4.3.1 第1课时 相关关系及回归直线方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦一元线性回归模型第一课时，核心内容为相关关系的判断、回归直线方程的构建及应用。通过实际问题情境导入，衔接函数关系与相关关系，以散点图观察为支架，引导学生从具体实例抽象出线性相关概念，逐步掌握最小二乘法及回归方程性质。 资料特色在于结合生活实例（如作物生长、气温与用电量）设计例题与分层习题，注重通过最小二乘法推理培养逻辑推理素养，用回归方程预测体现数学建模思想，帮助学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维分析数据关系，提升数学运算与抽象能力，便于教师开展分层教学与素养评估。

数学　选择性必修 第二册 RJ 4.3.1　一元线性回归模型 第1课时　相关关系及回归直线方程 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 教学重点：1.相关关系的判断.2.求回归直线方程及利用回归直线方程进行预测． 教学难点：用最小二乘法估计一元线性回归模型的参数． 核心素养：1.通过相关关系的学习培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过求回归直线方程及利用回归直线方程进行预测培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　相关关系 1．变量间常见的两类关系 (1)变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了． (2)变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性． 2．散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示． 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． 3．线性相关 如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关． 4．正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关． (2)负相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关． 知识点二　回归直线方程 1．残差 已知数据的实际值(也称为观测值)与预测值之间的误差一般称为残差． 2．回归直线方程的定义 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a，如果一次函数＝x＋能使残差平方和即(y1－1)2＋(y2－2)2＋…＋(yn－n)2＝__(yi－i)2取得最小值，则＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线)．因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法． 3．回归直线方程的系数计算公式 给定两个变量y与x的一组数据之后，回归直线方程＝x＋总是存在的，而且＝＝，＝．其中，称为回归系数，也就是回归直线方程的斜率． 知识点三　回归直线方程的性质 1．回归直线一定过点(，)． 2．一次函数＝x＋的单调性是由的符号决定的，函数递增的充要条件是，这说明：y与x正相关的充要条件是；y与x负相关的充要条件是． 3．当x增大一个单位时，增大，这就是回归系数的实际意义． 1．(相关关系的判断)下列各组变量是相关关系的是________． ①电压U与电流I；②圆面积S与半径R； ③吸烟与健康；④居民收入与消费水平． 答案：③④ 2．(正相关、负相关的判断)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________． 答案：正相关 3．(回归直线方程的性质)工人工资y(单位：元)与劳动生产率x(单位：千元)变化的回归直线方程为＝50＋80x，则劳动生产率提高1000元时，工资提高约________元． 答案：80 题型一　相关关系的判断 例1　(1)(多选)下列关系中，属于相关关系的是(　　) A．正方形的边长与面积之间的关系 B．空气污染指数与汽车保有量之间的关系 C．出租车费与行驶的里程之间的关系 D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 [解析]　对于A，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；对于B，空气污染指数与汽车保有量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系；对于D，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． [答案]　BD (2)某种产品的广告支出费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： x/百万元 2 4 5 6 8 y/百万元 30 40 60 50 70 ①画出散点图； ②从散点图中判断销售额y与广告支出费x成什么样的关系． [解]　①以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示． ②从图中可以发现广告支出费x与销售额y之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即广告支出费x与销售额y线性相关，且是正相关． 【感悟提升】　 1．函数关系与相关关系 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是随机变量与随机变量的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系． 2．两个变量是否相关的两种判断方法 (1)实际经验法：借助积累的经验进行分析判断． (2)散点图法：绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 【跟踪训练】　 1．(1)下列两个变量间的关系是相关关系的是(　　) A．圆的半径r与周长C B．角的度数α与它的正切值y C．粮食亩产量为常数a时，土地面积x与粮食总产量y D．日照时间t与水稻的单位产量y 答案：D 解析：函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．因为A项C＝2πr，B项y＝tanα，C项y＝ax(a>0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系；D项是相关关系． (2)对变量x，y由观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图①；对变量u，v由观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　) A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 答案：C 解析：由散点图知，变量x与y负相关，u与v正相关．故选C. 题型二　回归直线方程及其应用 例2　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝x＋； (3)试根据求出的回归直线方程，预测记忆力为9的同学的判断力． 相关公式：＝，＝－. [解]　(1)如图． (2)由散点图可以看出x与y具有线性相关关系，因此可以用回归直线刻画它们之间的关系． 由表中数据得xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ＝＝9，＝＝4， x＝62＋82＋102＋122＝344， 所以＝＝0.7， ＝－＝4－0.7×9＝－2.3， 故回归直线方程为＝0.7x－2.3. (3)由(2)中回归直线方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4. 【感悟提升】　求回归直线方程的步骤 (1)画出散点图．从直观上分析数据之间是否存在线性相关关系． (2)计算，，x，xiyi等相关数据． (3)代入公式求出＝x＋中参数，的值． (4)写出回归直线方程，并对实际问题进行预测． 【跟踪训练】　 2．某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 (1)观察散点图可知，天数x与作物高度y之间线性相关，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的回归直线方程＝x＋(其中，用分数表示)； (2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3 cm，请根据(1)中的结果预测第22天该作物的高度的残差． 参考公式：＝，＝－. 参考数据：xiyi＝710. 解：(1)依题意， ＝＝， ＝10＋＝12， x＝385， 故＝＝＝， ＝12－×＝， 故所求回归直线方程为＝x＋. (2)由(1)可知，当x＝22时，＝×22＋＝22(cm)， 故第22天该作物的高度的残差为21.3－22＝－0.7(cm)． 题型三　回归直线方程的性质及应用 例3　(多选)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的回归直线方程＝0.25x＋k，则下列说法正确的是(　　) x/(次数/分钟) 20 30 40 50 60 y/℃ 25.5 27.5 29 32.5 35.5 A．k的值是20 B．变量x，y呈正相关关系 C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25 D．当蟋蟀以52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5 ℃ [解析]　由表格中的数据，可得＝×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，＝×(25.5＋27.5＋29＋32.5＋35.5)＝30，因为回归直线＝0.25x＋k过点(，)，所以k＝－0.25＝30－0.25×40＝20，所以A正确；由回归直线方程可知＝0.25>0，可得变量x，y呈正相关关系，所以B正确；由回归系数＝0.25，可得x的值增加1，则y的值约增加0.25，所以C正确；当x＝52时，＝0.25×52＋20＝33，所以D不正确．故选ABC. [答案]　ABC 【感悟提升】　回归直线性质的理解 (1)点(，)一定在回归直线上． (2)>0，说明两个变量正相关，<0，说明两个变量负相关． (3)回归系数的实际意义：当x增大一个单位时，平均增大个单位． 【跟踪训练】　 3．某产品的研发投入费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示： x/万元 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9 y/万元 3.8 5.4 7.0 10.35 12.2 根据表中的数据，可得回归直线方程＝2.27x－，则＝________；该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高________万件． 答案：1.33　6.81 解析：＝＝4，＝＝7.75，所以7.75＝2.27×4－，解得＝1.33，所以回归直线方程为＝2.27x－1.33.所以该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高2.27×3＝6.81万件． 1.下列说法错误的是(　　) A．两个变量之间若没有确定的函数关系，则这两个变量不相关 B．正相关是两个变量相关关系中的一种 C．“庄稼一枝花，全靠粪当家”说明农作物产量与施肥量之间具有相关关系 D．根据散点图可判断两个变量之间有无相关关系 答案：A 解析：若两个变量之间有关系，但不是确定的函数关系，则它们具有相关关系，所以A错误；B，C，D均正确．故选A. 2．下列各图中两个变量具有相关关系的是(　　) 答案：C 解析：A中显然任给一个x(x>0)的值都有唯一确定的y值和它对应，故A中两个变量之间是一种函数关系；B中两个变量之间也是一种函数关系；C中从散点图可看出所有的点都在某条直线附近，所以C中两个变量之间具有相关关系，而且是线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．故选C. 3．(多选)对于回归直线方程＝x＋(>0)，下列说法正确的是(　　) A．当x增加一个单位时，增加个单位 B．点(，)一定在＝x＋所表示的直线上 C．当x＝x0时，一定有y＝x0＋ D．当x＝x0时，y的值近似为x0＋ 答案：ABD 解析：回归直线方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，所以有些散点不一定在回归直线上，所以C错误；A，B，D均正确．