第28章  锐角三角函数综合小测-2025-2026学年九年级数学下册复习与小测

9数下复习与小测 第28章锐角三角函数，综合小测 一、选择题（共35分） 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为边AB上一点，过点D作DE1AC,垂足为E, 则下列结论中正确的是() C E A.sin A=BC AB B.cs-怎 C.tamA= BC D.tan A= AB BC D B 2.在△ABC中，若三个内角∠A:∠B:∠C=1:2:3,则sinA:sinB=（) A.1:2 B.1:V3 C.1:3 D.2:V3 3.如图，在平面直角坐标系中，第一象限内射线0A与x轴正半轴的夹角为，点P在射线0A上， 若cosu=,则点P的坐标可能是（) A.(3,5) B.(5,3) C.(3,4) D.(4,3) 4.中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜雏形，西汉初年成书的《淮南万毕 术》中有这样的记载：“高悬大镜，坐见四邻”，如图(1)所示，其工作原理主要利用了光 的反射.在图(2)中，AB为水平面，AE,CD为法线，∠BCD=∠ACD=41°，∠CAE=37°， AE1AB,已知AB=11V2米，则镜面上点C到水盆A的距离为（结果精确到1米，参考数据： sin82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12)() C镜面 图(1) 图(2) A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 24/33 9数下复习与小测 5.【2025宁夏模拟】如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BC=2BD,AC=6v5,tanA =那么AB的长为() D A.6 B.7 C.8 D.9 6.如图，在△ABC中，AB=BC,DA1AB交CB延长线于点D,DE1CA,交CA延长线于点E. 若tanC=k,CD=1,则AD的值为() A.k B月 C.k2 D克 7.如图，在Rt△ABC中，1<AC<5,tanABC=2.分别以点C,A为圆心，以2和3为半 径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧)，连接AD,CD,BD,则BD的最大值为() B A.V5+1 B.2W5+1 c.V5+ 0.2W5+月 二、填空题（共15分) 8.用含特殊锐角的三角函数的式子表示√2= 9.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE1BD,垂足为E,连接CE,若BD的坡度是1：2， 则tanDEC的值是 10.如图，在Rt△ABD中，AB=6,tanzADB=,点C为斜边BD的中点，P为AD上任一点， 过点P作PE L AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF= -D 25/33 9数下复习与小测 三、解答题（共50分） 1.已知a是锐角，且cos(c+15)=号，计算：月1+置-（红-3.14°+23-3tam2a个 12.图(1)、图(2)、图（3)均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A,B均在格点上.在图（1)、图(2)、图(3)中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按 要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹 图(1)1 图(2) 图(3)A (1)在图(1)中以线段AB为边画△ABC,使点C在格点上，且tanA=1; (2)在图(2)中以线段AB为边画△ABD,使anA=号； (3)若每个小正方形的边长为1，在图(3)中以线段AB为边画△ABE,使SABE=,tamA=1 26/33 9数下复习与小测 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙0的直径，AD=CD.过点D作⊙O的切线，交BC 延长线于点P,连接AC. （1)求证：∠P=90°； (2)若itaniCDP=,PC=4,求BC的长. B 14.直觉的误差：有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2.把这张纸片按图(1)（单 位：cm)所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形.把剪出的四个小块按图 (2)(单位：cm)所示重新拼合，这样就得到了-个13cm×5cm的矩形，面积是65cm2, 面积比之前多了1cm2.这是为什么？ 小明给出如下证明：如图（2)，可知tanCEF= _tanEAB= tanLCEF>tanEAB,∠CEF>∠EAB.'EF/AB,∠EAB+∠AEF=180°，.∠CEF+ LAEF>180°，·A,E,C三点不共线，同理A,G,C三点不共线.·拼合的长方形内部有 空隙，故面积多了1cm2 (1)将小明的证明补充完整，tanCEF=,tanEAB=; (2)小红给出的证明思路为以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立 平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明 3 8 图（1) 图(2) 27/339数下复习与小测 第28章锐角三角函数，综合小测 一、选择题（共35分） 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为边AB上一点，过点D作DE L AC,垂足为E, 则下列结论中正确的是（) C 名 ) ⊙ A.sin A =BC B.COs A=4E AD C.tan A=Bc AD D.tan A=4 BC 答案：B 解析： A 在Rt△ABC中，sinA=BCAC,故A不符合题意 B 在Rt△AED中，cOSA=AEAD,故B符合题意 C 在Rt△ABC中，tanA=CBAB,故C不符合题意 D 在Rt△ABC中，tanA=CBAB,故D不符合题意 2.在△ABC中，若三个内角∠A:∠B:∠C=1:2:3,则sinA:sinB=（) A.1:2 B.1:V3 C.1:3 D.2:V3 答案：B 解析：∠A,∠B,∠C的度数之比为1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°， ÷∠A=名×180°=30°，∠B=2×180°=60°，÷sinA=sin30°=2， sinB=sm60=9sin4sinB=9=1V5,放选B 3.如图，在平面直角坐标系中，第一象限内射线0A与x轴正半轴的夹角为，点P在射线0A上， 若cosa=,则点P的坐标可能是() 41/58 9数下复习与小测 ◇ a 0 A.(3,5) B.(5,3) C.(3,4) D.(4,3) 答案：D 解标：过点P作PB1x轴于点B,如图osa=器=青·可假设0B=4,则OP=5,PB =V52-42=3,·.点P的坐标可能是(4,3).故选D. A P B 4.中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜雏形，西汉初年成书的《淮南万毕 术》中有这样的记载：“高悬大镜，坐见四邻”，如图（1)所示，其工作原理主要利用了光 的反射.在图(2)中，AB为水平面，AE,CD为法线，∠BCD=∠ACD=41°，∠CAE=37°， AE1AB,已知AB=11V2米，则镜面上点C到水盆A的距离为（结果精确到1米，参考数据： sinm82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12)() ·大镜 C 镜面 图（1) 图(2) A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 答案：D 42/58 9数下复习与小测 C镜面 解析：如图， B过点A作AF1BC,垂足为F，则 ∠AFB=∠AFC=90°.：EA1AB,∠EAB=90°.∠BCD=∠ACD=41°，.∠ACB=82°. ∠CAE=37°，·∠CAB=∠EAB-∠EAC=53°，·∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=45°. 在Rt△ABF中，∠ABC=45°，AP=AB:sin45°=11V2×=1(米).在Rt△ACP中， ∠ACB=82°，.AC=AF÷sin82°≈11÷0.99≈11（米），故选D. 5.【2025宁夏模拟】如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BC=2BD,AC=6V5,tanA =,那么AB的长为() B A.6 B.7 C.8 D.9 答案：C 解析：过点D作DE L AB于点E,过点C作CF L AB交AB的延长线于F, D 如图所示. E B F :BD是△ABC的中线，AC=65,AD=CD=号AC=3V5. 在R△ADE中，amA=器=安AE=2DE.由勾股定理得AD=VE+DE=V5DE,3 1 V5=V5DE,.DE=3,÷.AE=2DE=6.DE1AB,CF1AB,.DE/CF.