4.3.2等比数列的前n项和公式（ 第1课时）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

1课时　等比数列的前n项和公式 1.等比数列1,,,,…的前n项和为(　 ) A.2- B.1- C. D.2- 2.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1+a2=1,a2+a3=2,则S3= (　 ) A. B. C. D. 3.[2025·浙江台州高二期末] 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则的值为(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+4r,则r= (　 ) A.- B.- C.- D.-1 5.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且{an}满足=anan+2,若S3=13,a1=1,则= (　 ) A.3 B.4 C.9 D.16 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,若am=96,Sm=189,则m的值为 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 7.[2025·陕西师大附中高二期末] 已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为 (　 ) A.3 B.18 C.54 D.152 8.[2025·天津河东区高二期末] 已知等比数列{an}中,an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为　　　　.  9.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S6=9S3,则{an}的公比为　　　　.  10.在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=3,++++=15,则a1-a2+a3-a4+a5= (　 ) A.-5 B.-1 C.5 D.1 11.已知数列{an}满足a1=1,a2=4,a3=10,且{an+1-an}是等比数列,则(　 ) A.376 B.382 C.749 D.766 12.(多选题)[2025·河北唐山高二期末] 记等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,已知a1=b1=2,b5=4a4,S5=30,则下列选项正确的有 (　 ) A.a5=8 B.Sn=n2+n C.b5=32 D.Tn=2n+1-2 13.[2024·南京高二期中] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81,Sn为该数列的前n项和,Tn为数列{}的前n项和,若Tn=tS2n,则实数t的值是　　　　　.  14.在等比数列{an}中,公比为q,设Sn为其前n项和. (1)若a1=2,q=-,求S10; (2)若q=,S100=150,求a2+a4+a6+…+a100的值. 15.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2-an. (1)求{an}的通项公式; (2)设cn=4an+1,求数列{cn}的前n项和Tn. 16.(多选题)[2025·浙江金华高二期末] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,则以下结论正确的是 (　 ) A.数列{bnbn+1}为等比数列 B.数列{ln Tn}为等比数列 C.若{an}为递增数列,则Sn存在最小值 D.存在{an},使得数列为等差数列 17.已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=6,S4=30. (1)求{an}的通项公式; (2)数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,将数列{an}与{bn}中的项按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前50项和T50. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时　等比数列的前n项和公式 1.D　[解析] 设该数列为{an},数列{an}的公比为q,由已知得a1=1,a2=,所以q==,所以数列{an}的前n项和Sn==2=2-,故选D. 2.A　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由a1+a2=1,a2+a3=2,可得解得所以S3==.故选A. 3.D　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为=3,所以=3,可得+1+q=3,解得q=1,所以==4,故选D. 4.A　[解析] 易知等比数列{an}的公比q≠1,则Sn==-·qn+,结合题意知4r=-1,所以r=-.故选A. 5.C　[解析] 因为=anan+2,所以数列{an}为等比数列,设公比为q(q>0),则S3=a1(1+q+q2)=13,又a1=1,所以q2+q-12=0,可得q=3,所以==q2=9.故选C. 6.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由am=a1qm-1,得96=3qm-1,∴qm-1=32=25,则q≠1,故Sm=189==,解得q=2,∴m=6.故选C. 7.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意得,当n=1时,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2.当n=2时,a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2.由 可得则a4=a1q3=54.故选C. 8.(9n-1)　[解析] 因为等比数列{an}中,an=2×3n-1,所以由此数列的偶数项所组成的新数列是公比为9,首项为6的等比数列,所以新数列的前n项和为(9n-1). 9.2　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则由S6=9S3得6a1=9×3a1,则a1=0,不合题意,所以q≠1.当q≠1时,因为S6=9S3,所以=9·,即1-q6=9·(1-q3),即(1+q3)(1-q3)=9·(1-q3),即1+q3=9,解得q=2. 10.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,显然q≠±1,则由题意得两式相除得=5,所以a1-a2+a3-a4+a5===5,故选C. 11.C　[解析] ∵a1=1,a2=4,a3=10,∴a2-a1=3,a3-a2=6,则{an+1-an}的公比q=2,∴an+1-an=3×2n-1.当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=+1=3×2n-1-2,又a1=1也适合上式,∴an=3×2n-1-2,3×(1+2+…+27)-16=3×-16=749,故选C. 12.BC　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由a1=b1=2,得a4=2+3d,b5=2q4,S5=10+10d,由b5=4a4,S5=30,得解得所以an=2+(n-1)×2=2n,Sn=n(2+2n)=n2+n,所以a5=10,故A错误,B正确;b5=b1×q4=2×16=32,故C正确;由q2=4得q=2或q=-2,当q=2时,Tn==2n+1-2,当q=-2时,Tn==[1-(-2)n],故D错误.故选BC. 13.　[解析] 设数列{an}的公比为q,则==27=q3,解得q=3,故an=a2qn-2=3n-1,得a1=1,所以Sn=,则S2n=.因为=9n-1,所以Tn=,由Tn=tS2n,得=t×,解得t=. 14.解:(1)S10===×=. (2)方法一:S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=2(a2+a4+…+a100)+a2+a4+…+a100=3(a2+a4+…+ a100)=150,所以a2+a4+a6+…+a100=50. 方法二:S100==150,整理得a1=75,则a2+a4+a6+…+a100==a1=×75=50. 15.解:(1)当n=1时,S1=2-a1,得a1=1. 由Sn=2-an①,可得当n≥2时,Sn-1=2-an-1②, ①-②整理得2an=an-1(n≥2), 又a1=1≠0,∴an≠0,∴=(n≥2), ∴{an}是首项为1,公比为的等比数列,∴an=. (2)由an=,得cn=4an+1=4×+1, 则Tn=c1+c2+c3+…+cn=4(a1+a2+a3+…+an)+n=4×+n=8+n-. 16.ACD　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,∴an=dn+a1-d,Sn=a1n+d,设等比数列{bn}的公比为q(q>0),∴bn=b1qn-1.对于A选项,bnbn+1=b1qn-1·b1qn=q2n-1,故==q2,∴数列{bnbn+1}为等比数列,A选项正确.对于B选项,当b1=2,q=1时,Tn=2n,此时==log2n(2n+2)不是常数,∴数列{ln Tn}不是等比数列,B选项错误.对于C选项,若{an}为递增数列,则d>0,则当a1≥0时,an>0(n≥2),此时Sn存在最小值S1;当a1<0时,数列{an}中一定存在m∈N*,使得此时Sn存在最小值,故C选项正确.对于D选项,Sn+1=a1n+d+1,当a1=1,d=0时,数列的通项公式为=1,即数列为常数列,∴存在{an},使得数列为等差数列,D选项正确.故选ACD. 17.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,显然q>0且q≠1, 由已知得两式相除可得q=2(负值舍去),所以a1=2,所以an=2n. (2)数列{an}中的项从小到大依次为2,4,8,16,32,64,128,…,而b40=79,b50=99,所以数列{cn}的前50项中,数列{an}的项只有6项,数列{bn}的项有44项, 所以T50=(2+4+8+16+32+64)+(1+3+5+7+…+87)=+=126+1936=2062. 2 学科网（北京）股份有限公司 $