1.2.1充要条件（教学设计）-人教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

人教版《数学拓展模块上册》 第一章 充要条件 1.2.1充要条件 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《充要条件》是人民教育出版社《数学拓展模块上册》中的重要内容，通常安排在逻辑用语章节。它是在学生学习了命题、真命题、假命题等概念基础上，对命题之间关系进行深入探讨的关键知识点。充要条件是数学中非常重要的逻辑概念，是进行数学推理和论证的基础工具。理解充要条件，有助于学生准确理解数学概念的内涵与外延，清晰表达数学思想。它不仅在数学的各个分支（如函数、几何、代数等）中有广泛应用，也是进一步学习数学证明、离散数学等内容的必备基础。学习充要条件有助于培养学生的逻辑思维能力、分析判断能力和抽象概括能力，这对于中职学生未来的职业发展和继续学习都具有重要意义。 五、学情分析 中职学生在对“如果…那么…”形式的命题有初步的认识之后学习了命题的真假判断，这是学习充要条件的基础。但他们对命题之间的逻辑关系理解可能不够深入。中职学生的抽象逻辑思维能力相对较弱，更偏向于直观形象思维。他们对纯粹的理论知识学习兴趣可能不高，需要通过具体、生动的实例和贴近生活或专业的例子来激发学习兴趣和帮助理解。部分学生学习主动性不强，基础参差不齐。因此，教学中应注重引导，多设置互动环节，鼓励学生参与，及时反馈，帮助他们建立学习信心。：对“必要条件”概念的理解可能是一个难点；区分“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”容易混淆；符号“⇒”、“⇐”、“⇔”的准确理解和运用。 六、教学目标 1.理解真命题、假命题、充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2.掌握真假命题的判定方法，充分条件、必要条件、充要条件之间关系推理方法； 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 七、教学重点 1.理解“命题”、“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的定义。 2.能正确判断两个命题之间的条件关系，理解子集与推出的关系。 八、教学难点 1.区分和判断具体问题中的条件类型（特别是充分不必要和必要不充分条件的区分）。 2.用数学语言准确表述条件关系。 九、教学方法 1.情境导入法：用生活实例引入概念，激发兴趣。 2.问题驱动法：设计递进问题链，引导学生自主探究定义与判断方法。 3.小组合作探究：分组讨论例题，分析条件关系，汇报交流。 4.对比分析法：通过表格、导图对比“充分/必要/充要”条件，辨析异同。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 同学们，我们生活中有很多逻辑关系，比如“如果你带了伞，那么你不会被雨淋湿”、“如果天下雨，那么地面会湿”...... 这种逻辑关系在数学中也有广泛的应用。今天，我们来探讨一下数学中的逻辑关系——充分条件、必要条件和充要条件。 通过这些逻辑关系，我们可以更好地理解和解决数学问题。 古文中的逻辑——我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述。 “有之则必然，无之则未必不然”为充分条件，“无之则必不然，有之则未必然” 为必要条件。 以生活经验与古人经验创设情境，引发学生思考. 探索新知 什么是命题？ 1.可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。 2.正确的命题为真命题，错误的命题为假命题。 3.命题通常是“若p，则q”形式，p是命题的条件，q是命题的结论。 什么是逆命题？将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． 举例：命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”的逆命题为“如果灯B亮，那么开关A闭合”． 1.原命题：如果在超市买了面包，那么需要支付相应的钱。 （1）写出它的逆命题：________（2）判断原命题和逆命题的真假： 原命题______（填 “真” 或 “假”）；逆命题______（填 “真” 或 “假”） 【解析】 （1）逆命题：如果需要支付相应的钱，那么在超市买了面包。 （2）原命题真；逆命题假（支付钱可能是买了其他商品，不一定是面包）。 2.原命题：如果乘坐公交车，那么需要投币或刷卡。 （1）写出它的逆命题：________（2）判断原命题和逆命题的真假： 原命题______；逆命题______ 【解析】 （1）逆命题：如果需要投币或刷卡，那么乘坐公交车。 （2）原命题真；逆命题假（投币 / 刷卡可能是坐地铁、打车等其他消费场景）。 归纳概念 举例说明 案例分析 【例题】下列 “若 p, 则 q” 形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 1.若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；2.若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； 3.若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0;若A∩B是空集，则 A 与 B 均是空集. 【解析】 不难发现，上述命题中， 命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题。 帮助学生初步认识到要“双向”考虑问题 探索新知 假设有事件p和事件q，若p能推出q，通常还表示为p是q的充分条件或q是p的必要条件。 理解：“如果p，则q”是真命题，则 p是q的充分条件， q是p的必要条件。 表达的是同一逻辑关系，只是说法不同。 案例分析 （1）因为“如果x=y,则x2=y2”是真命题，所以 x=y x2=y2， x=y 是 x2=y2的充分条件， x2=y2 是 x=y的必要条件。 结合案例让学生更好地区分充分与必要两个条件。 学以致用 【练习】指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为 q的充分条件。 命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等． 【解析】条件 p：两个三角形全等，结论 q：这两个三角形的面积相等，p 是 q 的充分条件。 【练习】指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为 q的充要条件。 命题：如果α=60°，cosα= 1/2； 【解析】条件p：α=60 °, 结论 q：cosα= 1/2，p不是q的必要条件。 帮助学生进一步加深对所学知识点的运用。 导入新知 什么是充要条件？ 如果p是q的充分条件（p q），p又是q的必要条件（q p），则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件。记作。 此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”。 显然，如果p是q的充要条件，那么，q也是p的充要条件。 案例分析 例题 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (1) 因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q⇏p，所以p不是q的充要条件． (2) 因为 “若p，则q” 是相似三角形的性质定理，“若q，则p” 是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件． 若p⇒q,q⇒p，则称：p是q的充分不必要条件．若q⇒p,p⇏q，则称：p是q的必要不充分条件．若p⇏q,q⇏p，则称：p是q的既不充分也不必要条件．若 p⇔q，则称：p与q互为充要条件． 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法： (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒p2；充要条件也有传递性。 【例题】 假设 命题p=“外面下雨了”，命题q=“地面是湿的”。​ 分析：​ 1.若 p 成立（下雨），则 q 一定成立（地面必然湿），即 “p 能推出 q”，说明 p 是 q 的充分条件；​ 2.若 q 成立（地面湿），p 不一定成立（地面湿可能是洒水、拖地等，不一定是下雨），即 “q 推不出 p”，说明 p 不是 q 的必要条件。​ 综上，“外面下雨了” 是 “地面是湿的” 的充分不必要条件。 通过案例分析，帮助学生将知识点与问题相结合，能够高效理解知识点并在例题中展现学生思维。 学以致用 判断下列各题中的p是否为q的充要条件． （1）p：函数f (x)=(a-1)x+1是R上的增函数，q：a>1；是 （2）p：三棱锥P-ABC是正三棱锥，q：三棱锥P-ABC 的底面是正三角形；不是 （3） p：sinA= 3/5 ，q： cosA= 4/5；不是 巩固练习 【练习】（多选）下列命题中为真命题的是（    ）． A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于x的方程有实数根”的充要条件是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 【解析】 A √ X>4 ⇏x<5且x<5 ⇏X>4． B × 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件． C √ 一元二次方程有实数根，则，反之亦然． D × 当集合时，应为充要条件． 故选：AC 【练习】下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解析】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确；故选：D 师生互动 结合以上课堂内容涉及的知识，请思考四边形的四个内角相等是否与四边形为矩形互为充要条件？ 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 课堂练习 【练习1】设集合那么“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由交集与并集的定义可知， 若则， 若不能得到， “”是“”的必要不充分条件，故选B. 【练习2】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】或， 因此是的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【练习3】“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】因为，所以或，则或， 故充分性不成立， 若，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【练习4】下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 【解析】若方程有实根，则，即或， 因此不是的充要条件，A错误； 不一定可以得到，所以不是的充要条件，B错误； 若，则，若，则，故充分性不成立，C错误； 根据集合间的关系可得，D正确． 故选：D 【练习5】已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为由能推出；由不能推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【练习6】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】或， 因此是的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【练习7】“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】因为，所以或，则或， 故充分性不成立， 若，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【练习8】使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 【解析】从集合的角度出发，在选项中判断哪个相应的集合是题干中集合的真子集， 只有B，C满足题意． 故选：BC. 结合所讲知识点完成课堂练习，以便学生及时巩固新知识，能学以致用。 归纳总结 【师生交流】通过上面的学习，你能给出日常生活中哪些命题互为充要条件吗？ 请进行小组交流并由小组代表进行回答。 以思维导图的方式向学生展示本节课授课内容，培养学生总结学习过程能力 作业布置 (1)整理本节课的题型； (2)课本P24-25页的课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 1.2充要条件 1.什么是命题？ （1）可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。 （2）正确的命题为真命题，错误的命题为假命题。 （3）命题通常是“若p，则q”形式，p是命题的条件，q是命题的结论。 2.什么是逆命题？ 将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． 3.充分条件或q是p的必要条件 假设有事件p和事件q，若p能推出q，通常还表示为p是q的充分条件或q是p的必要条件。 4.充要条件 p⇔q，p是q的充分且必要条件，简称充要条件． 区分：充分不必要条件 必要不充分条件 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注 十一、教学反思 引例的选择恰当，有效激发学生兴趣并引入概念；概念的形成过程清晰，学生对“命题”、“充分”、“必要”等专有名词的含义真正理解；例题和练习的设置有层次性，覆盖不同程度学生的需求。但是，部分学生在理解“必要条件”时仍有困难；如何更形象地解释“必要”的含义还需在以后的教学中与学生多沟通。引入更多与学生专业相关的实例，以增强学习的实用性和趣味性。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $