4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

该高中数学导学案围绕等差数列前n项和公式展开，通过回顾等差数列性质导入，以倒序相加法推导公式，结合通项公式得到两种表达形式，联系二次函数深化理解，构建知识支架。 资料注重推导过程与分层题型设计，例题与跟踪训练结合，帮助学生掌握公式应用，培养逻辑推理与数学运算素养，二次函数关系的探究发展抽象能力，便于自主学习与教师教学评估。

数学　选择性必修 第二册 RJ 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和 (教师独具内容) 课程标准：1.探索并掌握等差数列的前n项和公式.2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等差数列前n项和公式与二次函数的关系． 教学重点：1.等差数列的前n项和公式的推导过程.2.利用等差数列的前n项和公式解决问题． 教学难点：等差数列前n项和公式的推导过程． 核心素养：在探索等差数列的前n项和公式的过程中，发展数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点一　等差数列的前n项和公式及其推导 1．等差数列前n项和公式的推导思路：它来源于对等差数列的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性质的认识和发现．推导方法是倒序相加法． 2．等差数列的前n项和公式 因为等差数列{an}中，有a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1成立，所以可得到等差数列前n项和公式为Sn＝．① 如果代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，Sn也可以用首项a1与公差d表示，即Sn＝na1＋d．② [说明]　当已知首项、末项和项数时，用公式①较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式②较为方便． 3．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d还可以由如下方法推导： Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]， Sn＝an＋an－1＋…＋a1 ＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－3)d]＋…＋a1， ∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d] ＝n[2a1＋(n－1)d]． ∴Sn＝na1＋d. 知识点二　等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 若数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，那么数列{an}为等差数列时应满足条件C＝0． [说明]　(1)一般地，对于等差数列{an}，如果首项a1，公差d是确定的，前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，设A＝，B＝a1－，上式可写成Sn＝An2＋Bn.当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数，那么(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上． (2)以等差数列前n项的项数为横坐标，前n项和为纵坐标的图象为抛物线上的一系列的孤立的点． 1．(利用等差数列的前n项和求部分项和)若数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a3＋a4＋a5＝(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 答案：B 2．(等差数列的前n项和公式①)等差数列{an}中，a1＝6，a12＝－16，则S12＝(　　) A．－60 B．60 C．－132 D．132 答案：A 3．(等差数列的前n项和公式②)等差数列{an}中，a1＝2，公差d＝2，则S10＝________． 答案：110 4．(利用Sn判断等差数列)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则{an}________(填“是”或“不是”)等差数列． 答案：是 题型一　等差数列前n项和公式的基本计算　 　(1)(2025·新课标卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 [解析]　设等差数列{an}的公差为d，则由题可得解得所以S6＝6a1＋15d＝6×5＋15×(－3)＝－15.故选B. [答案]　B (2)已知{an}为等差数列，公差d＝2，前n项和为Sn，an＝11，Sn＝35，求a1，n. [解]　由题设可得 解得或 (3)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＝19，S5＝40，求a10，S20. [解]　设等差数列{an}的公差为d. 由题设可得 即解得 故a10＝2＋(10－1)×3＝29， S20＝20a1＋d＝20×2＋190×3＝610. 【感悟提升】等差数列前n项和公式基本计算的技巧 (1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题，解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 【跟踪训练】 1．(1)在等差数列{an}中，已知S8＝48，S12＝168，求a1和公差d. 解：∵S8＝8a1＋28d＝48，S12＝12a1＋66d＝168， ∴a1＝－8，d＝4. (2)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17. 解：∵a3＋a15＝40， ∴S17＝＝＝＝340. (3)已知等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，若Sn＝242，求n. 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n. 由Sn＝na1＋d，a1＝12，d＝2，Sn＝242，得 242＝12n＋×2. 即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)， ∴n＝11. 题型二　利用Sn判断等差数列　 　设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2n2－30n. (1)求a1及an； (2)判断数列{an}是否是等差数列． [解]　(1)因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32. (2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是以－28为首项，4为公差的等差数列． 【感悟提升】已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，当C＝0时，{an}为等差数列；当C≠0时，{an}为非等差数列． 【跟踪训练】 2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：∵Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，② ①－②，得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－2，不满足上式， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第2项起以4为公差的等差数列． 题型三　由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和　 　已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn. [解]　a1＝S1＝－×12＋×1＝101. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104. ∵n＝1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104. 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34， 即当n≤34时，an>0，当n≥35时，an<0. 解法一：①当n≤34时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n； ②当n≥35时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn ＝2×－ ＝n2－n＋3502. 故Tn＝ 解法二：①同解法一； ②当n≥35时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝ － ＝n2－n＋3502， 故Tn＝ 【感悟提升】由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 先求出an，解得当an≥0时n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负． (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解． (2)若前k项为负，从k＋1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn＝ (3)若前k项为正，以后各项非正，则 Tn＝ (4)也可以分别求出an≥0与an<0时各项的和，再相减求出|an|的和． 【跟踪训练】 3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得 即解得 所以an＝13－2(n－1)＝15－2n. (2)Sn＝＝14n－n2. 令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*， 当n≤7时，则an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，则an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2×(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98. 综上所述，Tn＝ 1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d.解法一：依题意可得，a2＋a6＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10×1＝20.故选C. 解法二：a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.故选C. 2．若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(　　) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 答案：A 解析：a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以3(a1＋an)＝180，即a1＋an＝60.由题意，知＝390，所以＝390，解得n＝13. 3．(多选)若等差数列{an}的公差为d，首项a1<0，a203＋a204>0，a203a204<0，则(　　) A．a204>0 B．d<0 C．S405<0 D．S406>0 答案：ACD 解析：由a203＋a204>0⇒a1＋a406>0⇒S406>0，又由a1<0且a203a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么a1＋a405＝2a203<0，所以S405<0.故选ACD. 4．在等差数列{an}中，若a6＝10，S5＝5，则a8＝________，S8＝________． 答案：16　44 解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a6＝10＝a1＋5d，S5＝5a1＋10d＝5，所以d＝3，a1＝－5.所以a8＝a1＋7d＝－5＋21＝16，S8＝8×(－5)＋×3＝44. 5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________． 答案：66 解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋2＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，所以a2＝－1，a3＝1，所以前2项是负数，第3项开始为正数．故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝S10＋2(|a1|＋|a2|)＝102－4×10＋2＋2×(1＋1)＝66. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用ap＋aq＝am＋an(p＋q＝m＋n)求和 由等差数列的前n项和的关系求首项 由等差数列的前n项和的关系确定项数 由an，Sn之间的关系求项的比值 由等差数列前n项和的大小关系解决问题 利用Sn判断等差数列 求等差数列的前n项和 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 构造等差数列求数列偶数项的和 等差数列中n，an，Sn的相关计算 等差数列的证明；数列{|an|}的前n项和 由等差数列的前n项和求值 构造等差数列求数列的前n项和 由等差数列的前n项和求值；求等差数列的前n项和 由an，Sn之间的关系求等差数列的通项公式；由等差数列的前n项和求公差 一、选择题 1．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＝12，则数列{an}的前6项和为(　　) A．12 B．32 C．36 D．72 答案：C 解析：等差数列{an}中，a3＋a4＝12，所以等差数列{an}的前6项和为S6＝＝＝＝36.故选C. 2．(全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A．－2 B. C．1 D．2 答案：B 解析：由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，得a8＝0，则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝.故选B. 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a10＝0，若Sn＝S5(n≠5)，则n的值为(　　) A．15 B．14 C．13 D．12 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由S5＝35，a10＝0，得解得因为Sn＝S5，所以9n－＝35，即n2－19n＋70＝0，解得n＝14或n＝5(舍去)．故选B. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，＝，则＝(　　) A. B. C. D．3 答案：B 解析：在＝中，取n＝7，得＝＝4，故S7＝4a7，即7a4＝4a7，得＝.故选B. 5．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．S5<S9 B．该数列的公差d<0 C．a7＝0 D．S12>0 答案：BCD 解析：由S5<S6，可得S6－S5＝a6>0，由S6＝S7，可得S7－S6＝a7＝0，由S7>S8，可得S8－S7＝a8<0，所以等差数列{an}的公差d<0，故B，C正确；S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)＝2a8<0，所以S9<S5，故A不正确；S12＝×12＝6(a6 ＋a7)＝6a6>0，故D正确．故选BCD. 二、填空题 6．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ＝________． 答案：－1 解析：∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，数列{an}为等差数列，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 7．(2024·新课标卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 答案：95 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95. 8．已知数列{an}，∀m，n∈N*都有am＋an＝am＋n，且a1＝1，则a2＋a4＋…＋a2n＝________． 答案：n2＋n 解析：令m＝1，得an＋1－an＝a1＝1，故{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，则an＝1＋n－1＝n，设a2n＝2n＝bn，则bn＋1＝2n＋2，bn＋1－bn＝2，b1＝2，故{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列，设{bn}的前n项和为Sn，则a2＋a4＋…＋a2n＝b1＋…＋bn＝Sn＝＝n2＋n. 三、解答题 9．在等差数列{an}中， (1)已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝54，求n； (2)已知a2＝1，a5＝7，求S10； (3)已知S5＝24，求a2＋a4. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. ∵∴ ∴Sn＝n×18＋×(－3)＝54， 解得n＝4或n＝9. (2)设等差数列{an}的公差为d. ∵a2＝1，a5＝7， 又a5－a2＝3d，∴3d＝6，即d＝2. ∴a1＝a2－d＝－1， ∴S10＝10a1＋×d＝10×(－1)＋45×2＝80. (3)解法一：设等差数列{an}的公差为d， 则S5＝5a1＋d＝24， 即5a1＋10d＝24，∴a1＋2d＝. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝. 解法二：由S5＝＝24，得a1＋a5＝. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝. 10．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n. (1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列； (2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)证明：由题意，得an＝8－2n. ∵an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2， ∴数列{an}是等差数列． (2)由题意，得bn＝|8－2n|. ∵b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2， ∴此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列， 从第5项起是以2为首项，2为公差的等差数列． ∴当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n. 当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝12＋n2－7n＋12＝n2－7n＋24. ∴Sn＝ 11．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　) A．38 B．20 C．10 D．9 答案：C 解析：由数列{an}是等差数列，得am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，解得am＝2或am＝0.又由S2m－1＝×(2m－1)＝38，且2am＝a1＋a2m－1，得(2m－1)am＝38，故am≠0，则有2m－1＝19，m＝10. 12．若数列{an}，{bn}满足a1＝a2＝1，bn＝an＋1－2n＋3，bn＋1＝an－2n＋5，则数列{an＋bn}的前50项和为________． 答案：2600 解析：由bn＝an＋1－2n＋3，bn＋1＝an－2n＋5，两式作差，得bn＋1－bn＝an＋2－an＋1，所以(bn＋1＋an＋1)－(bn＋an)＝2，又a1＝1，b1＝a2－2×1＋3＝2，所以数列{an＋bn}是首项为3，公差为2的等差数列，所以a50＋b50＝a1＋b1＋(50－1)×2＝101，所以{an＋bn}的前50项和为＝2600. 13．已知等差数列{an}的前3项为a－1，4，2a，记数列{an}的前n项和为Sn. (1)求a的值； (2)若Sk＝2550，求k的值； (3)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值． 解：(1)由已知，得4×2＝a－1＋2a，解得a＝3. (2)由(1)可知，a1＝2，公差d＝a2－a1＝2， 由Sk＝ka1＋d，得 2k＋×2＝2550，即k2＋k－2550＝0， 解得k＝50或k＝－51(舍去)，∴k＝50. (3)由Sn＝na1＋d，得 Sn＝2n＋×2＝n2＋n， ∴bn＝＝n＋1. 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， ∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n. 14．(2023·新课标卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n. (2)∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即＝＋， ∴6＝＝＝， 即a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0， 又S99－T99＝99， 由等差数列的性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， ∴a50－＝1，即a－a50－2550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51， 解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51， 解得d＝. 综上，d＝. 13 学科网（北京）股份有限公司 $