1.4.1 数列在日常经济生活中的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦数列在日常经济生活中的应用，涵盖单利、复利、零存整取、分期付款等核心概念，通过解析经济术语、归纳解题步骤、示范典型例题，衔接等差与等比数列基础知识，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料特色在于紧密结合经济生活实例，如储蓄利息计算、分期付款方案等，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过建模步骤培养数学建模素养，分层习题设计（基础判断、应用计算、综合探究）助力提升数学运算能力，适合学生自主学习与教师教学评估。

数学　选择性必修 第二册 4.1　数列在日常经济生活中的应用 (教师独具内容) 课程标准：能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用． 教学重点：掌握如何利用等差数列、等比数列模型研究银行存款利息问题． 教学难点：掌握分期付款问题的解决办法． 核心素养：通过学习数列在日常经济生活中的应用，提升数学建模和数学运算素养． 知识点　日常经济生活中的有关概念 1．单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息． 2．单利计算公式：以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和，则有S＝P(1＋nr)． 3．复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法． 4．复利计算公式：以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和，则有S＝P(1＋r)n． 5．零存整取：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取． 6．分期付款：各次所付的款连同到最后一次付款时所生的利息和，等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和． 解数列应用题的基本步骤 (1)审题：仔细阅读材料，认真理解题意； (2)建模：将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，分清该数列是等差还是等比数列，是求通项还是求前n项和； (3)求解：求出该问题的数学解； (4)作答：将所求结果还原到原实际问题中． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)银行中的利息计算，在单利计算时，是按等差数列的相关知识进行的．(　　) (2)银行中的利息计算，在复利计算时，是按等比数列的相关知识进行的．(　　) (3)银行中的利息，对于分期付款是综合运用等差数列、等比数列的知识进行的．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)某储蓄所计划从2025年起，力争做到每年的吸储量比前一年增长8%，则到2031年底储蓄所的吸储量将比2025年的吸储量增加(　　) A．24% B．(1.087－1)×100% C．32% D．(1.086－1)×100% (2)某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，该厂的总产值为____________． 答案：(1)D　(2)11×(1.15－1)a 题型一　数列在产值增长中的应用 例1　如果某人从1月起，每月第1天存入100元，到明年1月第一天取出全部本金及其利息，已知月利率是0.165%，那么他实际取出的本利和是多少？ [解]　由题意，本金共为1200元，且各月存款的利息如下：第1个月存款100元的利息是100×0.165%×12元，第2个月存款100元的利息是100×0.165%×11元，……，第11个月存款100元的利息是100×0.165%×2元．第12个月存款100元的利息是100×0.165%×1元，于是应得到的全部利息就是上面各月存款利息之和Sn＝100×0.165%＋100×0.165%×2＋…＋100×0.165%×11＋100×0.165%×12＝100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋12)＝12.87(元)．实际取出时，本利和为1200＋12.87＝1212.87(元)． 【感悟提升】定期储蓄本利和计算问题，体现了数列知识的实际应用，是数学应用思想的具体表现．这种本利和计算问题或者类似本利和计算问题，不但在储蓄方面有应用，在其他经济方面也有体现． 【跟踪训练】 1．用10000元购买某个理财产品一年． (1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)? (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10－5)? 解：(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}， 则{an}是等比数列，首项a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%， 所以a12＝104(1＋0.400%)12≈10490.702. 所以12个月后的利息为10490.702－104≈490.70(元)． (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}， 则{bn}是等比数列，首项b1＝104(1＋r)，公比q＝1＋r，于是b4＝104(1＋r)4. 因此以季度复利计息，存4个季度后的利息为[104(1＋r)4－104]元． 解不等式104(1＋r)4－104≥490.70， 得r≥1.205%. 所以当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 题型二　数列在分期付款中的应用 例2　用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若从交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？ [解]　购买时付出150元后，剩余欠款1000元，按题意应分20次付清．由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列． 设每次交付欠款的数额依次为a1，a2，…，a20，则 a1＝50＋1000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)， …… a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元． 由于{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列， ∴S20＝×20＝1105(元)， 即全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费1105＋150＝1255(元)． 【感悟提升】解数列应用题的关键是理解题意，正确地转化为等差数列模型或等比数列模型． 【跟踪训练】 2．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．单利是指一笔资金只有本金计算利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款(每月还款数相同)，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元，如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y元．则y－x的值约为(参考数据：1.01512≈1.2)(　　) A．0 B．1200 C．1030 D．900 答案：C 解析：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款a元，则小闯第一次还款a元后，还欠本金及利息为10000(1＋1.5%)－a元，第二次还款a元后，还欠本金及利息为10000(1＋1.5%)2－a(1＋1.5%)－a元，第三次还款a元后，还欠本金及利息为10000(1＋1.5%)3－a(1＋1.5%)2－a(1＋1.5%)－a元，依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即10000(1＋1.5%)12－a(1＋1.5%)11－a(1＋1.5%)10－…－a(1＋1.5%)－a＝0，即10000×1.01512＝a×，解得a≈900，故x≈12×900＝10800(元)．按照单利计算利息，12月后，所结利息共10000×0.01525×12＝1830(元)，故y＝10000＋1830＝11830(元)，故y－x＝11830－10800＝1030.故选C. 1．某工厂在2025年年底制定计划要使2038年的总产值在2025年总产值的基础上翻三番，则年总产值的平均增长率为(　　) A．3－1 B．3－1 C．8－1 D．8－1 答案：D 解析：由23·a＝a(1＋x)13，得x＝－1. 2．某市决定从2025年到2029年五年间更新市内原有的全部出租车．若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2025年底更新原有总车辆数的(参考数据：1.14≈1.46，1.15≈1.61)(　　) A．10% B．16.4% C．16.8% D．20% 答案：B 解析：设2025年底更新原有总车辆数的比例为x，则x＋1.1x＋1.12x＋1.13x＋1.14x＝1，即x×＝1，∴x≈16.4%. 3．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.3010)(　　) A．5 B．10 C．14 D．15 答案：C 解析：设原杂质数为1，由题意可得各次过滤后剩余杂质数成等比数列，且a1＝0.8，公比q＝1－20%，故an＝0.8×(1－20%)n－1＝0.8n，由题意可知0.8n<0.05，两边取对数，得nlg 0.8<lg 0.05，因为lg 0.8<0，所以n> ，即n>＝＝≈≈13.41.故选C. 4．某企业在今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末开始，每年年末偿还一定的金额，预计5年内还清，则每年年末平均偿还的金额应为________． 答案： 解析：设每年平均偿还x万元，则x(1＋r)4＋x(1＋r)3＋x(1＋r)2＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)5，所以x＝. 5．银行按规定每经过一定时间(贷款利率中的时间间隔)结算贷款的利息一次，结息后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年初贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，实施期限都是十年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两个方案，哪个获利较多？(计算数据精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.786) 解：甲方案：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，∴S10＝≈42.62(万元)，贷款的本利和为10(1＋10%)10≈25.94(万元)．∴甲方案净获利：42.62－25.94≈16.7(万元)． 乙方案：十年获利中，每年获利数构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为T10＝1＋＋＋…＋＝32.50万元，而贷款本息总数为(1＋10%)＋(1＋10%)2＋…＋(1＋10%)10＝≈17.534(万元)． 乙方案净获利：32.50－17.534≈15.0(万元)． 比较两方案可知甲方案获利较多． 课后课时精练 一、选择题 1．某沿海渔村，近几年不断挖掘经济收入来源，除了渔业收入外，还增加了海滨休闲度假服务业的开发，使本村经济有了较快发展，2024年全村财政收入95933万元，比上年增长7.3%.如果在今后的几年内全村财政收入都按此年增长率增长，那么到2028年末全村财政收入大约为(　　) A．115000万元 B．120000万元 C．127000万元 D．135000万元 答案：C 解析：2028年末全村的财政收入为95933×(1＋0.073)4≈127000(万元)． 2．某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2025年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2035年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为(　　) (参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71) A．14.8万元 B．15.5万元 C．16.3万元 D．17.1万元 答案：C 解析：因为该家庭2025年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，所以10年后的资产总额为10×(1＋5%)10.因为1.0510≈1.63，所以10×(1＋5%)10≈16.3(万元)．故选C. 3．某企业产品的成本前两年每年递增20%，经过引进先进的技术设备，并实施科学管理，后两年的成本每年递减20%，那么该企业的成本现在与原来比较(　　) A．不增不减 B．均增8% C．均减5% D．均减8% 答案：D 解析：设原成本为a，则前两年成本为a×1.2，a×1.22，后两年成本为a×1.22×0.8，a×1.22×0.82，又＝0.0784≈8%，故选D. 4．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基础价a元/m2，再根据楼层的不同上下浮动．第一层的价格为(a－d)元/m2，第二层的价格为a元/m2，第三层的价格为(a＋d)元/m2，第i层(i≥4)的价格为元/m2，其中a>0，d>0，则该商品房的各楼层的平均价格是(　　) A．a元/m2 B．a＋d元/m2 C．a＋d元/m2 D．a＋d元/m2 答案：B 解析：由题意可知，各楼层房价的总和为S20＝a－d＋a＋a＋d＋ ＝3a＋17a＋d ＝20a＋d＝20a＋2d.故各楼层的平均价格为a＋d.故选B. 5．小王2025年1月投入资金10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2025年小王的农产品加工厂的年利润约为(取1.211≈7.5，1.212≈9)(　　) A．40000元 B．49000元 C．50000元 D．59000元 答案：A 解析：设1月月底小王手中有现款为a1＝(1＋20%)×10000－1000＝11000(元)，n月月底小王手中有现款为an元，n＋1月月底小王手中有现款为an＋1元，则an＋1＝1.2an－1000，即an＋1－5000＝1.2(an－5000)，所以数列{an－5000}是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，a12－5000＝6000×1.211，即a12＝6000×1.211＋5000≈50000.年利润约为50000－10000＝40000(元)．故选A. 二、填空题 6．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元． 答案：78ar 解析：依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝ar＝78ar(元)． 7．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝________． 答案：3928－8n 解析：由题意可知，每月还本金为2000元，设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝2000＋[480000－(n－1)×2000]×0.4%＝3928－8n. 8．某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元．若该渔船预计使用n年，其总花费(含购买费用)为________万元；当n＝________时，该渔船年平均花费最低(含购买费用)． 答案：n2＋3n＋100　10 解析：每年捕捞工作所需的费用构成首项为4，公差为2的等差数列，所以总费用S(n)＝n×4＋×2＋100＝n2＋3n＋100.平均花费为＝n＋＋3≥2＋3＝23，当且仅当n＝，即n＝10时，等号成立，所以当n＝10时，该渔船年平均花费最低． 三、解答题 9．某人有人民币1万元，若存入银行，年利率为6%，若购买某种股票，年分红利为24%，每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行． (1)问买股票多少年后所得红利才能和原来的投资款相等？ (2)经过多少年后，买股票所得的红利与储蓄所有的人民币相等(精确到整年．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，lg 1.06≈0.0253)? 解：设该人将1万元购买股票，x年以后所拥有的总红利为y万元，则 y＝24%＋24%(1＋6%)＋24%(1＋6%)2＋…＋24%×(1＋6%)x－1＝24%(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06x－1)＝4(1.06x－1)． (1)由题意，得4(1.06x－1)＝1， ∴1.06x＝，两边取以10为底的对数得xlg 1.06＝lg ＝lg 5－lg 4＝1－lg 2－2lg 2＝1－3lg 2. ∴x＝≈≈4. 故买股票4年后所得红利才能和原来的投资款相等． (2)由题意有4(1.06x－1)＝(1＋6%)x. ∴1.06x＝，同理可求得x≈5. 故经过5年后，买股票所得的红利与储蓄所有的人民币相等． 10．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元． (1)写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(1)第1年投入800万元， 第2年投入800×万元， …… 第n年投入800×万元， 所以总投入an＝800＋800×＋…＋800×＝4000×， 同理，第1年收入400万元， 第2年收入400×万元， …… 第n年收入400×万元， bn＝400＋400×＋…＋400×＝1600×. (2)∵bn－an>0， ∴1600×－4000×>0， 化简，得5×＋2×－7>0， 设x＝，5x2－7x＋2>0， 即(5x－2)(x－1)>0，易知x－1<0， 故5x－2<0， ∴x<，即<，n≥5. ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入． 1．某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买一辆10万元的轿车在1年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款的方案购车： 方案1：分3次付清，购买4个月后第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款； 方案2：分12次付清，购买1个月后第1次付款，再过1个月第2次付款，……，购买12个月后第12次付款． 规定分期付款中，每期付款额相同，月利率为0.8%，每月利息按复利计算，即指上月利息要计入下月本金，试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少(参考数据：1.0084≈1.0324，1.00812≈1.1)? 解：对于方案1，设每次付款额为x1万元，那么4个月后，第1次付款的本息和为1.0088x1万元， 第2次付款的本息和为1.0084x1万元， 第3次付款的本息和为x1万元，则 1．0088x1＋1.0084x1＋x1＝10×1.00812， x1·＝10×1.00812， ∴x1＝ ≈＝3.564(万元)． 付款总额约为3×3.564＝10.692(万元)． 对于方案2，设每次付款额为x2万元，那么1月后，第1次付款的本息和为1.00811x2万元， 第2次付款的本息和为1.00810x2万元， …… 第12次付款的本息和为x2万元，则 1．00811x2＋…＋1.008x2＋x2＝10×1.00812， x2＝≈＝0.88(万元)， 付款总额约为12×0.88＝10.56(万元)． 综上可知，方案2付款总额较少． 2．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. (1)求第n年初M的价值an的表达式； (2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M更新．证明：需在第9年初对M更新． 解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n； 当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列， 又a6＝70，所以an＝70×. 因此，第n年初M的价值an的表达式为 an＝ (2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式，得 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n； 当n≥7时，由于S6＝570， 故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×， An＝. 因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列． 又A8＝＝82>80， A9＝＝76<80， 所以需在第9年初对M更新． 9 学科网（北京）股份有限公司 $