故选ABD. 4．某单位为了了解用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温x/℃ 18 13 10 －1 用电量y/度 24 34 38 64 由表中数据得回归直线方程＝x＋中＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________． 答案：68 解析：∵＝10，＝40，回归直线过点(，)，∴40＝－2×10＋，∴＝60，∴＝－2x＋60.令x＝－4，得＝(－2)×(－4)＋60＝68. 5．铁观音性寒、味甘、酸、归肺、脾经，具有清热降火、健脾消脂、提神醒脑、生津利尿的功效，是中国十大名茶之一．为促使各生产厂家健康科学发展，某调研机构随机抽取6家铁观音生产厂家，整理得到生产铁观音的单位成本y(单位：元/盒)与铁观音的产量x(单位：千盒)之间的关系数据如下： 产量x/千盒 2 3 4 3 4 5 单位成本y/(元/盒) 73 72 71 73 69 68 则生产铁观音的单位成本y关于铁观音的产量x的回归直线方程为________(回归系数精确到0.01)． 答案：＝－1.82x＋77.37 解析：由表格数据知，＝3.5，＝71，x＝79，xiyi＝1481，∴＝＝≈－1.82，∴＝－≈71＋1.82×3.5＝77.37，∴生产铁观音的单位成本y关于铁观音的产量x的回归直线方程为＝－1.82x＋77.37. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 由散点图判断相关关系 由回归系数判断变量间正相关、负相关 散点图的认识及应用 由样本数据结合散点图判断系数的正负 回归直线方程的性质及应用 回归系数的实际意义 回归直线方程的性质 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用回归直线过点(，)，求回归直线方程 作散点图、判断变量间正相关、负相关 由样本数据求回归直线方程 回归直线在实际中的应用 残差的应用 回归直线在实际中的应用 回归直线方程与分段函数的综合 一、选择题 1．在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关关系的是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 答案：D 解析：由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关关系；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条直线附近波动，是线性相关关系．故两个变量具有相关关系的是②④. 2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y与x负相关且＝2.347x－6.423； ②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648； ③y与x正相关且＝5.437x＋8.493； ④y与x正相关且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案：B 解析：由正、负相关的定义知①④一定不正确．故选B. 3．对某高三学生在连续九次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有(　　) ①该同学的数学成绩总的趋势是逐步升高； ②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分； ③该同学的数学成绩与考试次数线性相关，且为正相关． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：D 解析：根据散点图可知该同学的成绩与考试次数正相关，所以①③均正确；第一次的成绩在90分以下，第九次的成绩在130分以上，所以②正确．故选D. 4．根据如下样本数据，得到回归直线方程为＝x＋，则(　　) x 4 5 6 7 8 9 y 5.0 3.5 0.5 1.5 －1.0 －2.0 A.>0，>0 B.>0，<0 C.<0，>0 D.<0，<0 答案：B 解析：根据表中数据可知，随着x的增大y大体上减小，故y与x是负相关，故回归直线的斜率为负，故<0；再结合散点图以及直线的性质，根据x＝4，5，6，7时，y均为正，可知回归直线与y轴交点的纵坐标为正，故>0.故选B. 5．(多选)某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如下表所示，根据表中提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论中正确的是(　　) x/吨 3 4 5 6 y/吨 2.5 t 4 4.5 A.回归直线一定过点(4.5，3.5) B．产品的生产能耗与产量正相关 C．t的取值必定是3.15 D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗增加约0.7吨 答案：ABD 解析：＝×(3＋4＋5＋6)＝4.5，则＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，所以回归直线一定过点(4.5，3.5)，故A正确；因为0.7>0，所以产品的生产能耗与产量正相关，故B正确；因为＝×(2.5＋t＋4＋4.5)＝3.5，所以t＝3，故C错误；A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗增加约0.7吨，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．某机构调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y关于x的回归直线方程＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加约________万元． 答案：0.254 解析：年饮食支出平均增加约0.254×1＝0.254万元． 7．已知变量y与x线性相关，由样本点(xi，yi)(xi＝i，i＝1，2，3，4，5)求得的回归直线方程为＝x＋，若点(x5，y5)在回归直线上，且y5＝2，＝3，则yi＝________． 答案：6 解析：由题意，点(5，2)在回归直线上，代入＝x＋，得2＝1＋，解得＝1，因为＝3，且点(，)在回归直线上，得＝×3＋1＝，故yi＋2＝5×，解得yi＝6. 8．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(单位：件)与月平均气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4个月的销售量与当月平均气温，数据如下表： 月平均气温x/℃ 17 13 8 2 月销售量y/件 24 33 40 55 由表中数据算出回归直线方程＝x＋中的≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________． 答案：46 解析：由表格得(，)为(10，38)，又点(，)在回归直线＝x＋上，且≈－2，得38≈－2×10＋，≈58，所以≈－2x＋58，当x＝6时，≈－2×6＋58＝46. 三、解答题 9．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示： 年龄x/岁 1 2 3 4 5 6 身高y/cm 78 87 98 108 115 120 (1)画出散点图； (2)判断y与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关？ 解：(1)散点图如图所示． (2)由散点图知，所有点在一条直线附近波动，因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关． 10．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(单位：元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表： x 3 4 5 6 7 8 9 y/元 66 69 73 81 89 90 91 已知x＝280，xiyi＝3487. (1)求，； (2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回归直线方程． 解：(1)＝＝6， ＝＝. (2)因为y与x线性相关， 所以＝＝＝，＝－＝－×6＝. 故回归直线方程为＝x＋. 11．(多选)从某城市随机选取30人进行“城市幸福感”活动调查，得到他们的收入、生活成本及幸福感分数(幸福感分数为0～10分)，并整理得到散点图(如图)，其中x是收入与生活成本的比值，y是幸福感分数，经计算得回归直线方程为＝1.501x＋1.541.根据回归直线方程可知(　　) A．y与x成正相关 B．样本点中残差的绝对值最大是2.044 C．只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感 D．当收入是生活成本的3倍时，幸福感分数预报值为6.044 答案：ABD 解析：对于A，由散点图知，当x增大时，y也大体上增大，y与x成正相关，A正确；对于B，由图可知，点A是残差绝对值最大的点，当x＝3时，＝1.501×3＋1.541＝6.044，则残差＝4－6.044＝－2.044，所以残差的绝对值最大是2.044，B正确；对于C，若增加民众的收入，而生活成本增加的更多，收入与生活成本的比值x反而减小，幸福感分数y减小，C不正确；对于D，当收入是生活成本的3倍，即x＝3时，＝6.044，幸福感分数预报值为6.044，D正确．故选ABD. 12．对于数据组(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，如果由回归直线方程得到的对应自变量xi的估计值是i，那么将yi－i称为对应点(xi，yi)的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据： 单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量y/件 84 83 78 m 根据表中的数据，得到销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的回归直线方程为＝－16x＋，据计算，样本点(8.4，83)处的残差为1.4，则m＝__________． 答案：75 解析：根据样本点(8.4，83)处的残差为1.4，得83－(－16×8.4＋)＝1.4，得＝216，所以＝－16x＋216，又＝＝8.5，＝＝，＝－16＋216，所以m＝75. 13．一机器可以按各种不同速度运转，其生产物件有一些会有瑕疵．每小时生产有瑕疵物件的多少，随机器运转的速度而变，下列为其试验结果： 速度/(转/秒) 每小时生产有瑕疵的物件数 8 5 12 8 14 9 16 11 (1)求出机器运转速度与每小时生产有瑕疵物件数的回归直线方程； (2)若实际生产中所允许的每小时生产有瑕疵的物件数不超过10，那么，机器运转的速度不能超过多少(结果精确到0.1)? 解：(1)用x表示机器运转速度，y表示每小时生产有瑕疵的物件数，那么4个样本数据为(x1，y1)＝(8，5)，(x2，y2)＝(12，8)，(x3，y3)＝(14，9)，(x4，y4)＝(16，11)． 则＝，＝，xiyi＝438，x＝660. 所以＝＝＝， ＝－＝－×＝－. 所以所求的回归直线方程为＝x－. (2)要使≤10，即x－≤10，所以x≤≈14.9. 即机器运转的速度不能超过14.9转/秒． 14．某二手汽车经销商对其所经营的某型号二手汽车的使用年数x(0<x≤10，x∈N)与每辆车的销售价格y(单位：万元)进行整理，得到如下对应数据： 使用年数x 2 4 6 8 10 售价y/万元 16 13 9 7 5 (1)根据表中数据，用最小二乘法求y关于x的回归直线方程＝x＋； (2)已知每辆该型号汽车的收购价格w(单位：万元)与使用年数x(0<x≤10，x∈N)的函数关系为w＝ 根据(1)中所求回归直线方程，预测x为何值时，该经销商销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大，最大利润是多少？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式＝＝， ＝－. 参考数据：2×16＋4×13＋6×9＋8×7＋10×5＝244. 解：(1)依题意，＝＝6， ＝＝10， x＝22＋42＋62＋82＋102＝220， ＝＝＝－1.4， ＝－＝10＋1.4×6＝18.4， 所以回归直线方程为＝－1.4x＋18.4. (2)z＝－w＝ 当0<x≤6时，z＝－0.05x2＋0.3x＋1.3，当x＝3时，zmax＝1.75； 当6<x≤10时，z＝0.05x＋0.8，当x＝10时，zmax＝1.3，显然1.75>1.3， 所以当x＝3时，利润z最大，最大利润是1.75万元． 18 学科网（北京）股份有限公司 $