第1章 导数及其应用 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案以“导数及其应用”为核心，围绕导数概念、运算及应用三大目标，通过“概念辨析—方法梳理—应用探究”的递进式设计，串联导数几何意义、单调性、极值最值等模块，构建从基础到综合的完整学习路径。 亮点在于“问题链驱动的深度学习”，如“切线方程求解”“垃圾处理厂影响度最小化”等任务，引导学生用数学眼光观察曲线切线，用数学思维推理单调性与极值关系，用数学语言建模实际问题。每模块设“易错警示”和“方法总结”，助力学生深度学习，为教师单元复习提供系统指导。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，导数不存在，此时的切线方程为x＝x0． 2．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键． 3．对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(课标要求f(ax＋b)的形式)，在学习的过程中不要无限制地拔高． 4．利用导数判断函数的单调性应注意的几点 (1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点． (3)在区间(a，b)上f′(x)>0是函数f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件，因为当f(x)在区间(a，b)上为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3． 5．利用导数研究函数的极值应注意的几点 (1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要不充分条件． (2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导． (3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然． 6．极值与最值的区别 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念． (2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有极值． 7．导数的实际应用 利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判断是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较． 一、导数几何意义的应用 利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意： (1)判断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上； (2)(ⅰ)若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (ⅱ)若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)·(x0－x1)，① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 已知函数f(x)＝x3＋x－16． (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． [解]　(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13． ∴切线的方程为y＝13(x－2)－6， 即y＝13x－32． (2)设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16． 又直线l过点(0，0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16． 整理得，x＝－8， ∴x0＝－2． ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26． f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13． ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a>0)的交点为P，曲线C在点P处的切线与x轴交于点Q(－a，0)，求a的值． [解]　由解得P(a，a3－3a)． y′＝3x2－3， 所以曲线C在点P处的切线方程为 y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)． 令y＝0得切线与x轴的交点为， 则有＝－a，解得a＝±或a＝0． 因为a>0，所以a的值为． 二、利用导数研究函数的单调性 借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等初等函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个热点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体． 设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数． (1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． [解]　(1)由题意知a＝0时，f(x)＝， 此时f′(x)＝． 可得f′(1)＝， 又因为f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0． (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝＋＝． 当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当a＝－时，Δ＝0， f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a<－时，Δ<0，g(x)<0， f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－<a<0时，Δ>0． 设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点， 则x1＝， x2＝， 因为x1＝＝>0， 所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． 综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－<a<0时，函数f(x)在 ，上单调递减，在上单调递增． 三、利用导数研究函数的极值与最值 设f(x)是在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导的函数，则求f(x)在闭区间[a，b]上最值的步骤如下： (1)求f′(x)＝0在区间(a，b)内的根，即导数为0的点．导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的f′(x)的符号，若左正右负，则该点为极大值点．若左负右正，则该点为极小值点．若符号相同，则不是极值点．求出这些导数为0的点的函数值； (2)求f(x)在闭区间[a，b]两端点处的函数值，即f(a)与f(b)； (3)将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x＝－1时取极小值，在x＝时取极大值． (1)求曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线方程； (2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值． [解]　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b． 因为x＝－1，x＝分别是函数f(x)的极小值点、极大值点，所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根． 所以a＝－1＋，－＝(－1)×． 于是a＝－，b＝2，经检验知符合题意， 则f(x)＝－x3－x2＋2x， f′(x)＝－3x2－x＋2， 当x＝－2时，f(－2)＝2，f′(－2)＝－8， 故所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)， 即8x＋y＋14＝0． (2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2， －1) －1 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 2 递减 极小值－ 递增 极大值 递减 则f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－． 四、利用导数解决恒成立问题 恒成立问题是常见且非常重要的题型之一，解决这类问题常用的方法是转化成求函数最值问题． (1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则转化为f(x)max≤m； (2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则转化为f(x)min≥m． 已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1，2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围． [解]　因为f(x)＝x3－x2－2x＋5， 所以f′(x)＝3x2－x－2． 令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0， 解得x＝1或x＝－． 当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(1，2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 所以当x＝－时，f(x)取得极大值f＝5； 当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝． 又f(－1)＝，f(2)＝7， 因此，f(x)在[－1，2]上的最大值为f(2)＝7． 要使f(x)<m恒成立， 需f(x)max<m，即m>7． 所以所求实数m的取值范围是(7，＋∞)． 五、利用导数研究方程的根或函数的零点 利用导数研究方程的根、函数的零点的实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解． 已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数． [解]　函数f(x)的定义域为{x|x≠a}． ①当x>a时，ex>0，x－a>0，∴f(x)>0， 即f(x)在(a，＋∞)上无零点． ②当x<a时，f(x)＝， 令g(x)＝ex(x－a)＋1， 则g′(x)＝ex(x－a＋1)． 由g′(x)＝0得x＝a－1． 当x<a－1时，g′(x)<0； 当x>a－1时，g′(x)>0， ∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，a)上单调递增， ∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1． ∴当a＝1时，g(a－1)＝0， 则x＝a－1是f(x)的唯一零点； 当a<1时，g(a－1)＝1－ea－1>0， 则f(x)没有零点； 当a>1时，g(a－1)＝1－ea－1<0，且当x→－∞时，g(x)→1>0，g(a)＝1＞0， ∴g(x)有两个零点． 则f(x)有两个零点． 综上可知，当a＝1时，函数f(x)有一个零点；当a<1时，函数f(x)无零点；当a>1时，函数f(x)有两个零点． 六、利用导数证明不等式 对于某些不等式的证明，常常也是通过构造函数，利用导数讨论函数的单调性进行证明．这种构造转换的过程与方法，体现了深刻的化归思想． 已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当a＝－1，x>1时，f(x)<x3． [解]　(1)f′(x)＝x－＝， f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a≤0时，f′(x)>0恒成立， ∴函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a>0时，令f′(x)>0， 又x∈(0，＋∞)，得x>， 令f′(x)<0，结合x∈(0，＋∞)，得0<x<． ∴函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)． (2)证明：当a＝－1时，f(x)＝x2＋ln x． 设F(x)＝x3－， 故F′(x)＝2x2－x－＝， 而2x2＋x＋1＝2＋>0恒成立， ∴当x>1时，F′(x)>0， ∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数，且F(1)＝>0． ∴F(x)>在(1，＋∞)上恒成立． ∴F(x)>0． ∴当a＝－1，x>1时，f(x)<x3． 七、利用导数解决实际问题 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法能使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点． 利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的值应舍去； (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． 两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0．065． (1)将y表示成x的函数； (2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由． [解]　(1)如图，由题意知AC⊥BC，|BC|2＝400－x2，y＝＋(0<x<20)，其中当x＝10时，y＝0．065， 所以k＝9，则y＝＋(0<x<20)． (2)y′＝－＋＝， 令y′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)． 当0<x<4时，y′<0； 当4<x<20时，y′>0． 所以函数在(0，4)上单调递减，在(4，20)上单调递增． 所以函数在x＝4处取得最小值，为． 所以在弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点到城A的距离为4 km． 7 学科网（北京）股份有限公司 $