ABCD中，AD=16 cm，AB=8 cm. 点P从点A出发，沿折线A-B-C方向运动，速度2 cm/s，点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4 cm/s，点P，Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t s．下列说法错误的是（　　） A.点P运动路程为2t cm B.CQ=（16-4t）cm C.当t＝时，PB=BQ D.运动中，点P可以追上点Q 【答案】D 【解析】A．由点P的速度为2 cm/s，时间为t s，得点P运动路程为2t cm，故本选项不符合题意； B．由点Q的速度为4 cm/s，时间为t s，得点Q运动路程为4t cm，则CQ=（16-4t）cm，故本选项不符合题意； C．当t=时，PB=8-2t=8-2×=，BQ=4t=4×=，则PB=BQ，故本选项不符合题意； D．假设运动中点P可以追上点Q，则2t-8=4t，解得t=-4假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意. 【举一反三1】如图，将矩形ABCD沿BC方向平移得到矩形A1B1C1D1，若AB＝3，BC1＝12，B1C＝2，则矩形DCC1D1的周长等于（　　） A.10 B.15 C.16 D.20 【答案】C 【解析】∵将矩形ABCD沿BC方向平移得到矩形A1B1C1D1，∴CD＝D1C1＝AB＝3，B1B＝CC1， ∵BC1＝12，B1C＝2，∴CC1＝5， ∴矩形DCC1D1的周长＝2×（CD+CC1）＝16. 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快　 　s后，四边ABPQ成为矩形． 【答案】5 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20 cm， 设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形， ∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ＝BP，∴3x＝20﹣x， ∴x＝5. 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 【答案】解：根据题意得CQ＝2t cm，AP＝4t cm，则BP＝(24－4t)cm， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB，∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形， 即2t＝24－4t，解得t＝4，即当t＝4 s时，四边形QPBC是矩形． 【解析】 【题型7】矩形与折叠问题 【典型例题】如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在C'，若∠ADC'＝10°，则∠DEC等于（　　） A.40° B.60° C.80° D.86° 【答案】A 【解析】由折叠的性质得∠CDE＝∠C'DE，设∠ADE＝α， ∵∠ADC'＝10°，∴∠CDE＝∠C'DE＝∠ADE+∠ADC'＝α+10°， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠DEC＝∠ADE＝α， ∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴α+α+10°＝90°，∴α＝40°， ∴∠DEC＝40°. 【举一反三1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【解析】设BE＝x，则AE＝3－x，CE＝3－x， ∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO， ∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE， ∴CE＝2x，∴2x＝3－x，解得x＝1，∴CE＝2， 利用勾股定理得BC＝＝＝， 又∵AE＝AB－BE＝3－1＝2，∴AE·BC＝2. 【举一反三2】如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB＝8，AD＝3，则图中阴影部分的周长为(　　) A.11 B.16 C.19 D.22 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴B′C＝BC＝AD＝3，∠B′＝∠B＝∠D＝90°， ∵∠B′EC＝∠DEA，在△AED和△CEB′中，∠B′EC=∠DEA，∠B′=∠D，B′C=AD，∴△AED≌△CEB′(AAS)； ∴EA＝EC，∴阴影部分的周长为AD＋DE＋EA＋EB′＋B′C＋EC＝AD＋DC＋AB′＋B′C＝3＋8＋8＋3＝22. 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，过点E作EM∥PD，交AD于点M，则AM的长为 　　． 【答案】 【解析】由折叠的性质可得＝∠EPD＝∠A＝90°，∠ADE＝∠PDE， ∵EM∥PD，∴∠MEF＝90°，∠MED＝∠PDE＝∠ADE，∴ME＝MD， ∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝2， 在Rt△AEM中，AM2+AE2＝ME2，∴AM2+4＝（6﹣AM）2， 解得AM＝. 【举一反三4】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积． 【答案】解：(1)证明：根据折叠的性质得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°， ∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°， ∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴AM＝CN，∠FAN=∠ECM，∴AM－MN＝CN－MN， 即AN＝CM， 在△ANF和△CME中，∵∠FAN=∠ECM，AN=CM，∠ANF=∠CME， ∴△ANF≌△CME(ASA)，∴AF＝CE， 又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形. (2)∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8， 设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4， 在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，即CE=5， ∴四边形AECF的面积为CE·AB＝5×6＝30. 【题型8】矩形的应用 【典型例题】如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A.矩形的对角线相等 B.矩形的四个角是直角 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【举一反三1】如图，张老师要在足够大的磁性黑板上展示数张形状、大小均相同的长方形作业，将这些作业排成一个长方形（作业不完全重合）．现需要在每张作业的四个角落都放上磁性贴，如果作业有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚磁性贴（例如，4张作业可用9枚磁性贴固定在磁性黑板上）．若有25枚磁性贴可供选用，则最多可以展示作业的张数为(　　) A.12 B.14 C.15 D.16 【答案】D 【解析】①如果所有的作业展示成一行，25÷（1+1）﹣1＝11......1(张)． ∴25枚磁性贴最多可以展示11张作业； ②如果所有的作业展示成两行，25÷（2+1）＝8....1，8﹣1＝7，2×7＝14(张)． ∴25枚磁性贴最多可以展示14张作业； ③如果所有的作业展示成三行，25÷（3+1）＝6.....1，6﹣1＝5，3×5＝15(张)． ∴25枚磁性贴最多可以展示15张作业； ④如果所有的作业展示成四行，25÷（4+1）＝5，5﹣1＝4，4×4＝16(张)， ∴25枚磁性贴最多可以展示16张作业； ⑤如果所有的作业展示成五行，25÷（5+1）＝4.....1，4﹣1＝3，3×5＝15(张)， ∴25枚磁性贴最多可以展示15张作业； ⑥如果所有的作业展示成六行，25÷（6+1）＝3.....4，3﹣1＝2，2×6＝12(张)， ∴25枚磁性贴最多可以展示12张作业； ⑦如果所有的作业展示成七行，25÷（7+1）＝3......1，3﹣1＝2，2×7＝14(张)， ∴25枚磁性贴最多可以展示14张作业； 综上所述，25枚磁性贴最多可以展示16张作业. 【举一反三2】如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　       　时，活动框架是矩形． 【答案】90° 【解析】根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可以得到∠α＝90°． 【举一反三3】如图，▱ABCD地块的周长为56 m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，DE＝8 m，点F，G分别在边EB，CD上，且AE+FB＝GC． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若AE＝FB，GC＝2DG，求种植花卉区域四边形DEFG的面积． 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD， ∵DG+GC＝CD，AE+EF+FB＝AB，AE+FB＝GC，∴DG＝EF， 又∵DG∥EF，∴四边形DEFG为平行四边形， ∵DE⊥AB于点E，∴∠DEF＝90°， ∴平行四边形DEFG为矩形. （2）∵▱ABCD地块的周长为56 m，∴AD+AB＝28 m， 设DG＝x m，则CG＝2x m， ∵AE+FB＝GC，AE＝FB，∴AB＝3x m，∴AD＝（28﹣3x）m， ∵AD2＝DE2+AE2，∴（28﹣3x）2＝82+x2， 解得x＝6，x＝15（不合题意舍去）， ∴EF＝6， ∴种植花卉区域四边形DEFG的面积为8×6＝48（m2）． 【举一反三4】一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟．一天，师傅有事外出，两徒弟就自己在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自己的是矩形． 甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形．” 乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角．所以我这个四边形门就是矩形．” 根据他们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形． 【答案】解：甲的说法错误，因为对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形；乙的说法正确，根据三个角都是直角的四边形是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2矩形的性质与判定 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】矩形的性质 4 【题型2】矩形的性质与坐标系 5 【题型3】直角三角形斜边上中线的性质 6 【题型4】矩形的判定 8 【题型5】矩形的性质与判定 9 【题型6】矩形与动点问题 10 【题型7】矩形与折叠问题 11 【题型8】矩形的应用 13 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2025春•潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且BC=8，AC=6，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 2.（2025春•荔湾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=20，则CD的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【知识点2】矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质     ①平行四边形的性质矩形都具有；     ②角：矩形的四个角都是直角；     ③边：邻边垂直；     ④对角线：矩形的对角线相等；     ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 1.（2025春•曲沃县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ADB=40°，则∠AOB的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【知识点3】矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 1.（2024春•广陵区校级期中）如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件使得▱ABCD是矩形（　　） A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD 2.（2024秋•龙海区校级月考）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：_____使得▱ABCD是矩形．（　　） A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=CD D．AC=BD 【知识点4】矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 1.（2011•绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 2.（2024春•金凤区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，P为BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF垂直于AC于F，则EF的最小值为（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【题型1】矩形的性质 【典型例题】如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 【举一反三1】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为(　　) A.2 B.3 C.23 D.4 【举一反三2】如图，矩形ABCD对角线AC＝10，BC＝6，则图中四个小矩形的周长和为__________． 【举一反三3】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度． 【举一反三4】如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，F为AB上的点，且DE＝AF，EF＝EC，连接FC. 求证：(1)∠AFE＝∠DEC； (2)△CEF为直角三角形． 【题型2】矩形的性质与坐标系 【典型例题】如图，在长方形OABC中，AB＝4，BC＝2，点A在y轴上，点C在x轴上，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A. B.﹣ C.2 D.﹣2 【举一反三1】一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点坐标是（　　） A.（﹣2，﹣2） B.（3，2） C.（3，3） D.（2，3） 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为(　　) A.(0，－) B.(0，－) C.(0，－) D.(0，－) 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴的正半轴和负半轴上．若BO＝DO＝4，∠ABO＝60°，则点C的坐标为（　　） A. B.（﹣2，﹣2） C. D. 【题型3】直角三角形斜边上中线的性质 【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF为(　　) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点F，BF＝2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.下列结论中：①∠A＝67.5°；②DF＝AD；③BE＝2BG；④DH⊥BC，正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∠BDE＝32°，则∠DEB＝__________. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、点B(0，1＋t)、点C(0，1－t)(t＞0)，点P在以D(3，3)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是__________． 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，试说明： (1)MD＝MB； (2)MN⊥BD. 【举一反三5】在△ABC中，点D在边AC上，BD＝BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点． (1)求证：EF＝BC； (2)过点C作CG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△BCG是等腰三角形． 【题型4】矩形的判定 【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(　　) A.AB＝CD B.OA＝OC，OB＝OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD＝BC 【举一反三1】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是(　　) A.AB＝CD B.AC＝BD C.∠A＝∠D D.∠A＝∠B 【举一反三2】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O，请添加一个条件____________________，可得平行四边形ABCD是矩形． 【举一反三3】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是______________________________． 【举一反三4】如图，已知E，F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE＝DF，∠AEC＝90°.求证：四边形AECF为矩形． 【举一反三5】如图，在▱ABCD中，E，F为边BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE. (1)求证：△ABF≌△DCE； (2)四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 【题型5】矩形的性质与判定 【典型例题】过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF.若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为(　　) A.2 B. C.32 D.3 【举一反三1】下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线相等且互相平分 D.矩形的对角线互相垂直且平分 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 【举一反三3】如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H. (1)求证：△PHC≌△CFP； (2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系． 【题型6】矩形与动点问题 【典型例题】如图，在长方形ABCD中，AD=16 cm，AB=8 cm. 点P从点A出发，沿折线A-B-C方向运动，速度2 cm/s，点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4 cm/s，点P，Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t s．下列说法错误的是（　　） A.点P运动路程为2t cm B.CQ=（16-4t）cm C.当t＝时，PB=BQ D.运动中，点P可以追上点Q 【举一反三1】如图，将矩形ABCD沿BC方向平移得到矩形A1B1C1D1，若AB＝3，BC1＝12，B1C＝2，则矩形DCC1D1的周长等于（　　） A.10 B.15 C.16 D.20 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快　 　s后，四边ABPQ成为矩形． 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 【题型7】矩形与折叠问题 【典型例题】如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在C'，若∠ADC'＝10°，则∠DEC等于（　　） A.40° B.60° C.80° D.86° 【举一反三1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 【举一反三2】如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB＝8，AD＝3，则图中阴影部分的周长为(　　) A.11 B.16 C.19 D.22 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，过点E作EM∥PD，交AD于点M，则AM的长为 　　． 【举一反三4】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积． 【题型8】矩形的应用 【典型例题】如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A.矩形的对角线相等 B.矩形的四个角是直角 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 【举一反三1】如图，张老师要在足够大的磁性黑板上展示数张形状、大小均相同的长方形作业，将这些作业排成一个长方形（作业不完全重合）．现需要在每张作业的四个角落都放上磁性贴，如果作业有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚磁性贴（例如，4张作业可用9枚磁性贴固定在磁性黑板上）．若有25枚磁性贴可供选用，则最多可以展示作业的张数为(　　) A.12 B.14 C.15 D.16 【举一反三2】如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　       　时，活动框架是矩形． 【举一反三3】如图，▱ABCD地块的周长为56 m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，DE＝8 m，点F，G分别在边EB，CD上，且AE+FB＝GC． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若AE＝FB，GC＝2DG，求种植花卉区域四边形DEFG的面积． 【举一反三4】一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟．一天，师傅有事外出，两徒弟就自己在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自己的是矩形． 甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形．” 乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角．所以我这个四边形门就是矩形．” 根据他们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $