5.2.1 基本初等函数的导数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 5.2.1　基本初等函数的导数 (教师独具内容) 课程标准：1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.会使用基本初等函数的导数公式表． 教学重点：基本初等函数的导数公式． 教学难点：基本初等函数的导数公式的运用． 核心素养：通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养． 知识点一　几个常见函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 知识点二　基本初等函数的导数公式 1．若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0． 2．若f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1． 3．若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx． 4．若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx． 5．若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln__a；特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex． 6．若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝；特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝． [提醒]　(1)对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝x，所以f′(x)＝x－1. (2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换．可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变． 1．(利用导数公式求函数的导数)′＝________，(2x)′＝________． 答案：－　2xln 2 2．(利用导数公式求函数在某点处的导数)若f(x)＝sinx，则f′(0)＝________． 答案：1 3．(利用导数公式求参数的值)已知函数f(x)＝logax，若f′(1)＝1，则a＝________． 答案：e 4．(利用导数公式求切线方程)曲线y＝在点M处的切线方程是________． 答案：x＋9y－6＝0 题型一　利用导数公式求函数的导数　 　(1)求下列函数的导数： ①y＝x12；②y＝2sincos；③y＝；④y＝log5x. [解]　①y′＝(x12)′＝12x11. ②y′＝′＝(sinx)′＝cosx. ③y′＝()′＝(x)′＝x－. ④y′＝(log5x)′＝. (2)求下列函数在给定点处的导数： ①y＝x在x＝16处的导数； ②y＝ln x在x＝处的导数； ③y＝ex在x＝1处的导数； ④y＝2－x在x＝－1处的导数． [解]　①因为y＝x，所以y′＝x－， 所以y′|x＝16＝×16－＝2－2×2－3＝2－5＝. ②因为y＝ln x，所以y′＝，所以y′|x＝＝2. ③因为y＝ex，所以y′＝ex，所以y′|x＝1＝e. ④因为2－x＝，所以y′＝′＝ln ＝－ln 2，所以y′|x＝－1＝－ln 2＝－2ln 2. 【感悟提升】求简单函数的导数的方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 【跟踪训练】 1．(1)下列求导结果正确的是(　　) A．(cosx)′＝sinx B．()′＝ C．(4x)′＝x4x－1 D．(ln 2)′＝ 答案：B 解析：(cosx)′＝－sinx，故A错误；()′＝，故B正确；(4x)′＝4xln 4，故C错误；(ln 2)′＝0，故D错误．故选B. (2)已知函数f(x)＝x2，则f′(1)＝________． 答案：2 解析：因为f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2. 题型二　利用导数公式解决切线问题　 　(1)求过曲线y＝sinx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程． [解]　∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点P处的切线斜率是y′|x＝＝cos＝， ∴过点P且与在这点的切线垂直的直线的斜率为－， 故所求的直线方程为y－＝－， 即2x＋y－－＝0. (2)已知点P(－1，m)，Q(2，n)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． [解]　由题意可知m＝1，n＝4， ∴P(－1，1)，Q(2，4)． ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 则y′|x＝x0＝2x0， 又直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ， ∴k＝2x0＝1，即x0＝， ∴切点为M. ∴所求的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0. (3)已知曲线f(x)＝ln x，求过点O(0，0)且与曲线相切的直线方程． [解]　∵点O(0，0)不在曲线f(x)＝ln x上， ∴设切点为Q(x0，y0)，则f′(x)＝， 则切线的斜率k＝，则切线方程为y－y0＝(x－x0)． ∵切线过点O(0，0)，∴0－y0＝(0－x0)， ∴y0＝1，∴x0＝e，∴Q(e，1)． ∴过点O(0，0)且与曲线相切的直线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. (4)设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． [解]　如图，设直线l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小． 设直线l与曲线y＝ex相切于点Q(x0，y0)， 因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0. 代入y＝ex，得y0＝1，所以Q(0，1)． 所以点P到直线y＝x的最小距离即为切点Q到直线y＝x的距离，为＝. 【感悟提升】 (1)根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标． (2)求曲线上一点与直线上一点的最小距离问题往往可以转化为切线问题，即平移已知直线与曲线相切，求出此时的切点(或切线)，利用点线距离(或平行线距离)公式求解． 【跟踪训练】 2．(1)若曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　) A. B.或 C. D. 答案：B 解析：由y′＝′＝－＝－4，得x＝±，所以点P的坐标为或.故选B. (2)过点M(－1，0)作曲线f(x)＝的切线l，则切线l的方程为(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0 答案：C 解析：因为点M(－1，0)不在曲线f(x)＝上，所以设切点为(x0，)，切线l的斜率为k，则f′(x)＝，k＝f′(x0)＝，切线l的方程为y－＝(x－x0)，将点M(－1，0)代入方程，得0－＝(－1－x0)，解得x0＝1，则切点为(1，1)，k＝，所以切线l的方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.故选C. (3)已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为________． 答案：e 解析：因为y′＝(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，所以k＝＝＝ex0，解得x0＝1，所以k＝e. (4)已知点P(x，y)是曲线y＝x2上的一动点，则点P(x，y)到直线2x－y－4＝0的距离的最小值为________． 答案： 解析：联立得x2－2x＋4＝0，则Δ＝4－4×1×4<0，所以直线2x－y－4＝0与曲线y＝x2不相交，因此当曲线在点P处的切线与直线2x－y－4＝0平行时，点P到该直线的距离最小．因为y′＝2x，直线2x－y－4＝0的斜率k＝2，所以2x＝2，得x＝1，则P(1，1)．所以点P(1，1)到直线2x－y－4＝0的距离最小，最小值为d＝＝. 题型三　导数公式的应用　 　(1)已知某质点的运动方程为s(t)＝t2(s的单位：m，t的单位：s)，求质点在t＝10时的：①瞬时速度；②加速度；③动能；④动量(设物体的质量为m kg，动能Ek＝mv2 J，动量p＝mv kg·m/s)． [解]　①vt＝10＝s′(t)|t＝10＝(2t)|t＝10＝20 m/s. ②加速度a＝v′＝(2t)′＝2 m/s2. ③动能Ek＝mv2＝m×202＝200m J. ④动量p＝mv＝20m kg·m/s. (2)某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095) [解]　由题意，得p′(t)＝1.1t·ln 1.1，所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)， 所以在第5个年头，房价上涨的速度大约是0.15万元/年． 【感悟提升】由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．这种变化率在描述经济变化率、物理变化率、化学变化率等方面有着广泛的应用． 【跟踪训练】 3．(1)已知质点运动的方程是s＝(s的单位：米，t的单位：秒)，则质点在t＝2时的速度为________米/秒． 答案：－ 解析：s＝＝t－5，s′＝－5t－6，s′|t＝2＝－.故质点在t＝2时的速度为－ 米/秒． (2)从时刻t＝0开始，通过某导体的电量(单位：库仑)可以用公式q(t)＝cost表示，求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)． 解：由q(t)＝cost，得q′(t)＝－sint， 所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7， 即第5秒和第7秒时的电流强度分别是－sin5安、－sin7安． 1．给出下列结论： ①′＝cos；②′＝ln x；③若y＝e－x，则y′＝e－x；④′＝－. 其中正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：因为′＝′＝0，所以①错误；因为′＝－，所以②错误；因为(e－x)′＝′＝·ln ＝－＝－e－x，所以③错误；因为′＝(x－)′＝－·x－＝－，所以④正确． 2．已知函数f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值为(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案：A 解析：∵f′(x)＝axa－1，∴f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4. 3．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为(　　) A. B.或 C.(k∈Z) D.或(k∈Z) 答案：D 解析：设所求切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或x0＝2kπ－，k∈Z，∴y0＝或y0＝－.故选D. 4．若直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________． 答案：ln 2－1 解析：∵y＝ln x，∴y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1. 5．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________． 答案：64 解析：∵y＝x－，∴y′＝－x－，∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a.∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 基本初等函数的导数公式的运用 基本初等函数的导数公式的运用 基本初等函数的导数公式的运用 利用导数公式求切点坐标 利用导数公式求曲线过某点的切线方程 基本初等函数的导数公式的运用 利用导数公式解决实际问题 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用导数公式解决两个函数图象上的动点距离的最值问题 利用导数公式求与曲线在某点处的切线垂直的直线方程 利用导数公式解决与切线有关的最值问题 导数公式与导数定义的综合 利用导数公式解决与切线相关的问题 利用导数公式求切线的斜率；判断两切线的位置关系 利用导数公式求曲线过某点的切线方程；求与曲线的切线有关的切点问题 一、选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．若y＝ln e，则y′＝ B．若y＝，则y′＝ C．若y＝，则y′＝－2x－1 D．若f(x)＝x，则f′(2)＝1 答案：D 解析：对于A，因为y＝ln e＝1，则y′＝0，故A错误；对于B，因为y＝＝x，则y′＝x－≠，故B错误；对于C，因为y＝＝x－2，则y′＝－2x－3，故C错误；对于D，由f(x)＝x，知f′(x)＝1，所以f′(2)＝1，故D正确．故选D. 2．已知函数f(x)＝cosx，f′(x)是f(x)的导数，则f′＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D. 答案：A 解析：因为f′(x)＝－sinx，所以f′＝－1.故选A. 3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B．2e2 C．e2 D. 答案：D 解析：∵y′＝ex，y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝1.∴S＝×1×e2＝. 4．(多选)曲线y＝x3在点M处的切线的倾斜角为，则点M的坐标可能是(　　) A．(1，1) B. C. D．(－1，－1) 答案：BC 解析：在点M处的切线的斜率k＝tan＝1，设切点M的坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝3x＝1，解得x0＝或x0＝－，∴切点M的坐标为或.故选BC. 5．(多选)过点Q(－1，3)作曲线f(x)＝的切线，则此切线的方程可以是(　　) A．9x＋y＋6＝0 B．x＋y－2＝0 C．9x－y＋6＝0 D．x－y＋2＝0 答案：AB 解析：过点Q(－1，3)作曲线f(x)＝的切线，设切点为，则f′(x0)＝－，切线方程为y＝－(x－x0)＋＝－x＋，代入点Q(－1，3)的坐标，得3＝＋，解得x0＝－或x0＝1，故切线方程为9x＋y＋6＝0或x＋y－2＝0.故选AB. 二、填空题 6．曲线y＝3x在点(0，1)处切线的斜率为________． 答案：ln 3 解析：因为y′＝3xln 3，所以曲线y＝3x在点(0，1)处切线的斜率为y′|x＝0＝30ln 3＝ln 3. 7．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可表示为y＝，则在t＝4 min时的瞬时降雨强度为________ mm/min. 答案： 解析：由题设，得y′＝，则y′|t＝4＝＝，所以在t＝4 min时的瞬时降雨强度为 mm/min. 8．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当点P的坐标为________时，|PQ|最小，最小值为________． 答案：(1，0)　 解析：如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为|PQ|的最小值．易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以|PQ|的最小值为＝. 三、解答题 9．求过曲线y＝上点P(8，4)且与在这点的切线垂直的直线方程． 解：∵y＝， ∴y′＝()′＝(x)′＝x－. ∴当x＝8时，y′＝×8－＝， 即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为. ∴所求直线的斜率为－3. ∴所求直线的方程为y－4＝－3(x－8)， 即3x＋y－28＝0. 10．已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m，4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，求m的值． 解：如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大． ∵y′|x＝m＝，点A的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)， ∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝. 11．已知函数f(x)＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵f(x)＝，∴f′(x)＝，∴＝f′(8)＝＝.故选D. 12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn＝________． 答案： 解析：对y＝xn＋1(n∈N*)求导，得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝. 13．已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，这两条曲线是否存在一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解：假设存在这样的公共点，并设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)， ∴两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝y′| x＝x0＝cosx0，k2＝y′|x＝x0＝－sinx0. 若使两条切线互相垂直，必须有cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的， ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直． 14．已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x. (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程； (2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设切点为(m，log2m)(m＞0)． 因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝. 由题意可得＝，解得m＝e， 所以切线方程为y－log2e＝(x－e)， 即y＝x. (2)过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝. 假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行， 设P(n，log2n)，≤n≤2，则有＝， 得n＝. 又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1， 所以＜＜， 所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为. 13 学科网（北京）股份有限公司 $