又：BD是△ABC 的中线，·.DE是△ACF的中位线，：CF=2DE=6,AE=EF=6.设BE=a,则BF=EF一BE =6-a,AB=AE+BE=6+a.在Rt△BDE中，由勾股定理得BD2=DE2+BE2=32+a2, 在Rt△CBF中，由勾股定理得BC2=BF2+CF2=(6-a)2+62.:BC=2BD,4(32+ a2)=(6-a)2+62,整理得a2+4a-12=0,解得a=2或a=-6(不合题意，舍去)，·AB 43/58 9数下复习与小测 =6+a=8.故选C. 6.如图，在△ABC中，AB=BC,DA1AB交CB延长线于点D,DE L CA,交CA延长线于点E. 若tanC=k,CD=1,则AD的值为() E A B A.k C.k2 答案：A 解析：AB=BC,∠BAC=∠C.又：DA1AB,DE1CA,∠BAD=∠DEA=90°，·.∠BAC +∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，∠BAC=∠ADE,∠C=∠ADE,tanADE=tanC=k. 在Rt△cDE中，tanC=2=k,令CE=m,DE=mk.又：CD=1,m2+m2k2=1, 则m2=在Rt△ADB中，tan-ADE=能=k,∴AE=mk2，∴AD=Vm2k4+m2夜= Vm22(2+西=1·k2.(k2+D=k.故选A 7.如图，在Rt△ABC中，1<AC<5,tanzABC=2.分别以点C,A为圆心，以2和3为半 径作弧，两弧交于点D(点D在AC的左侧)，连接AD,CD,BD,则BD的最大值为() A.V5+1 B.2V5+1 c.v5+ 0.25+ 答案：C 解折：在t△ABC中，tan-ABC=2,则能=2，可设BC=a,AC=2a,由AB2=BC2+AC2, 44/58 9数下复习与小测 得AB=V5a,cos∠BAC=0=2 .如图， B 5 作LADE=90°，且DE=2AD =是连接AE,BE,则ta∠DAE=器=专：tan BAC=能=克tam∠BAC=tan∠DAE.y 两角均为锐角，·∠BAC=∠DAE,·.∠BAC-∠CAE=∠DAE-∠CAE,即∠DAC=∠EAB.: c0s∠DAE=c0s∠BAC=2,小架=胎-S,“光-怎又：DAC=∠EaB. AE AB △ADC△AEB,焉-能=S.:DC=2,EB=V5.由题意可知，BD≤BE+DE=5+ 5 :当B,B,D三点共线时，BD的值最大，BD的最大值为V5+,故选C 二、填空题（共15分） 8.用含特殊锐角的三角函数的式子表示√2= 答案：sn45 (答案不唯一) sin 30 解折：~sin30=克sin45=号，V2-曲 .故答案为in45 sin30° sin30° (答案不唯一)· 9.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE L BD,垂足为E,连接CE,若BD的坡度是1：2， 则tanDEC的值是 D B 答案： 解析：如图，过点C作CF1BD于F,则LCFD=∠AEB=90°.：四边形ABCD是矩形，·AB= (LAEB=∠CFD, CD,AB/CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE与△CDF中， LABE=LCDF,·△ABE≌△CDF( (AB =CD, AMS).ME=CF,BE=FD.:aADB=怨=品=克可设AB=a,AD=2a,BD=V5 .S=BD-AE=AB,AD,AE=GF=2a,易得BB=FD=号a,EP=BD 45/58 9数下复习与小测 -2BE V5a-25 等a,.tan/DEc=-器=子放答案为号. 10.如图，在Rt△ABD中，AB=6,tan∠ADB-,点C为斜边BD的中点，P为AD上任一点， 过点P作PE L AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF=, B 答案：号 解折：在Rt△ABD中，：tam∠ADB8-景AD=言×6=8， BD=V6+8=10,sinD=品=：点C为斜边BD的中点， AC=BC=CD,∠CAD=∠D,在t△APB中，sm∠BAP=器= PE=AP.在R△DPF中，sinD=器=PF=PD, PE+PF-(AP+PD)-AD-×8-4故答案为酷 三、解答题（共50分） 1.已知a是锐角，且cos(a+15)=竖，计算：白-1+-(-3.14°+2V5-3tam2al 属：a是锐角，且cos(c+15)=只a+15”=45”，a=30, 白1+0-(-31④°+2v3-3tam2al=2+青-1+23-3tam601=2+9-1 +2W3-3×V3=1++3=1+ 6 12.图（1)、图（2)、图（3)均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A,B均在格点上.在图（1)、图(2)、图(3)中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按 要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹 46/58 9数下复习与小测 图(1) 图（2) 图(3) (1)在图(1)中以线段AB为边画△ABC,使点C在格点上，且tanA=1; 解：如图(1)，△ABC即为所求.（答案不唯一） (2)在图(2)中以线段AB为边画△ABD,使anA-子； 解：如图(2)，△ABD即为所求.（答案不唯一） (3)若每个小正方形的边长为1，在图(3)中以线段AB为边画△ABE,使SABE=?,tanA=1 解：如图(3)，△ABE即为所求 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，AD=CD.过点D作⊙O的切线，交BC 延长线于点P,连接AC· 47/58 9数下复习与小测 D B (1)求证：∠P=90° 连接DO交AC于点E,'AD=CD,OD为⊙O的半径，·易得OD L AC.'DP为⊙O的切 线，·∠ODP=90°，AB是⊙O的直径，∠ACP=∠ACB=90°，·四边形DECP为矩形， ∠P=90° (2)若tan-CDP=子，PC=4,求BC的长。 解：连接0C,在△CDP中，P=90,tan_CDP=器=系PC=4, DP=6.:四边形DECP是矩形，DE=PC=4,EC=DP=6.设⊙O的半径为 r.在Rt△CE0中，0E2+CE2=0C2,0E=r-4(r-4)2+62=r2,解得 7=号，0E=r-4=:0D1AC,ACB=90,0E/BC.又：0A=0B, OE是△ABC的中位线，BC=2OE,BC=5. 14.直觉的误差：有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2.把这张纸片按图(1)（单 位：c)所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形.把剪出的四个小块按图 (2)（单位：cm)所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm的矩形，面积是65cm2, 面积比之前多了1cm2.这是为什么？ 小明给出如下证明：如图（2)，可知tanCEF= _tanEAB= tanCEF>tanEAB,∠CEF>∠EAB.EF//AB,∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+ LAEF>180°，A,E,C三点不共线，同理A,G,C三点不共线.“拼合的长方形内部有 空隙，故面积多了1cm2. 3 8 H 5 D 8 3 5 E 3 3 B 5 图（1) 图（2) 48/58 9数下复习与小测 (1)将小明的证明补充完整，tanCEF=,tanEAB= 答案：，号 解析：依题意得拼接的四边形ABCD为矩形，.AB=CD=5,BC=AD=CF+BF=8+5 =13,则在Bt△CEF中，tan∠CEF-器-号，在Rt△CAB中，tam∠BAB胎-号：.tan-CEF >tan/EAB,÷LCEF>∠EAB.'EF/AB,·∠EAB+LAEF=180°，·LCEF+∠AEF> 180°，·A,E,C三点不共线，同理A,G,C三点不共线.·拼合的长方形内部有空隙，故面积 多了1cm2.故答案为号号. (2)小红给出的证明思路为以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立 平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明， 解：以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，延长HG H 5 D 5 E 3 交BC于M,如图所示 B 5 M8 x依题意得拼合的四边形ABCD为矩形，则 四边形ABCD,四边形ABMH,四边形MCDH都是矩形，÷AB=CD=5,BC=AD=CF+BF =8+5=13,BM=AH=8,HM=CD=5,则GM=HM-HG=5-3=2,÷点A(0,5), 点E(5,3),点G(8,2),点C(13,0).设直线AC的解析式为y=kx+b.将A(0,5),C(13,0)代入y =+女得哈耿平b=0解海品 直线AC的解析式为y=-x+5.当x=5时，y b=5, =音×5+5=号+3，点E不在直线AC上，A,E,C三点不共线当x=8时，y=音×8 13 +5=≠2，点G不在直线AC上，“AG,C三点不共线，~拼合的长方形内部有空隙， 故面积多了1cm2. 49/58