1.2.1充要条件（教学课件）--人教版《数学 基础模块上册》《上好课》

1.2.1 充要条件 第一章 集合 人教版 基础模块上册 学习目标 理解真命题、假命题、充分条件、必要条件、充要条件的概念； 掌握真假命题的判定方法，充分条件、必要条件、充要条件之间关系推理方法； 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 教学引入 同学们，我们生活中有很多逻辑关系，比如“如果你带了伞，那么你不会被雨淋湿”、“如果天下雨，那么地面会湿”...... 这种逻辑关系在数学中也有广泛的应用。今天，我们来探讨一下数学中的逻辑关系——充分条件、必要条件和充要条件。 通过这些逻辑关系，我们可以更好地理解和解决数学问题。 教学引入 古文中的逻辑——我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述： “有之则必然，无之则未必不然” “无之则必不然，有之则未必然” 充分条件 必要条件 导入新知1 什么是命题？ 1.可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。 2.正确的命题为真命题，错误的命题为假命题。 3.命题通常是“若，则”形式，是命题的条件，是命题的结论。 导入新知1 什么是逆命题？ 将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． 举例： 命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”的逆命题为“如果灯B亮，那么开关A闭合”． 学以致用 1.原命题：如果在超市买了面包，那么需要支付相应的钱。 （1）写出它的逆命题：________ （2）判断原命题和逆命题的真假： 原命题______（填 “真” 或 “假”）； 逆命题______（填 “真” 或 “假”） 【解析】 （1）逆命题：如果需要支付相应的钱，那么在超市买了面包。 （2）原命题真；逆命题假（支付钱可能是买了其他商品，不一定是面包）。 学以致用 2.原命题：如果乘坐公交车，那么需要投币或刷卡。 （1）写出它的逆命题：________ （2）判断原命题和逆命题的真假： 原命题______； 逆命题______ 【解析】 （1）逆命题：如果需要投币或刷卡，那么乘坐公交车。 （2）原命题真；逆命题假（投币 / 刷卡可能是坐地铁、打车等其他消费场景）。 案例分析 思考 （1） （2） （2） （4） 不难发现，上述命题中， 命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题。 表达的是同一逻辑关系，只是说法不同。 导入新知2 假设有事件p和事件q，若p能推出q，通常还表示为p是q的充分条件或q是p的必要条件。 ☆理解：“如果p，则q”是真命题，则 p是q的充分条件， q是p的必要条件。 案例分析 【例题】因为“如果x=y,则x2=y2”是真命题，所以 x=y x2=y2， x=y 是 x2=y2的充分条件， x2=y2 是 x=y的必要条件。 学以致用 【练习】指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为 q的充分条件。 命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等． 【解析】条件 p：两个三角形全等，结论 q：这两个三角形的面积相等，p 是 q 的充分条件。 学以致用 【练习】指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为 q的充要条件。 命题：如果α，cosα= ； 【解析】条件p：α=60 °, 结论 q：cosα= p不是q的必要条件。 导入新知3 什么是充要条件？ 如果p是q的充分条件（p q），p又是q的必要条件（q p），则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件。记作 此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”。 ☆显然，如果p是q的充要条件，那么，q也是p的充要条件。 案例分析 例题 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； 学以致用 判断下列各题中的p是否为q的充要条件． （1）p：函数f (x)=(a-1)x+1是R上的增函数，q：a>1； （2）p：三棱锥P-ABC是正三棱锥，q：三棱锥P-ABC 的底面是正三角形； （3） p：sinA= ，q： cosA= 不是 不是 是 深化理解 若 ，则称：p是q的充分不必要条件． 若 ，则称：p是q的既不充分也不必要条件． 若 ，则称：p与q互为充要条件． 若 ，则称：p是q的必要不充分条件． 深化理解 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 深化理解 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 案例分析 假设 命题p=“外面下雨了”，命题q=“地面是湿的”。​ 分析：​ 1.若 p 成立（下雨），则 q 一定成立（地面必然湿），即 “p 能推出 q”，说明 p 是 q 的充分条件；​ 2.若 q 成立（地面湿），p 不一定成立（地面湿可能是洒水、拖地等，不一定是下雨），即 “q 推不出 p”，说明 p 不是 q 的必要条件。​ 综上，“外面下雨了” 是 “地面是湿的” 的充分不必要条件。 学以致用 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 学以致用 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 学以致用 师生互动 答案：是 ？ 结合以上课堂内容涉及的知识，请思考四边形的四个内角相等是否与四边形为矩形互为充要条件？ 课堂练习 A． B． C． D． 课堂练习 A． B． C． D． 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 学以致用 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 学以致用 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 学以致用 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 学以致用 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 学以致用 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 学以致用 【练习】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 师生交流 通过上面的学习，你能给出日常生活中哪些命题互为充要条件吗？ 请进行小组交流并由小组代表进行回答。 想一想 强化记忆 作业布置 (1)整理本节课的题型； (2)课本P24-25页的课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【练习】（多选）下列命题中为真命题的是（    ）． A．“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于x的方程 有实数根”的充要条件是“ ” D．若集合 ，则“ ”是“ ”的充分而不必要条件 【解析】 A √ 且 ． B × 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件． C √ 一元二次方程有实数根，则 ，反之亦然． D × 当集合 时，应为充要条件． 故选：AC 【练习】下列选项中， 是 的充要条件的是（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【解析】对于选项A：因为 不能推出 ，例如 ，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为 不能推出 ，例如 ，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为 不能推出 ，例如 ，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为 等价于 ，所以 是 的充要条件，故D正确； 故选：D 【练习1】设集合 那么“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由交集与并集的定义可知， 若 则 ， 若 不能得到 ， “ ”是“ ”的必要不充分条件，故选B. 【练习2】已知 ，则“ ”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 或 ， 因此 是 的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【练习3】“ ”是“ ”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】因为 ，所以 或 ，则 或 ， 故充分性不成立， 若 ，满足 ，但不满足 ，必要性不成立， 故“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【练习4】下列命题中 是 的充要条件的是（    ） A． ， ：方程 有实根 B． ， C． ， D． ， 【解析】若方程 有实根，则 ，即 或 ， 因此 不是 的充要条件，A错误； 不一定可以得到 ，所以 不是 的充要条件，B错误； 若 ，则 ，若 ，则 ，故充分性不成立，C错误； 根据集合间的关系可得 ，D正确． 故选：D 【练习5】已知 ，则 是 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为由 能推出 ；由 不能推出 ； 所以“ ”是“ ”的必要不充分条件. 故选：B. 【练习6】已知 ，则“ ”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 或 ， 因此 是 的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【练习7】“ ”是“ ”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】因为 ，所以 或 ，则 或 ， 故充分性不成立， 若 ，满足 ，但不满足 ，必要性不成立， 故“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【练习8】使“ ”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B． 或 C．x∈{－1，3，5} D． 或 【解析】从集合的角度出发，在选项中判断哪个相应的集合是题干中集合的真子集， 只有B，C满足题意． 故选：BC. $