期中复习讲义（平面向量）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块上册》（高教版）教材1、2、3章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括3份复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本专题是2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中复习讲义第二部分《平面向量》。 2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义—平面向量 核心考点 复习目标 考情规律 向量的概念 理解向量的有关概念及向量的几何表示 基础考点，一般出现在选择题中 共线向量、相等向量 理解共线向量、相等向量的概念． 高频考点，各种题型皆有可能，基本每年高考中均有考查 平面向量的运算 理解并掌握向量加法、减法、数乖运算的概念，能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算． 基础考点，一般单独考查较少，常出现在考查其他知识点的步骤中 向量的数量积 理解平面向量的数量积的定义 基础考点，各种题型皆有可能，封考查对定义公式的运用 平面向量坐标表示 理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差、数乘的坐标运算法则 基础考点，一般单独考查较少，常出现在考查其他知识点的步骤中 平面向量数量积的坐标 掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算；能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题． 高频考点，是职高各种考试中出现最多的考点，各种题型皆有可能，基本每年高考中均有考查 第二章 平面向量 知识点1 平面向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2 向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 知识点3 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 知识点4 平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 3.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 4. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 知识点5 平面向量的内积 1.向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 2.平面向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的内积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的内积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：内积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量内积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 2．（20-21高二上·浙江温州·期中）下列说法不正确的是（   ） A．向量既有大小又有方向 B．零向量的方向是任意的 C．向量的模可以比较大小 D．两个向量的模相等就是两个向量相等 3．（24-25高二下·全国·课前预习）（   ） A． B． C．0 D． 4．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课前预习）下列各组向量中，共线的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知向量，，若，则实数的值是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高高二上·广东·期中）向量与垂直的条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高二下·江苏镇江·期中）已知向量，，则 . 9．（24-25高二下·陕西宝鸡·期中）向量 与 的夹角为 . 10．（23-24高二上·广东·期中）已知向量，，且，则 ． 答案 1．C 【分析】根据题意，结合单位向量、相等向量、零向量、共线向量、相反向量的概念，即可判断求解. 【详解】因为单位向量的长度都为1，但是方向可能不同，故不一定相等，故选项A错误； 因为任一非零向量与它的相反向量长度相等、方向相反，故不相等， 但零向量的相反向量仍是零向量，故零向量与它的相反向量相等，故选项B错误； 因为模为零的向量是零向量，零向量与任一向量平行，故选项C正确； 因为模相等的两个共线向量的方向可能相同或相反，故不一定是相同的向量，故选项D错误； 故选：C. 2．D 【分析】根据向量、零向量、向量的模和相等向量的概念即可求解. 【详解】对A，向量是既有大小又有方向的量，故A正确； 对B，零向量的方向是任意的，故B正确； 对C，向量的模长是非负实数，所以可以比较大小，故C正确； 对D，两个向量相等当且仅当它们的模长相等，方向相同，故D错误. 故选：D. 3．A 【分析】根据向量的加法和减法的运算法则计算即可. 【详解】． 故选：A. 4．D 【分析】根据题意结合平面向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】已知向量，， 则， 故选：D. 5．D 【分析】根据向量共线的坐标表示逐项分析即可. 【详解】A中，故A错误， B中，故B错误， C中，故C错误， D中，故D正确， 故选：D. 6．D 【分析】根据两向量平行的坐标关系来求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，即，解得. 故选：D. 7．A 【分析】根据向量垂直时内积为零，结合向量内积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得. 故选：A. 8． 【分析】先计算的坐标，再根据向量模的坐标表示求解． 【详解】∵向量，，∴， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】设向量的夹角为， 因为向量 ，， 所以， 又因为向量夹角， 所以， 故答案为：. 10．7 【分析】根据向量内积的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，，且 则，解得：， 故答案为：7. 题型一 向量的有关概念 【典例1】（24-25高二上·浙江台州·期中）下列说法错误的是（   ） A．长度为0的向量称为零向量 B．零向量没有方向 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量称为单位向量 【答案】B 【分析】根据平面向量的相关定义即可得解. 【详解】长度为0的向量称为零向量，故选项正确； 零向量的方向为任意方向，故选项错误； 平行向量就是共线向量，故选项正确； 长度等于1个单位长度的向量称为单位向量，故正确， 故选：. 【典例2】（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图所示，圆中的向量、、是（   ）    A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．相等的向量 D．模相等的向量 【答案】D 【分析】根据向量的概念即可解得. 【详解】选项A：由图可知与起点不同，错误. 选项B：由图可知方向不同，不是共线向量，错误. 选项C：由题可知方向不同，不是相等向量，错误. 选项D：在圆中模相等，正确. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 易错点提醒 混淆向量与标量：向量有方向，不能直接比较大小 忽略零向量的特殊性：零向量与任何向量平行 错误使用分配律：向量点积不满足结合律 【变式1】（24-25高二上·湖南怀化·期中）下列说法错误的是（    ） A．向量内积结果为向量 B．零向量的模长为0 C．单位向量的模长为1 D．相等向量是平行向量 【变式2】（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．长度相等的向量叫相等向量 答案 1、【答案】A 【分析】由向量内积、零向量、单位向量和相等向量的概念判断即可. 【详解】对于A，向量内积结果为数量，故A说法错误； 对于B，零向量的模长为0，故B说法正确； 对于C，单位向量的模长为1，故C说法正确； 对于D，相等向量是方向相同、长度相同的向量，故是平行向量，故D说法正确. 故选：A. 2、【答案】C 【分析】由向量、相等向量、向量模长的概念判断即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错误， 对于B，若，两向量的方向不一定相同， 不能得出，故B错误， 对于C，若，两向量相等，则方向相同，两向量共线，故C正确， 对于D，长度相等且方向相同的向量才叫相等向量，故D错误. 故选：C. 题型二 向量的线性运算 【典例1】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）化简向量等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量加减法运算可直接求解. 【详解】. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·浙江·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算律化简即可. 【详解】原式. 故选：B. 解｜题｜技｜巧 1、 2、 【变式1】（24-25高二上·江西赣州·期中）化简：（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）（ ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【分析】先将向量的减法转化为加法，再利用向量的加法法则进行计算. 【详解】. 故选：B. 2、【答案】A 【分析】利用向量加减法则计算即得. 【详解】. 故选：A. 题型三 平面向量的坐标运算 【典例1】（24-25高二上·浙江台州·期中）设向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，则， 故选：. 【典例2】（20-21高一下·浙江温州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量坐标的线性运算计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知向量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·浙江衢州·阶段练习）已知，两点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】. 故选：A. 2、【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示及向量的减法求向量即可 【详解】已知，。 则，， 则； 故选：D. 题型四 向量共线的坐标表示 【典例1】（20-21高一下·浙江温州·期中）若，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示与共线定理，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以与共线的向量是， 当时，与共线的向量是，故A正确； 经检验，其他选项都不正确. 故选：A 【典例2】（20-21高二上·浙江金华·期中）向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的条件，即可求解. 【详解】由题意知向量，，且， 所以，解得. 故选：C. 【典例3】（23-24高一下·山西晋中·期中）若，，三点共线，则（   ） A．13 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标表示及向量共线的坐标表示，结合题意，即可代入求解. 【详解】因为，，， 所以，， 因为，，三点共线， 所以，所以，解得. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 　1．证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1． 2．利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值． 【变式1】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知向量，.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二下·山东济宁·期中）已知点，，在一条直线上，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】由向量共线的坐标运算求解. 【详解】向量，. 若，则有，则. 故选：C 2、【答案】D 【分析】根据向量共线的条件及公式即可求解. 【详解】因为点，，在一条直线上，所以， 又， 所以，即，即. 故选：D. 题型五平面向量内积的定义、模 【典例1】（24-25高二下·四川广安·期末）已知向量，满足，，与的夹角为30°，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 则， 故选：B. 【典例2】（21-22高三·山东·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B．7 C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量的模的计算方法求解. 【详解】∵，,, ∴, , . ∴. 故选:C. 【典例3】（24-25高三下·湖南·职教高考）已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的坐标得到向量坐标，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为，，， 所以，， 即. 故选：C. 【典例4】（2025高三·广东·专题练习）已知向量，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先由向量的线性运算求解的坐标，再由向量坐标的模长公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以， 则． 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1. 求平面向量数量积的定义法 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ． 注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件 2. 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝． (2)|a±b|＝＝． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则（   ） A．5 B． C．7 D． 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【变式3】（24-25高二下·湖南衡阳·阶段练习）设向量，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．28 【变式4】（22-23高三下·广东·模拟预测）已知向量，向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案 1、【答案】B 【分析】根据，结合平面向量内积的定义及运算律即可得解. 【详解】. 故选：. 2、【答案】A 【分析】根据向量的内积公式即可求解. 【详解】根据向量的内积公式可得， ， 故选：A 3、【答案】C 【分析】根据向量线性运算和内积的坐标表示运算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4、【答案】D 【分析】根据求出向量的坐标，再由向量模的坐标表示运算即可. 【详解】已知向量，向量， 则， 所以， 故选：D. 题型六 平面向量的夹角与垂直 【典例1】（24-25高二下·甘肃武威·期中）下列各组向量互相垂直的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据向量内积的坐标运算以及向量垂直的条件，即可求解. 【详解】对于A：，所以与不垂直，故A错误； 对于B：，所以与垂直，故B正确； 对于C：，所以与不垂直，故C错误； 对于D：，所以与不垂直，故D错误. 故选：B. 【典例2】（24-25高二下·全国·单元测试）已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，， 因为，所以，解得． 故选：C. 【典例3】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知向量，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的夹角公式计算即可. 【详解】设与的夹角为， ， 又，所以. 故选：C 【典例4】（24-25高二下·湖北黄石·期末）已知向量，，且与的夹角为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的夹角余弦公式计算即可. 【详解】因为向量，，且与的夹角为， 所以. 故选：C 解｜题｜技｜巧 1．向量夹角公式cos 〈a，b〉＝的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误． 2．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数． 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）若向量，则下列与向量垂直的向量是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三下·湖北·职教高考）已知向量，，若，则实数的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知向量，，则与的夹角（   ） A． B． C． D．0 【变式4】（2025高三·全国·专题练习）已知向量，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 答案 1、【答案】C 【分析】根据选项由向量垂直的坐标运算即可解得. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 故选：C 2、【答案】B 【分析】根据向量垂直内积为零，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 即，解得. 故选：B. 3、【答案】A 【分析】根据平面向量的内积求出，结合向量夹角的取值范围即可得解. 【详解】因为向量，， 所以，因为， 所以， 故选：. 4、【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算，代数求解即可. 【详解】因为向量， 所以， 又因为，所以， 即， 解得：， 故选：D. 题型七 平面向量的解答题 【典例1】（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知向量. (1)求； (2)若，求实数m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量坐标的线性运算，即可求解； （2）根据题意，结合向量坐标的线性运算，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以； （2）因为向量，， 所以， 又， 所以，解得. 【典例2】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的运算法则，结合已知条件逐步计算. （2）根据模长的概念，结合向量的运算法则，即可求解. （3）根据内积的定义，结合向量的运算法则，求解向量夹角. 【详解】（1）可化为， 由，，得 解得. （2）由（1）知， 即. （3）记与的夹角记为， 则， 又因为，所以. 【典例3】（24-25高三下·湖南·职教高考）已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的坐标得到向量坐标，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为，，， 所以，， 即. 故选：C. 【变式1】（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知向量，，，试计算： (1)； (2)若向量与垂直，求x． 【变式2】（24-25高二下·云南临沧·期末）设向量，当为何值时， (1)与垂直； (2)与平行 答案 1、【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意结合平面线性运算的坐标表示即可得解. （）根据平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】（1）向量，， . （2）因为，， 向量与垂直，则， 解得. 2、【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量垂直坐标表示计算即可； （2）根据平面向量平行坐标表示计算即可. 【详解】（1）由与垂直，则，所以. （2）由与平行，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $