4.3.2等比数列的前n项和公式同步练习 第2课时-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第2课时　等比数列的前n项和的性质与应用 1.D　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,当q=1时,等比数列{an}为常数列,则方程组无解;当q≠1时,解得q4=3.因为S4=6,所以a1+a2+a3+a4=6,所以a17+a18+a19+a20=(a1+a2+a3+a4)·q16=6×(q4)4=6×34=486.故选D. 2.D　[解析] 设这个等比数列共有2n(n∈N*)项,公比为q,则该数列为1,q,q2,q3,…,q2n-1,依题意得所以q=2,由1+22+24+…+22n-2==85,解得n=4,所以这个数列的公比为2,项数为8.故选D. 3.B　[解析] 因为Sn=tn-1①,所以当n=1时,a1=S1=t-1.当n≥2时,Sn-1=tn-1-1②,由①-②得an=(t-1)tn-1(n≥2),又a1=t-1满足上式,所以an=(t-1)tn-1,又t≠0,t≠1,所以数列{an}一定是等比数列.故选B. 4.B　[解析] 设第n天截掉的木头长度为an米,则{an}是首项为2,公比为的等比数列,则该等比数列的前n项和Sn==4-.由Sn=4-=,得=,解得n=6.故选B. 5.B　[解析] 设该数列的公比为q,q≠0.当n=1时,a1=S1=(1-2λ)+2λ=1,若q=1,则Sn=n,与题设不符,∴q≠1,即等比数列不是常数列,∴Sn=-=(1-2λ)+λ·2n,则可得λ=1.故选B. 6.D　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,则q3==,解得q=,∴an=,∴anan+1=×=,∴数列{anan+1}是首项为,公比为的等比数列,∴a1a2+a2a3+…+anan+1==<,∴k≥,故实数k的取值范围是.故选D. 7.63　[解析] 根据等比数列{an}的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,即3(S6-15)=144,所以S6=63. 8.　[解析] 由题意知Sn=1-2an①,则S1=a1=1-2a1,解得a1=.Sn-1=1-2an-1(n≥2)②,①-②可得3an=2an-1(n≥2),因为a1=,所以an≠0,故=(n≥2),则数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以Sn==1-<1.因为y=1-随n的增大而增大,所以Sn≥S1=.综上,Sn的取值范围是. 9.22　[解析] 设a1+a4+…+a97=x,则a2+a5+…+a98=2x,a3+a6+…+a99=4x,由题意可得7x=77,解得x=11,所以a2+a5+…+a98=22. 10.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由a2,2a5,3a8成等差数列,可得4a5=a2+3a8,即4a1q4=a1q+3a1q7,化简得3q6-4q3+1=0,解得q3=或q3=1.因为S6=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)+q3(a1+a2+a3)=(q3+1)S3,所以==q3.当q3=1时,=1;当q3=时,=q3=.故选B. 11.BC　[解析] S△ABC=×32=,因为下一个正三角形的面积为上一个正三角形面积的,所以第三个正三角形的面积为×=,故A错误,B正确;根据条件,第一个内切圆的面积为π,第二个内切圆的面积为π,…,这些内切圆的面积构成一个等比数列,其首项为π,公比为,故前n个内切圆的面积之和为=π,故C正确,D错误.故选BC. 12.必要不充分　[解析] 当a1=1,q=-时,Sn==-×,则Sn有最小值S2=-×=,故“Sn存在最小值”不是“q>0”的充分条件;若q>0,又a1>0,则Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0,故Sn必有最小值S1=a1,故“Sn存在最小值”是“q>0”的必要条件.综上,“Sn存在最小值”是“q>0”的必要不充分条件. 13.6　[解析] 方法一:设控制第一台无人机需要x行代码,显然a≠1,由题意得解得a1000=.将表演规模从3000台增加到5000台,需要增加的代码行数为-=×[(1+a1000+a2000+a3000+a4000)-(1+a1000+a2000)]=×(a3000+a4000)=24 300×=1200,≈5.45,因此该公司最少需要组织6名程序员编写新增的控制代码. 方法二:设控制第n台无人机需要的代码行数为an,由题意知{an}是公比为a的等比数列,设数列{an}的前n项和为Sn,则S1000,S2000-S1000,S3000-S2000,S4000-S3000,S5000-S4000仍然成等比数列,由已知得S1000=23 400,S2000-S1000=8100,=,所以S3000-S2000=2700,S4000-S3000=900,S5000-S4000=300,从而表演规模从3000台增加到5000台,需要增加的代码行数为900+300=1200,≈5.45,因此该公司最少需要组织6名程序员编写新增的控制代码. 14.解:(1)设等比数列{an}的公比为q, 因为S18=7S6,所以q≠1. 因为S12=S6+q6S6=S6(1+q6)=12,所以S6≠0, 故S6,S12-S6,S18-S12成等比数列,且公比为q6, 所以S18=S6+(S12-S6)+(S18-S12)=S6+q6S6+q12S6=7S6,整理得S6(q12+q6-6)=0, 又S6≠0,所以q12+q6-6=0,可得q6=2,所以S24=S12+(S24-S12)=S12+q12S12=S12(1+q12)=5S12=60. (2)证明:因为S6>0,所以由(1)知q6=2. 因为数列S6,S12-S6,S18-S12,…,S6n+6-S6n,…是以S6为首项,q6为公比的等比数列, 所以S6n+6=S6+(S12-S6)+(S18-S12)+…+(S6n+6-S6n)==S6·q6n+6-S6=2S6·q6n-S6, 又S6n+6-S6n=S6×=S6×q6n, 所以S6n+6=2S6·q6n-S6<2S6·q6n=2(S6n+6-S6n), 所以S6n+6>2S6n. 15.解:(1)由题知,王先生的每月还款金额构成等差数列,设为{an},Sn为数列{an}的前n项和,则a1=12 000,a120=5000,故S120==1 020 000, 故该笔贷款的总利息为1 020 000-800 000=220 000(元). (2)设王先生每月还贷x元,则x+1.003x+1.0032x+…+1.003119x=800 000×1.003120, 即x·=800 000×1.003120,解得x≈7943, 因为7943<=8500,所以该笔贷款能获批. 16.D　[解析] 设等比数列{an}共有2m+1项,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=,S偶=a2+a4+…+a2m=,则S奇=a1+a2q+…+a2mq=2+q(a2+a4+…+a2m)=2+qS偶=2+q=,解得q=.由=+,得2m+1=7,故数列{an}共有7项.Tn=a1a2·…·an=q1+2+…+n-1=2n×==,所以当n=1或n=2时,Tn取得最大值2. 17.证明:方法一:设等比数列{an}的公比为q. 当q=1时,Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1, ∴+=n2+4n2=5n2, Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2, ∴+=Sn(S2n+S3n). 当q≠1时,Sn=(1-qn),S2n=(1-q2n),S3n=(1-q3n), ∴+=·[(1-qn)2+(1-q2n)2]=·(1-qn)2·(2+2qn+q2n), Sn(S2n+S3n)=(1-qn)(2-q2n-q3n)=·(1-qn)2·(2+2qn+q2n), ∴+=Sn(S2n+S3n). 综上,+=Sn(S2n+S3n). 方法二:根据等比数列的性质,有S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn, ∴+=+[Sn(1+qn)]2=(2+2qn+q2n), Sn(S2n+S3n)=(2+2qn+q2n), ∴+=Sn(S2n+S3n). 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等比数列的前n项和的性质与应用 1.[2025·宁夏银川高二期末] 已知Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=6,S8=24,则a17+a18+a19+a20= (　 ) A.96 B.162 C.243 D.486 2.[2025·四川自贡高二期中] 已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比和项数分别为 (　 ) A.8,2 B.2,4 C.4,10 D.2,8 3.已知数列{an}的前n项和Sn=tn-1(t是不为0且不等于1的常数),则数列{an}(　 ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.既是等差数列,又是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列 4.现有一根4米长的木头,第一天截掉它的,以后每一天都截掉它前一天留下的木头的,到第n天时,共截掉了米,则n= (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.一个等比数列的前n项和Sn=(1-2λ)+λ·2n,则λ= (　 ) A.-1 B.1 C.2 D.3 6.在等比数列{an}中,a1=1,a4=,且a1a2+a2a3+…+anan+1<k恒成立,则实数k的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 7.[2025·上海师大附中高二期中] 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=　　　　.  8.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=1-2an(n∈N*),则Sn的取值范围是　　　　.  9.已知等比数列{an}的公比为2,a1+a2+…+a99=77,则a2+a5+…+a98=　　　　.  10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且数列{ka3k-1}(k=1,2,3)是等差数列,则=(　 ) A.1或 B.1或 C.2或 D.或 11.(多选题)如图所示,作边长为3的正三角形ABC的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后再作新三角形的内切圆,如此下去,则下列说法正确的是 (　 ) A.若△ABC为第一个正三角形,则第三个正三角形的面积为 B.若△ABC为第一个正三角形,则第三个正三角形的面积为 C.前n个内切圆的面积之和为π D.前n个内切圆的面积之和为3π 12.[2025·江苏泰州高二期中] 设{an}是公比为q(q≠-1)的无穷等比数列,Sn为其前n项和,a1>0,则“Sn存在最小值”是“q>0”的　　　　　条件.  13.[2025·重庆北碚区高二期末] 无人机表演美轮美奂,为了精确地控制每一台参演的无人机,程序员需要为每一台无人机编写控制代码.已知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码,从第二台无人机开始,后一台无人机需要的控制代码的行数与前一台无人机需要的控制代码的行数的比值为a(a>0),已知控制1000台无人机需要24 300行代码,控制2000台无人机需要32 400行代码.某无人机表演公司接到客户临时通知,将表演规模从3000台增加到5000台,仅有2天的时间准备,则该公司最少需要组织　　　　名程序员编写新增的控制代码.  14.记Sn为等比数列{an}的前n项和,且S18=7S6. (1)若S12=12,求S24的值; (2)若S6>0,求证:S6n+6>2S6n. 15.王先生今年年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房,并从贷款后的次月初开始还贷,分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式:①等额本金:在还款期内把本金总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息;②等额本息:在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息). (1)若王先生采取等额本金的还贷方式,已知第一个还贷月应还12 000元,最后一个还贷月应还5000元,试计算王先生该笔贷款的总利息; (2)若王先生采取等额本息的还贷方式,贷款月利率为0.3%,银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半,已知王先生家庭月收入为17 000元,试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素).(参考数据1.003119≈1.428,1.003120≈1.433,1.003121≈1.437) 16.等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,记等比数列{an}的前n项积为Tn,则Tn的最大值为 (　 ) A. B. C.1 D.2 17.已知等比数列{an}的前n项、前2n项、前3n项和分别为Sn,S2n,S3n.求证:+=Sn(S2n+S3n). 学科网（北京）股份有限公司 $