4.1 第1课时 数列的概念与通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 第1课时　数列的概念与通项公式 (教师独具内容) 课程标准：1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数． 教学重点：1.数列的有关概念.2.能由数列的前几项写出数列的一个通项公式． 教学难点：1.从函数的观点理解数列.2.数列单调性的判断与应用． 核心素养：从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，培养数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　数列及其有关概念 1．数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 知识点二　数列的表示 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，这里n是正整数． [提醒]　(1)数列中的项是有序的，有序性是数列的主要特征，例如：1，3，5，7，9和9，7，5，3，1不是同一个数列． (2)数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的互异性是不同的． 知识点三　数列与函数的关系 1．数列与函数的内在联系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2．数列的表示方法 (1)解析式法． (2)图象法． (3)列表法． 3．数列的单调性 与函数类似，数列也有单调性． 知识点四　数列的分类 1．按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 2.按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项． [想一想]　(1)所有的数列都一定有通项公式吗？ 提示：不一定，如的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，就没有通项公式． (2)数列的通项公式在形式上一定是唯一的吗？ 提示：不一定，如数列－1，1，－1，1，－1，1，…，它的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋2等． 这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列．另外，有些数列只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前几项归纳出的数列的通项公式可能并不唯一． 1．(数列通项公式的理解)(多选)下列四个结论正确的是(　　) A．任何数列都有通项公式 B．给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列 C．给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式 D．数列的通项an是项数n的函数 答案：BD 2．(确定某数在数列中的项数)在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的(　　) A．第100项 B．第12项 C．第10项 D．第8项 答案：C 3．(写出数列的通项公式)数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* 答案：A 4．(求数列中最大项的项数)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中数值最大的项是第________项． 答案：5 题型一　数列的概念与分类　 　已知下列数列： (1)2，22，222，2222； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－1，0，－1，0，…，，…； (5)a，a，a，a，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(将正确的序号填在横线上) [解析]　(1)是有穷递增数列，(2)是无穷递增数列，(3)是无穷递减数列，(4)是无穷数列，(5)是无穷数列，也是常数列． [答案]　(1)　(2)(3)(4)(5)　(1)(2)　(3)　(5) 【感悟提升】判断数列类型的策略 (1)判断数列类型时要紧扣概念及数列的特点．判断递增数列、递减数列、常数列时要从项的变化趋势上来分析；判断有穷数列、无穷数列时要看项的个数是有限还是无限． (2)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，an或an＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集{1，2，3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…或an＝f(n)(n＝1，2，3，…)，即对于有穷数列，要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾． 【跟踪训练】 1．下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是常数列？ (1)1，，，…，，…； (2)1，2，22，…，263； (3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0，10，20，…，1000； (5)－1，1，－1，1，…； (6)6，6，6，…； (7)0，－1，0，…，cos，…. 解：(1)是无穷数列，也是递减数列． (2)是有穷数列，也是递增数列． (3)是无穷数列． (4)是有穷数列，也是递增数列． (5)是无穷数列． (6)是无穷数列，也是常数列． (7)是无穷数列． 题型二　用观察法求数列的通项公式　 　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)3，5，7，9，…； (2)，－，，－，…； (3)，3，，，…； (4)0.9，0.99，0.999，0.9999，…. [解]　(1)因为各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·. (3)原数列可化为，，，，…，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的通项公式为an＝. (4)将原数列变形为1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…，故原数列的通项公式为an＝1－10－n＝1－. [变式探究]　把本例(4)改为“0.6，0.66，0.666，0.6666，…”，又如何求通项公式呢？ 解：数列0.6，0.66，0.666，0.6666，…的通项公式为an＝. 【感悟提升】用观察法求数列通项公式的一般规律 此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体步骤为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理正负号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 【跟踪训练】 2．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)3，5，3，5，3，5，…； (3)7，77，777，…； (4)，，－，，－，，…. 解：(1)观察数列，递增速度较快，有点像成平方的递增，不妨用平方数列对照看一看，即1，22，32，42，52，…，很快发现an＝n2－1. (2)此数列奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写成an＝此数列两项3与5的平均数为＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写成an＝4＋(－1)n. (3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，所以an＝(10n－1)． (4)分母为2n，易看出第2，3，4，5，6项的分子均比分母少3，因此第1项为－， 因此原数列可以化为－，，－，，…， 所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·. 题型三　数列通项公式的简单应用　 　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列{an}的第4项和第6项； (2)－49和68是数列{an}的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． [解]　(1)∵an＝3n2－28n， ∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0， 解得n＝7或n＝(舍去)，∴－49是数列{an}的第7项． 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝. ∵－2∉N*，∉N*，∴68不是数列{an}的项． 【感悟提升】判断某数是否为数列的项的步骤 (1)将该数代入数列的通项公式中； (2)解关于n的方程； (3)若n为正整数，说明该数是该数列的项；若n不是正整数，说明该数不是该数列的项. 【跟踪训练】 3．已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求a4＋a6的值； (2)试问和是不是数列{an}的项？如果是，是第几项？ 解：(1)由题意可知 a4＝＝，a6＝＝， 所以a4＋a6＝＋＝. (2)令＝，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8， 由于n∈N*，故n＝－8舍去． 所以是数列{an}的第5项． 令＝，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝或n＝－， 由于n∈N*，所以不是数列{an}的项． 题型四　数列的函数特性　 　已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)判断数列{an}的单调性； (2)该数列是否有最大项或最小项？若有，指出是第几项；若没有，请说明理由． [解]　(1)∵an＋1－an＝×(n＋2)－×(n＋1)＝×＝×，n∈N*，>0， ∴当n≤7时，an＋1－an>0；当n＝8时，an＋1－an＝0； 当n≥9时，an＋1－an<0. 因此数列{an}从第1项到第8项递增，从第9项起递减． (2)由(1)知，该数列有最大项，无最小项，最大项为第8项和第9项． 【感悟提升】 1．判断数列单调性的方法 (1)作差法：比较an＋1与an的大小，即比较an＋1－an与0的大小． (2)作商法：当数列中项的符号一致时作商比较an＋1与an的大小，即比较与1的大小． 2．求数列中最大(小)项的方法 (1)不等式组法：通常利用确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)．此方法适用于先增后减(或先减后增)型数列求最值项，要注意不等式组中的“≥”与“≤”，不是“>”与“<”． (2)函数的单调性法：因为数列是一种特殊的函数，所以可以利用函数的单调性求最值，但要特别注意数列中的n为正整数． (3)图象法：作出数列的图象，观察得出最大(小)项． 【跟踪训练】 4．(1)已知数列{an}，an＝－2n2＋9n＋3，求数列{an}的最大项． 解：解法一：假设an是最大项，则有 即 解得≤n≤. 因为n是正整数，所以n＝2. 所以数列{an}的最大项是a2＝13. 解法二：由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋. 因为n为正整数，故当n＝2时，an取得最大值． 所以数列{an}的最大项是a2＝13. (2)已知数列{an}的通项公式为an＝|3n－19|，画出数列{an}的图象，并求数列的最小项． 解：因为an＝|3n－19|，所以a1＝|3×1－19|＝16，a2＝13，a3＝10，a4＝7，a5＝4，a6＝1，a7＝2，a8＝5，a9＝8，a10＝11，a11＝14，…， 则数列{an}的图象是均匀分布在折线y＝|3x－19|上的一系列孤立的点，如图所示． 由图可知，当n≤6，n∈N*时，an＝|3n－19|递减；当n≥7，n∈N*时，an＝|3n－19|递增，且a6<a7，所以数列的最小项为第6项a6＝1. 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 答案：C 解析：对于A，an＝，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；对于C，an＝－，它既是无穷数列又是递增数列；D是有穷数列． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项 答案：C 解析：由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，所以－8是该数列的第7项． 3．(多选)下列四个说法中，正确的是(　　) A．数列的图象是一群孤立的点 B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C．数列，，，，…的一个通项公式是an＝(n∈N*) D．数列，，…，是递减数列 答案：ACD 解析：对于A，由数列的通项公式以及n∈N*可知，数列的图象是一群孤立的点，故A正确；对于B，因为两个数列中的数排列的次序不同，所以不是同一数列，故B错误；对于C，观察可得数列，，，，…的一个通项公式为an＝(n∈N*)，故C正确；对于D，因为－＝－<0，n∈N*，n≥2，所以数列，，…，是递减数列，故D正确．故选ACD. 4．若数列{an}的通项公式为an＝则a3＋a6＝________． 答案：8 解析：因为3是奇数，所以a3＝3＋2＝5，因为6是偶数，所以a6＝6－3＝3，所以a3＋a6＝5＋3＝8. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则数列中有________项是负数．当n＝________时，an取得最小值，为________． 答案：2　2或3　－2 解析：由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*∴n＝2或3，∴数列中有2项是负数．∵an＝n2－5n＋4＝－，二次函数y＝－的图象的对称轴为直线x＝，又n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，an取得最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 数列的概念及表示 判断数列的单调性 利用数列的通项公式确定某数是第几项 利用数列的前几项判断数列的通项公式 由数列的通项公式研究数列的图象、增减性、项的符号 写出满足条件的数列的通项公式 利用数列的项写出数列的项 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用数列的通项公式求最大值 判断数列的单调性；画出数列的图象 利用数列的前几项写出数列的通项公式 图形中的数列规律的探究 由数列的通项公式和单调性求参数的取值范围 利用数列的通项公式求数列的具体项；判断某数是否为数列中的项；判断数列的单调性 利用数列的通项公式求最大项并确定其是第几项 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．数列2，4，6，8可表示为集合{2，4，6，8} B．数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列 C．数列{n2＋n}的第k项为k2＋k D．数列0，1，2，3，4，…可记为{n} 答案：C 解析：对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；对于C，数列{n2＋n}的第k项为k2＋k，故C正确；对于D，数列{n}的第1项是1，而不是0，故D错误．故选C. 2．已知an＋1－an－6＝5(n∈N*)，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．先增后减数列 D．常数列 答案：A 解析：由题意可知an＋1－an＝11>0(n∈N*)，即从第2项起数列{an}的每一项都比它的前一项大，所以数列{an}是递增数列．故选A. 3．已知数列，，2，，…，，则2是这个数列的(　　) A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 答案：B 解析：由＝2，解得n＝7，所以2是这个数列的第7项．故选B. 4．(多选)已知数列{an}的前4项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A．an＝[1＋(－1)n＋1] B．an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2) C．an＝sin2 D．an＝ 答案：ACD 解析：将n＝1，2，3，4分别代入各选项中，可知A，C，D符合；对于B，当n＝3，4时不符合．故选ACD. 5．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象 B．数列{an}是递减数列 C．数列{an}从第3项往后各项均为负数 D．数列{an}中有两项为1 答案：BC 解析：由题意，得an＝－n2＋2n＋1，由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，故A错误；从图象上可以看出数列{an}是一个递减数列，且前两项为正数，只有第2项为1，从第3项往后各项均为负数，故B，C正确，D错误．故选BC. 二、填空题 6．已知递减数列{an}满足|an|≤1，则满足此条件的数列{an}的一个通项公式为an＝________． 答案：(答案不唯一) 解析：当an＝时，{an}为递减数列，且0<an≤1，∴|an|≤1，符合题意．∴{an}的一个通项公式为an＝. 7．某数列前7项依次是0，4，12，24，40，x，84，则数列中的x的值为________． 答案：60 解析：观察数列0，4，12，24，40，x，84，则4－0＝4，12－4＝8，24－12＝12，40－24＝16，易知x－40＝20，所以x＝60. 8．若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则an的最大值为________． 答案： 解析：因为an＝＝，n＋≥2＝28，当且仅当n＝14时，n＋取得最小值28，所以当n＝14时，取得最大值. 三、解答题 9．判断下列数列的增减性，并作出其图象． (1)an＝－n＋1；(2)an＝2n－1. 解：(1)∵an＝－n＋1，且an＋1＝－(n＋1)＋1＝－n， ∴an＋1－an＝－1<0， ∴数列{an}为递减数列，其图象如图． (2)∵an＝2n－1，∴an＋1＝2(n＋1)－1＝2n＝2×2n－1＝2an，∴an＋1>an，∴数列{an}为递增数列，其图象如图． 10．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)1，－2，3，－4，5，…； (2)5，55，555，5555，…； (3)1，3，6，10，15，…； (4)，，，，…； (5)1，－，，－，，…. 解：(1)这个数列的前4项1，－2，3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负， ∴数列的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·n. (2)∵数列9，99，999，9999，…的第n项为10n－1，数列1，11，111，1111，…的第n项应为(10n－1)，∴数列5，55，555，5555，…的一个通项公式是an＝(10n－1)． (3)注意到6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即，，，，，…， ∴数列的一个通项公式为an＝. (4)注意各项的分子分别是12，22，32，42，…，分母比分子大1， ∴数列的一个通项公式为an＝. (5)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，…，各项分子均为1， ∴数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·. 11．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为(　　) A．153 B．190 C．231 D．276 答案：B 解析：由题意知，数列{an}的各项为1，6，15，28，45，…，所以a1＝1＝1×1，a2＝6＝2×3，a3＝15＝3×5，a4＝28＝4×7，a5＝45＝5×9，…，an＝n(2n－1)，所以a10＝10×19＝190.故选B. 12．已知数列{an}的通项公式为an＝an2－n，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：由{an}是递增数列，得an＋1－an＝[a(n＋1)2－(n＋1)]－(an2－n)＝2an＋a－1>0恒成立，∴a>，∵n∈N*，∴≤，∴a>.∴实数a的取值范围为. 13．已知数列{an}的通项公式是an＝. (1)求数列的第10项； (2)是不是数列中的项？ (3)判断数列{an}的增减性． 解：(1)数列的第10项为a10＝＝. (2)令an＝，即＝，解得n＝7. ∴是数列中的项，且是第7项． (3)解法一(比较an＋1与an的大小)： ∵an＋1－an＝－＝－ ＝>0， ∴an＋1>an.∴数列{an}为递增数列． 解法二(从函数角度判断)： an＝＝， ∵f(n)＝1＋为关于n的减函数且其值恒正， ∴an＝为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列． 14．已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(n∈N*)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由． 解：解法一(作差比较an＋1与an的大小，判断数列{an}的单调性)： 因为an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×. 当n<5时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝5时，a6－a5＝0，即a6＝a5； 当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 即最大项为a5＝a6＝. 解法二(作商比较an＋1与an的大小，判断数列{an}的单调性)： ＝＝. 令>1，解得n<5；令＝1，解得n＝5； 令<1，解得n>5. 故有a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 且最大项为a5＝a6＝. 解法三(解不等式)： 假设数列{an}中有最大项，且最大项为第n项， 则 即 解得5≤n≤6. 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝. 16 学科网（北京）股份有限公司 $