第三章3.1-3.2勾股定理及逆定理阶段同步检测卷2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

勾股定理及其逆定理 建议用时：35分钟 满分：50分 知识点一 勾股定理 1.(3分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,D 是AB 的中点.将 沿CD 翻折得到△ECD,连接AE,BE,则线段 BE 的长为 ( ) A.1 B. 1.2 C. 1.4 D.2 2.(3分)如图，( ,垂足分别为B,E,AE,BC 相交于点 F,AB=CB.若AB=8,CF=2,则CD 的长为 . 3.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC=13,AD 是边 BC 上的中线,AD=12,M是AD 上的一个动点,N是AB 上的一个动点,连接BM,MN,则BM+MN 的最小值是 . 4.(12分)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D 是斜边 BC 的中点,E,F 分别是边AB,AC 上的点,且 DE⊥DF,连接EF. (1) 求证:∠BED=∠AFD; (2)求证: (3)若∠B=45°,BE=12,CF=5,求△DEF 的面积. 知识点二 勾股定理的验证 5.(2024·江苏南通·3分)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n).若小正方形的面积为5， 则大正方形的面积为 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15( ) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 6.(3分)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该长方形的面积为 . 7.(11分)如图,在△ABD中,AC⊥BD 于点C,E 为AC上一点,连接BE,DE,DE 的延长线交AB 于点F,且DE=AB,∠CAD=45°. (1) 求证:DF⊥AB; (2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c.求证: 知识点三 勾股定理的逆定理 8.(3分)如图,P 是等边三角形ABC 内部一点,连接PA,PB,PC,PA:PB:PC=3:4:5,以AC 为边在△ABC 外作△AP'C≌△APB,连接PP'，则以下结论错误的是 ( ) A. △APP'是等边三角形 B. △PCP'是直角三角形 C. ∠APB=150° D. ∠APC=135° 9.(3分)如图，在3×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D四点都在格点上,连接AC,BD 相交于点 P,则∠APB 的度数是 . 知识点四 勾股数 10.(3分)在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当a=24时，b+c的值为 ( ) a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … C 10 17 26 37 50 … A. 250 B. 288 C. 300 D. 574 11.(3分)观察下列几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41……按此规律,当直角三角形的较短直角边长是11时，较长直角边长是 ；当直角三角形的较短直角边长是2n+1(n为正整数)时，较长直角边长是 . 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. C 2. 10 解析:连接 CN,CM,过点 C 作CE⊥AB于点E.因为 AB=AC=13,AD 是边 BC 上的中线，所以 即 AD垂直平分 BC. 所以 BM=CM. 所以 BM +MN=CM+MN≥CN≥CE,即当E,N 两点重合,点 M 在CE 上时,BM+MN 的值最小.在Rt△ABD 中,AD=12,由勾股定理,得 即 BD=5.所以 BC=10.又 所以CE= 即 BM+MN 的最小值是 4.(1) 因为 DE⊥DF,所以∠EDF =90°.因为∠BAC = 90°,∠BAC +∠AED +∠EDF +∠AFD=360°,所以∠AED+∠AFD=360°—∠BAC - ∠EDF = 180°. 因 为 ∠AED +∠BED=180°,所以∠BED=∠AFD. (2) 延长 ED 至点 P,使 DP=ED,连接CP,FP.因为 FD⊥EP,所以FD 为EP 的垂直平分线,即 EF=FP.又 D 是BC 的中点,所以BD=CD.又∠EDB=∠PDC,所以△EDB≌△PDC(SAS). 所以 EB= PC,∠B =∠DCP.因为∠BAC = 90°, 所以∠B +∠ACB = 90°, 即∠DCP+∠ACB =90°. 所以∠ACP =90°.在Rt△PCF 中,由勾股定理,得 FP²,所以 (3) 连接 AD. 由(2),得 ∠B+∠ACB=90°. 又 BE=12,CF=5,所以 ,即 EF=13(负值已舍去).因为∠B=45°,所以∠ACB =∠B =45°,即 AB =AC.所以△ABC 是等腰直角三角形.因为 D 是BC 的中点,所以AD=CD,AD⊥BC,AD平分∠BAC, 即 ∠ADC = 90°,∠BAD = ∠B =∠ACB=45°.因为 DE⊥DF,所以∠EDF =90°.所以∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF,即∠ADE = ∠CDF. 所以△ADE ≌△CDF(ASA).所以DE=DF.在 Rt△DEF 中,由勾股定理，得 所以 所以 5. B 6. 24 7. (1) 因为 AC⊥BD,所以∠ACB=∠ACD=90°,即∠CAD+∠ADC=90°.因为∠CAD=45°,所以 ,即∠CAD =∠ADC.所以 AC = DC. 又 AB = DE,所以Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). 所以∠BAC =∠EDC.因为∠EDC+∠CED=90°,∠CED=∠AEF, 所 以 ∠AEF + ∠BAC = 90°. 又∠AEF + ∠BAC + ∠AFE = 180°, 所 以∠AFE=90°.所以 DF⊥AB. (2) 由(1),得 Rt△ABC≌Rt△DEC,DF⊥AB,且 BC=a,AC=b,AB=c,所以EC=BC=a,DC = AC =b, DE = AB = c. 因为S△BCE +S△ACD=S△ABD-S△ABE,所以 所以 8. D 9. 45°10. B 11. 60 2n²+2n 解析：设直角三角形的较短直角边长是a，较长直角边长是b，斜边长是 c.由题意，得a²=b+c,c=b+1,则 令a=11,得2b+1=121,解得b=60.则当直角三角形的较短直角边长是11 时，较长直角边长是60;令a=2n+1,得2b+1=(2n+1)²,解得 则当直角三角形的较短直角边长是 2n+1时，较长直角边长是 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $